《圆柱圆锥圆台的表面积和体积》同步作业

《圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》同步作业一、选择题1.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则该圆锥的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4πC解析：设圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.2．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB解析：[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故选B.]3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8C解析：[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]4.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为() B. C. D.34D解析：设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4,故选D.5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是()\f(9,2)π\f(7,2)π\f(5,2)π\f(3,2)πD解析：如图，△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，所以AE＝ABsin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝eq\f(5,2).V1＝eq\f(1,3)π·AE2·CE＝eq\f(5π,2)，V2＝eq\f(1,3)π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝eq\f(3,2)π.故选D.二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为．2解析：[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]7.如图是某几何体的直观图，则这个几何体的表面积为________，体积为________．7π2π＋eq\f(\r(3),3)π解析：这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为eq\r(3))，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π.8．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为2eq\r(10)解析：[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)..]三、解答题9.用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求该圆柱的表面积？解析：方法一如图(1)所示，以矩形8cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OA为底面圆的半径，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，得OA＝eq\f(2,π)，则两底面面积之和为eq\f(8,π)cm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(8,π)))cm2.方法二如图(2)所示，以矩形4cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OB为底面圆的半径，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，得OB＝eq\f(4,π)，则两底面面积之和为eq\f(32,π)cm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(32,π)))cm2.10．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解]因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝.故杯里的水将下降cm.[等级过关练]1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是()\f(C3,4πS) \f(4πS,C3)\f(CS,2π) \f(SC,4π)D解析：[设圆柱底面半径为r，高为h，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]2．在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是()A．(6＋2eq\r(3))π B．6πC．(9＋2eq\r(3))π D．2eq\r(3)πA解析：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA＝eq\r(3)，AB＝2eq\r(3)，所以所形成的几何体的表面积是π×eq\r(3)×(2＋2eq\r(3))＝(6＋2eq\r(3))π.3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3解析：[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]4．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是．eq\f(πr2a＋b,2)解析：[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝eq\f(πr2a＋b,2).]5．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．求：(1)用x表示此圆柱的侧面积表达式；(2)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．解析：(1)设圆柱的半径为r，圆柱的高为x，则eq\f(r