湖南省株洲市鸿仙中学2019年高三数学文月考试卷含解析

湖南省株洲市鸿仙中学2019年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（

）A．

B.

C．

D．且参考答案：C2.在（x﹣y）10的展开式中，系数最小的项是（）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11项，奇数项为正，偶数项为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第6项．故选C．3.如果数列满足：首项那么下列说法正确的是

（

）

A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列

B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列

D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列参考答案：C4.下列命题中，真例题的是(

)（A）．，＜0（B）．，（C）．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”

（D）．“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分条件参考答案：D5.已知正数x,y满足，则的最小值为(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：C6.已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．

B．C． D．参考答案：A【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=?，不合题意，排除C，故选A．7.已知i是虚数单位，复数z=（4+i）+（﹣3﹣2i）的虚部是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣i参考答案：D【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】直接利用复数代数形式的加减运算化简得答案．【解答】解：z=（4+i）+（﹣3﹣2i）=1﹣i∴复数z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12．则公差d=（）A． B．1 C．2 D．8参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2．故选：C．9.设函数的图像关于直线对称，它的周期是，则A．的图象过点 B．在上是减函数C．的一个对称中心是 D．的最大值是A参考答案：C略10.已知是等差数列，，则过点的直线斜率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.球为棱长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，,则点的轨迹周长为

．

参考答案：12.已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an=．参考答案：2n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】计算题．【分析】根据log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，进而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1；∴an=2n﹣1．2n﹣1；【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题．13.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：.【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．14.从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是

．参考答案：略15.的展开式中的系数是

；参考答案：答案：1416.若实数x，y满足，则的最小值为______.参考答案：－3【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为．

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．17.下面有六个命题：①函数在第一象限是增函数.

②终边在坐标轴上的角的集合是③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点.④函数⑤的图象中一条对称轴是⑥函数的最小正周期是。其中真命题的序号是

（写出所有真命题的序号）参考答案：②③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数上为增函数，得g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．（2）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函数上为增函数，∴g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，≥0，∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故要使xsinθ﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，只需1×sinθ﹣1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，∵θ∈（0，π），∴θ=．（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．当m=0时，f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜2e﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，①当m≤0时，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）max=F（e）=me﹣﹣4，只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．故m的取值范围是（，+∞）【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19.已知函数(I)若,函数的极大值为,求实数的值；(Ⅱ)若对任意的,在上恒成立,求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由题意，.①当时，，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.②当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，，单调递减.所以的极大值为，得.综上所述.（Ⅱ）令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立.①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则在区间上单调递增，时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立.时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，.

20.在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．

（1）求概率P(X≥7)；[来源:学§科§网]

（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．参考答案：解（1）P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝．所以P（X≥7）＝.

………4分（2）P(X＝6)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝．所以随机变量X的概率分布列为X4567[来源:学。科。网]8P[来源:学科网ZXXK]

…………8分所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6．

………10分21.（本小题满分12分）在中，设内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若且，求的面积.参考答案：(1)；(2)试题分析：（1）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得，结合范围0＜C＜π，即可解得C的值．（2）由正弦函数化简sinA=2sinB，可得a=2b，利用余弦定理解得b，可求a的值，利用三角形面积公式即可得解．考点：两角差的正弦函数，余弦函数公式，正弦定理，余弦定理【方法点睛】对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．22.（本题满分14分）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N．（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；（2）求证：|MN|为定值．参考答案：（本题满分14分）解：（I）因为，所以所以椭圆的方程为，

…………………3分又=2,所以准圆的方程为.

………4分（II）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为P（0，2）,设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为,

所以，消去y，得到,…………6分因为椭圆与只有一个公共点,所以,

解得.所以方程为.

……………9分（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与