海淀区2019届高三一模数学试题

海淀区高三年级第一学期期中练习数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项。（1）已知会集A{x|x10}，B{x|xa}.若AUBR，则实数a的值可以为（A）2（B）1（C）0（D）2（2）以下函数中，在区间(0,)上不是单调函数的是．．（A）yx（B）yx2（C）yxx（D）y|x1|（3）已知等差数列{an}的前n项和为S若S3a3，且a30S4，则n.S3（A）1（B）53（C）8（D）33（4）不等式11成立的一个充分不用要条件是x（A）0x1（B）x12（C）0x1（D）x0（5）如图，角以Ox为始边，它的终边与单位圆yO订交于点P，且点P的横坐标为3，则sin()的值为P3523（A）（B）O3x555（C）4（D）455uuuruuuruuur3，（6）在四边形ABCD中，AB∥CD，ACABAD(，R).若2uuur|CD|则uuur|AB|（A）1（B）132（C）1（D）2（7）已知函数fxx3x22xk.若存在实数x0，使得f(x0)f(x0)成立，则实数k的取值范围是（A）[1,)（B）(,1]（C）[0,)（D）(,0]（8）设会集A是会集N*的子集，对于iN*，定义i(A)1,iA,给出以下三个结0,iA.论：①存在N*的两个不一样子集A，B，使得任意iN*都满足i(AIB)0且i(AUB)1；*A，B，对任意i②任取N的两个不一样子集③任取N*的两个不一样子集A，B，对任意i此中全部正确结论的序号是

*i(AIB)i(A)i(B)；N都有N*都有i(AUB)i(A)i(B).（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。（9）已知向量a(1,2)，b(3,t)，且a//b，则t_________.（10）函数f(x)xx6的零点个数为.（11）已知数列{an}的前n项和Snlog2n，则a1_____，a5a6a7a8_______.（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A,B,C,D四点中任取两个点作为向量b的始点和终点，则ab的最大值为.（13）已知数列{an}的通项公式为anlnn.若存在pR，使得anpn对任意的N*都成立，则p的取值范围为______.（14）已知函数f(x)2sinx，g(x)2cosx，此中0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线.①当1时，△ABC面积的最小值为；②若存在△ABC的最小值为.是等腰直角三角形，则三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知数列an为各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，a23，a3a436.（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若n121，求n的最大值.S（16）（本小题满分13分）已知函数f(x)2sinxcos(x)3.32（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若f(x)m0对x[0,]恒成立，务实数m的取值范围.2（17）（本小题满分13分）已知函数f(x)1ax3x2bxc.曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程为yx1.3（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围.（18）（本小题满分13分）在△ABC中，a7，b5，c8．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若点P为射线AB上的一个动点（与点A不重合），设APk.PC①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不一样地点的点P，使得APk.PC（19）（本小题满分14分）已知函数f(x)lnxx.e（Ⅰ）判断函数f(x)在区间0,1上的单调性，并说明原由；（Ⅱ）求证：f(x)1.2（20）（本小题满分14分）已知会集MN*，且M中的元素个数n大于等于5.若会集M中存在四个不一样的元素a，b，c，d，使得abcd，则称会集M是“关系的”，并称会集{a,b,c,d}是会集M的“关系子集”；若会集M不存在“关系子集”，则称会集M是“独立的”.（Ⅰ）分别判断会集{2,4,6,8,10}与1,2,3,5,8是“关系的”还是“独立的”？假如“关系的”，写出其全部的“关系子集”；．．（Ⅱ）已知会集M{a1,a2,a3,a4,a5}是“关系的”，且任取会集{ai,aj}M，总存在M的“关系子集”A，使得{ai,aj}A.若a1a2a3a4a5，求证：a1,a2,a3,a4,a5是等差数列；（Ⅲ）若会集M是“独立的”，求证：存在xM，使得xn2n9.4海淀区高三年级第一学期期中练习参照答案数学阅卷须知:评分参照取所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。其他正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号12345678答案DDCABBAA二、填空题:本大题共6小题，每题5分，共30分.题号91011121314答案610；13ln3，2；32说明:第11，14题第一空3分，第二空2分三、解答题:本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）在等比数列{an}中，设{an}公比为q.由于a23，a3a436，所以a1q3,a1q2a1q336.所以3q3q236.即q2q120.则q3或q4.由于an0,所以q0,所以q3.由于a2a1q3,所以a11.所以数列{an}的通项公式ana1qn13n1.（Ⅱ）在等比数列{an}中，由于Sna1(1qn)(q1)，1q所以Sn13n1(3n1).132由于Sn121，所以Sn1(3n1)121.2所以3n243.所以n5.由于nN*,所以n4.即n的最大值为4.16.解：（Ⅰ）由于f(x)2sinxcos(x)3232sinx(cosxcossinxsin)32332sinx(1cosx3sinx3)222sinxcosx3sin2x321sin2x32cos2x2sin(2x).3所以f(x)的最小正周期为T2.（Ⅱ）“f(x)m0对x[0,]恒成立”等价于“f(x)maxm0”.2由于x[0,]，2所以2x3[,3].3当2x，即x时，3212f(x)的最大值为f()1.12所以1m0，所以实数m的取值范围为,1.17．解：（Ⅰ）f'(x)=ax2+2x+b，由于f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1，ì?f'(0)=1,所以íf(0)=1.ì?b=1,解得í?c=1.132（Ⅱ）f(x)=ax+x+x+1，①当a=0时，f(x)x2x1不存在极大值，不吻合题意.②当a0时，f'(x)=ax2+2x+1.令ax2+2x+1=0.i）当ii）当

44a0，即a1时，不吻合题意.44a0，即0<a<1时，方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根.设方程两个根为x1，x2，且x1<x2.x，f'(x)，f(x)的变化如表所示：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x1)为极大值.③当a<0时，44a0恒成立.设方程两个根为x1，x2，且x1<x2.x，f'(x)，f(x)的变化如表所示：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f'(x)-0+0-f(x)极小值极大值所以f(x2)为极大值.综上，若函数f(x)存在极大值，a的取值范围为(,0)U(0,1).18a7，b5，c8，．解：（Ⅰ）在△ABC中，依据余弦定理cosAb2c2a22bc528272所以cosA1.2582由于A(0,)，所以sinA1cos2A.2（Ⅱ）①在△ABC中，依据正弦定理，得CPAPsinA.sinACPkAPsinACPsinACP23sinACP.PCsinAsin33由于点P为射线AB上一动点，所以ACP(0,).3所以k的取值范围为(0,3].3②答案不独一.取值在区间(1,3)上均正确.319．（Ⅰ）函数f(x)在区间(0,1)上是单调递加函数.原由以下：lnx1-lnx由f(x)=，得f'(x)=x.xexe由于x(0,1),所以1x.所以1-lnx>0.x又由于ex>0，所以f'(x)>0恒成立.所以f(x)在区间(0,1)上是单调递加函数.（Ⅱ）由题意可得，x(0,).1lnxx由于f'(x)ex,111令g(x)lnx,则g'(x)20.xxx所以g(x)在(0,)上单调递减.由于g(1)10,g(e)110，e所以存在独一实数x0，使得g(x0)0，此中x0(1,e).x(0,x0)x0(x0,)f'(x)0f(x)极大值x，f'(x)，f(x)的变化如表所示：所以f(x0)为函数f(x)的极大值.由于函数f(x)在(0,)有独一的极大值.所以f(x)maxf(x0)lnx0.ex0由于1lnx0，x0所以f(x)maxf(x0)lnx0=1x0x0.ex0e由于x0(1,e)，所以f(x)max=111.x0ex0e2所以f(x)<1.220.解：（Ⅰ）{2,4,6,8,10}是“关系的”，关系子集有{2,4,6,8}，{4,6,8,10}，{2,4,8,10}，1,2,3,5,8是“独立的”.（Ⅱ）记会集M的含有四个元素的会集分别为:A1{a2,a3,a4,a5}，A2{a1,a3,a4,a5}，A3{a1,a2,a4,a5}，A4{a1,a2,a3,a5}，A5{a1,a2,a3,a4}.所以，M至多有5个“关系子集”.若A2{a1,a3,a4,a5}为“关系子集”，则A1{a2,a3,a4,a5}不是“关系子集”，不然a1a2;同理可得若A2{a1,a3,a4,a5}为“关系子集”，则A3，A4不是“关系子集”.所以会集M没有同时含有元素a2,a5的“关系子集”，与已知矛盾.所以A2{a1,a3,a4,a5}必定不是“关系子集”.同理A4{a1,a2,a3,a5}必定不是“关系子集”.所以会集M的“关系子集”至多为A1，A3，A5.若A1不是“关系子集”，则此时会集M必定不含有元素a3,a5的“关系子集”，与已知矛盾;若A3不是“关系子集”，则此时会集M必定不含有元素a1,a5的“关系子集”，与已知矛盾;若A5不是“关系子集”，则此时会集M必定不含有元素a1,a3的“关系子集”，与已知矛盾.所以A1，A3，A5都是“关系子集”.所以有a2a5a3a4，即a5a4a3a2;a1a5a2a4，即a5a4a2a1;a1a4a2a3，即a4a3a2a1,所以a5a4a4a3a3a2a2a1.所以a1,a2,a3,a4,a5是等差数列.（Ⅲ）不如设会集M{a1,a2,L,an}（n5），aiN*，i1，2,L,n，且a1a2Lan.记T{t|taiaj,1ijn,i,jN*}.由于会集M是“独立的”的，所以简单知道T中恰好有Cn2n(n1)个元素.2假设结论错误，即不存在xM，使得xn2n9.4所以任取xM，xn2n9.由于xN*，所以xn2n8.44所以aiajn2n8n2n81n2n81n2n3.4n2422所以任取tT，tn3.2任取tT，t123,所以T{3,4,L,n2n3}，且T中含有Cn2n(n1)个元素.22（i）若3T，则必有a11,a22成立.由于n5，所以必定有anan1a2a1成立.所以anan