矩阵的奇异值分解

线性代数的几个基本概念

2010年7月(一)精选ppt

引言

精选ppt

数学的表述方式和抽象性产生了全面的升华!F几何的抽象化实用直观抽象(a,b，c)精选ppt

按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化、系统性表述的，具有很强的逻辑性、抽象性，是第二代数学模型.精选ppt通常的教学模式概念——相应定理公式——例题求解直觉性丧失！精选ppt

向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息.线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式.

向量是什么？

向量是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示问题精选ppt矩阵是什么？矩阵的乘法规则怎样定义？矩阵的相似是什么意思？特征值的本质是什么？精选ppt

纯粹的数学理论描述、证明不能令人满意和信服！精选ppt一、线性空间和矩阵的几个核心概念

精选ppt基本定义:存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间.空间

为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？奇怪!精选ppt三维的空间由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；这些点之间存在相对的关系；可以在空间中定义长度、角度；这个空间可以容纳运动.这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的跳跃（变换）,而不是微积分意义上的“连续”性的运动.精选ppt容纳运动是空间的本质特征“空间”是容纳运动的一个对象集合，而空间的运动由变换所规定.精选ppt

矩阵矩阵是什么？

1.矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则.

2.矩阵是一列列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值.

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3.矩阵是一个图像，它的每一个元素代表相对位置的像素值.

4.矩阵是一个线性变换，它可以将一些向量变换为另一些向量.

要回答“矩阵是什么”，取决于你从什么角度去看它.精选ppt矩阵与线性变换在线性空间中，当选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）.也即对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述.

精选ppt.在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动.而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量.用矩阵与向量的乘法施加运动.

矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述精选ppt线性变换不同于线性变换的一个描述对于同一个线性变换，选定一组基，就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换；换一组基，就得到一个不同的矩阵.

所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又不是线性变换本身.精选ppt同一个线性变换的矩阵具有性质：若A和B是同一个线性变换的两个不同矩阵，则一定存在非奇异矩阵P，使得

即同一个线性变换在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但其本质相同，所以特征值相同.精选ppt

相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵.或者说相似矩阵都是同一个线性变换的描述.精选ppt

线性变换可以用矩阵的形式呈现，也就是说，矩阵是形式，而变换——也就是各种映射才是本质，而代数的重要任务之一就是研究各种数学结构之间的关系——也就是映射.精选ppt维线性空间里的方阵的个维向量如果线性无关，那么它们就可以成为度量维线性空间的一组基，事实上就是一个坐标系体系.矩阵与坐标系精选ppt矩阵描述了一个坐标系精选ppt精选ppt变换坐标精选ppt

从变换的观点来看，对坐标系M施加R变换，就是对组成坐标系M的每一个向量施加R变换.从坐标系的观点来看，对坐标系M的每一个基向量，把它在I坐标系中的坐标找出来,然后通过R组成一个新的（坐标系）矩阵.

MIT精选ppt矩阵既是坐标系，又是变换.

数学定义：矩阵就是由行列数放在一起组成的数学对象精选ppt数学书上的语言是经过千锤百炼的。这种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某些局部理解的精微.

这些描述的语言可能可以有更完善的改进，就像编写的程序有些地方的语句可以改得更巧妙更坚固一样.

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数学容许我们每个人按自己的理解方式来理解,这就看你怎样对它加工，使它明确、使它华丽、使它完美.使它更易于理解和使用.这个过程也就是一个人学懂数学的过程.精选ppt

数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.

--------华罗庚精选ppt将抽象思维形象化将理论知识实用化精选ppt二、矩阵的四个基本子空间精选ppt记：基本定义精选pptColumnspacen=5精选ppt

Rowspacem=3精选pptr=2精选ppt设A的行阶梯形为Notice

则存在可逆矩阵B使得精选pptm=3n=5r=2Pivotrows1and2Pivotcolumns1and4例1精选pptNullspace有三个自由变量：方程有解：精选ppt精选ppt

方程组

中，若不等于0且有解，则其解不会构成子空间，因为没有0元素.精选pptLeftnullspaceLeftnullspace??精选ppt精选ppt设由例2行基精选ppt精选ppt(3,2,-1)(0,1,2)(1,0,3)N(A)精选ppt例3则由解得则显然精选pptRowspaceallATyColumnspaceallAxNullspaceAx=0LeftnullspaceATy=0C(AT)dimrRnN(A)dimn-rRmC(A)dimrN(AT)dimm-r互为正交补AX=b有解bN(AT)Rn精选pptRowspacenullspaceLeftnullspaceActionofonColumnspace精选ppt例4若分解得精选ppt三、矩阵的奇异值分解精选ppt

应用领域1.最优化问题；

特征值问题；

最小二乘问题；

广义逆矩阵问题等.2.统计分析；

信号与图像处理；

系统理论和控制等.精选ppt矩阵的正交对角分解

若A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

(1)其中为矩阵A的特征值，而Q的n个列向量组成A的一个完备的标准正交特征向量系.对于实的非对称矩阵A，不再有像式（1）的分解，但却存在两个正交矩阵P和Q，使为对角矩阵，即有下面的正交对角分解定理.精选ppt

定理设非奇异，则存在正交矩阵P和Q，使得(2)其中证因为A非奇异，所以为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得，其中为特征值令,精选ppt则有或者 再令,于是有即P为正交矩阵，且使改写式(2)为(3)称式（3）为正交矩阵A的正交对角分解精选ppt引理：1.设则是对称矩阵，且其特征值是非负实数.2.3.设则的充要条件是

精选ppt定义设是秩为

的

实矩阵，的特征值为则称

为A的奇异值.精选ppt奇异值分解定理

设A是秩为的则存在

阶正交矩阵实矩阵,与

阶正交矩阵使得其中为矩阵A的全部奇异值.①精选ppt证明设实对称矩阵的特征值为则存在n阶正交矩阵，使得

将

分块为其中

，

分别是

的前

r列与后

列.②精选ppt并改写②式为则有由③的第一式可得③由③的第二式可得令

，则

，即

的r个列是两两正交的单位向量.记精选ppt因此可将

扩充成

的标准正交基，记增添的向量为

，并构造矩阵则是m阶正交矩阵,且有于是可得精选ppt称上式为矩阵A的奇异值分解.精选ppt在矩阵理论中，奇异值分解实际上是“对称矩阵正交相似于对角矩阵”的推广.奇异值分解中

是

的特征向量，而

的列向量是

的特征向量，并且

与

的非零特征值完全相同.但矩阵

的奇异值分解不惟一.注意精选ppt数值秩在没有误差时，奇异值分解可以确定矩阵的秩.但是误差的存在使得确定变得非常困难.例如，考虑矩阵精选ppt因为第三列是前两列的和，所以A的秩是2.如果不考虑到这个关系，运用IEEE标准的双精度浮点计算模式，用MATLAB命令SVD计算A的奇异值：formatlongeA=[1/3,1/3,2/3;2/3,2/3,4/3;1/3,2/3,1;2/5,1/5,3/5;3/7,1/7,4/7]；D=svd(A)精选ppt计算结果为：D=2.4218e+0003.4026e-001

1.875146052457622e-016

因为有“三”个非零奇异值，所以A的秩为“3”.然而，注意到在IEEE双精度的标准下,其中一个奇异值是微小的.也许应该将它看作零.因为这个原因，引人数值秩的概念.精选ppt

如果矩阵有个“大”的奇异值，而其它都很“微小”，则称的数值秩为.为了确定哪个奇异值是“微小”的，需要引人阈值或容忍度.就MATLAB而言，可以把

设为阈值，大于这个阈值的奇异值的数目就是A的数值秩，把小于这个阈值的奇异值看作零.利用MATLAB的命令rank计算的秩，它的结果是2，就是这个道理.精选ppt求矩阵的奇异值分解解:MATLAB程序为：A=[0,-1.6,0.6;0,1.2,0.8;0,0,0;0,0,0][U,S,V]=svd(A)精选ppt计算结果A=0-1.60000.600001.20000.8000000000U=0.80000.600000-0.60000.800000001.000000001.0000精选pptS=2.00000001.00000000000V=001.0000-1.00000.000000.00001.00000精选ppt奇异值分解的几何意义研究将一个空间映射到不同空间，特别是不同维数的空间时，例如超定或欠定方程组所表示的情况，就需要用矩阵的奇异值来描述算子对空间的作用了.

精选ppt考察二维平面上的单位圆在映射A下的变换过程,其中MATLAB程序为：A=[sqrt(3)\sqrt(2),sqrt(3)\sqrt(2);-3\sqrt(2),3\sqrt(2);1\sqrt(2),1\sqrt(2)][U,S,V]=svd(A)精选ppt精选pptV是正交矩阵，表示二维空间的一个旋转精选pptS将平面上的圆变换到三维空间坐标平面上的椭圆精选pptV是正交矩阵，表示二维空间的一个旋转S维将空平间面坐上标的平圆面变上换的到椭三圆U是正交矩阵，表示三维空间的一个旋转精选ppt当A是方阵时，其奇异值的几何意义是:若x是

维单位球面上的一点，则

是一个

维椭球面上的点，其中椭球的

个半轴长正好是A的

个奇异值.简单地说，在2维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴.精选ppt设A是秩为的实矩阵，A的奇异值分解为：即,且

奇异值分解的性质精选ppt则精选ppt（1）A的非零奇异值的个数等于它的秩r，即（2）是的标准正交基.（3）是的标准正交基.（4）是的标准正交基.（5）是的标准正交基.精选ppt从上面的结论可以得到同构精选ppt奇异值分解的特征

1.奇异值分解可以降维A表示

个

维向量，可以通过奇异值分解表示成

个维向量.若A的秩

远远小于

和,则通过奇异值分解可以降低A的维数.可以计算出，当时，可以达到降维的目的，同时可以降低计算机对存贮器的要求.精选ppt2.奇异值对矩阵的扰动不敏感特征值对矩阵的扰动敏感.

在数学上可以证明，奇异值的变化不会超过相应矩阵的变化，即对任何的相同阶数的实矩阵A、B的按从大到小排列的奇异值和有精选ppt3.奇异值的比例不变性,即的奇异值是A的奇异值的倍.

4.奇异值的旋转不变性.即若P是正交阵，PA的奇异值与A的奇异值相同.奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图象的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用.