刚体力学最新版本

第3章刚体力学基础在一只猫从高处摔落的下将过程中，它上半身向一个方向扭转，而下半身会向相反方向扭转。且无论从何处摔落，猫通常都能以四脚着地。请分析猫在下落及落地过程中体现出哪些物理规律?§3.1刚体运动概述主要内容：1.刚体模型2.刚体的运动形式3.刚体的自由度3.1.1刚体的运动形式刚体和质点一样是一种理想模型；刚体可以看成是由无数质点构成的质点组；刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中任意两质点间的距离保持不变；1.刚体模型刚体：在力的作用下，大小和形状都始终保持不变的物体。

说明2.刚体的平动平动：刚体运动时，若在其内部所作的任何一条直线，在运动中都始终保持与自身平行的运动形式。

刚体质心的运动代表平动刚体的运动。刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；

说明刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线；刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，各点的运动轨迹都相同；定轴转动:转轴在所选参考系中固定不动的转动。转动轴:刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。3.刚体的转动进动定轴转动转动:刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。定点转动:

在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运动形式。非定轴转动:

转轴位置随时间变化的转动。------进动

平面平行运动：在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平面的距离保持不变的运动形式。一般运动:

滚动铁饼在空中的运动除上述几种运动形式外，刚体其它更为复杂的运动形式。自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。3.1.2刚体的自由度自由度的概念火车：自由度为1飞机：自由度为3轮船：自由度为2刚体的自由度xyzO3个平动自由度(x、y、z)。确定质心C的位置:3个方位角(a、b、g)，其中两个是独立的.确定刚体绕瞬时轴转过的角度j。i=3+2+1=6当刚体受到某些限制——自由度减少。§3.2刚体定轴转动的运动学规律主要内容：1.描述刚体定轴转动的物理量2.定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系3.刚体定轴转动运动学的两类问题转动平面：刚体上垂直于固定轴的任意平面。定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴作圆周运动，在任意时刻其上各质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同。运动学中讲过的角坐标、角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。3.2.1描述刚体定轴转动的物理量转动平面描述刚体定轴转动的物理量是角量角坐标、角位移角速度、角加速度参考方向任选刚体上的任意点P点为参考点

若P在t和t后的角坐标为1和2，则转动平面角位移角坐标刚体定轴转动的运动方程平均角速度角速度瞬时角速度刚体转动的角速度矢量参考方向角加速度

>0，角加速度方向与角坐标正方向相同；

<0，角加速度方向与角坐标正方向相反。刚体定轴转动时，角加速度可看成是只有正、负的代数量。(瞬时)角加速度刚体转动的角加速度矢量在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向。---的正负与相同转动平面

3.2.2定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系刚体内各质点具有相同的角位移、角速度、角加速度，但由于各质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同。

M点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由、的正负确定。刚体转动时，如果和同号，刚体转动是加速的；如果和异号，刚体转动是减速的。3.2.3刚体定轴转动运动学的两类问题第一类问题已知刚体转动运动方程=(t)，求角速度、角加速度------

微分问题第二类问题已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程=(t)------积分问题对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度

=

常量，有一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为=10t2，式中的单位为rad，t的单位为s。根据定义，飞轮的角速度为飞轮的角加速度为距转轴r处质点的切向加速度法向加速度例解求(1)飞轮的角速度和角加速度；(2)距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度。船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，转速为96r/min时振动消失。螺旋桨的初速度为，正常运转角速度为角加速度

为常量，故在起动过程中系统振动所持续的时间。例解求而系统开始振动时刻为系统振动消失时刻为系统振动所持续的时间为且电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0=0，经150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平方成正比。根据题意，设

（k为比例常量）由角加速度的定义，有分离变量并积分，有在这段时间内，转子转过的圈数。例解求t时刻转子的角速度为当t=150s，转子的角速度为则有由此得由角速度的定义，得转子在150s内转过的角度为因而转子在这一段时间内转过的圈数为§3.3刚体绕定轴转动定律主要内容：1.力矩2.刚体绕定轴转动定律3.转动惯量4.定轴转动定律的应用力的大小、力的方向和力的作用线相对于转轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。3.3.1力矩力臂：力对转轴z的力矩:若刚体所受力在转动平面内

若刚体所受力不在转动平面内

在定轴转动中，只有起作用力

对转轴z的力矩平行于转轴分量不能使刚体发生转动对于刚体的定轴转动，力矩Mz可看成是代数量。力矩的正负由右手螺旋法则确定。从z轴正端向负端看，若力F使刚体沿逆时针方向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负。

说明对于刚体的定轴转动，力矩Mz也可认为是矢量。即几个作用力同时作用在一个绕固定轴转动的刚体上时,合力矩等于这几个力各自的力矩的代数和。方向：满足右手螺旋法则。对Pi:两边同乘以ri：切向：对刚体中所有质点求和

和的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零。3.3.2刚体绕定轴转动定律其中内力的力矩之和为所以合外力矩刚体的转动惯量（刚体定轴转动定律）作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与所获得的角加速度的乘积。刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式，即力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因。刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的；刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物理量都是相对于同一转轴而言的；讨论刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。3.3.3转动惯量对质量连续分布的刚体对质量离散分布的质点系转动惯量的定义刚体对某转轴的转动惯量

J等于刚体内每个质点的质量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和。

计算转动惯量的基本公式r质量线分布，为线密度(

)质量面分布，为面密度(

)质量体分布，为体密度(

)(2)刚体的总质量：转动惯量J的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量度。讨论------转动惯量J越大，转动状态越不容易改变。影响转动惯量J大小的三个因素(1)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J

；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；(3)质量相对转轴的分布：转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。转动惯量叠加定理平行轴定理zdCmz'

在细杆上x

处取线元dx(1)取如图所示的坐标细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为试求质量为m，长为l的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。(1)转轴垂直于杆并通过杆的中点；(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端。解(2)以细杆的一端为坐标原点，取如图所示的坐标例线元的质量为则此时的转动惯量为：均质细圆环的质量线密度为由于圆环上各线元到转轴的距离均为R，所以圆环对该轴的转动惯量为试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量。在圆环上任取长度为dl

的线元，该线元的质量为解例

任取一半径为r，宽度dr的圆环。薄圆盘可以看成是许多半径不同的同心圆环的集合。圆环对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为试求半径为R

，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。解例则整个圆盘对该轴的转动惯量为薄圆盘的质量面密度圆环的质量为:常见刚体的转动惯量刚体（质量为m）转轴位置转动惯量细棒（棒长为l）通过中心与棒垂直通过端点与棒垂直细圆环（半径为R）通过中心与环面垂直直径薄圆盘（半径为R）通过中心与盘面垂直直径空心圆柱（内外半径为R1和R2）对称轴球壳（半径为R）中心轴球体（半径为R）中心轴3.3.4刚体定轴转动定律的应用已知转动运动方程θ=θ(t)，求刚体所受合外力矩M；已知刚体所受合外力矩M及初始条件，求刚体的角加速度、角速度ω和转动运动方程。

刚体动力学的两类问题对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体列出定轴转动定律方程；注意利用角量与线量的关系。

应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；滑块A、重物B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m3、半径为r的定滑轮C（可视为均质圆盘）。滑块A与水平桌面间的滑动摩擦系数为μk，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。的力矩：受力分析的力矩：例解力矩分析,取如图所示的正方向列动力学方程对滑块A：若重物B下降时，滑块A的加速度a及绳中的张力。求

对滑轮C（均质圆盘）对重物B且求解以上方程，得

如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。受力分析如图钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）例解求放手后钟摆摆到角位置时的角加速度和角速度。钟摆系统的总转动惯量由刚体定轴转动定律，有而

如图，一半径为R、质量为m的均质圆盘平放在粗糙的水平面上，设圆盘与水平面的摩擦系数为μk，摩擦力均匀地分布于圆盘的底面。若圆盘绕垂直于圆盘中心的OO′轴转动，初速度为ω0。例解受力分析如图，以0的转动方向为正。所取圆环的质量为则这一圆环受到的摩擦力为任取一半径为r，宽度dr的圆环。经过多长时间圆盘会停止？求圆环受到的摩擦力矩为（式中力矩取负号是因为摩擦力矩的方向与选取的正方向相反）整个薄圆盘受到的摩擦力矩为由刚体定轴转动定律有积分并代入初始条件，有棒在水平冲力Fi的力矩作用下，绕通过点O的瞬时轴转动。由定轴转动定律可得

如图，棒球运动员双手握棒于O点，给棒以约束力F。棒的质量为m，棒的质心C到O点的距离为rC。飞来的棒球打击在棒上的P点处，P点到O点的距离为r。在击球的瞬间，球给棒一水平冲力Fi，手给棒的约束力的横向分力为Ft。若打击点的位置选择适当，就会使Ft为零，这时运动员的手掌自然感觉轻松，这一特殊的打击点称为打击中心。例解求打击中心到O点的距离。根据质心运动定理，其水平分量式为又(1)(2)(3)（设棒的转动惯量为J）

(1)(2)(3)联立以上三方程，解得由此可见，手提供的约束力Ft是被动的响应力，它与球给棒的冲击力Fi以及击球点的位置r有关。令,则可求得打击中心的位置为§3.4刚体绕定轴转动的功能关系主要内容：1.刚体绕定轴转动的转动动能2.力矩的功3.刚体绕定轴转动的动能定理4.刚体的重力势能5.含有刚体的力学系统的机械能守恒定律3.4.1刚体绕定轴转动的转动动能对刚体上所有质点的动能求和在刚体上任取一质点Pi质点Pi的动能为（刚体绕定轴转动的转动动能）讨论刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质点的质量m，也说明J是刚体绕定轴转动惯性大小的量度。3.4.2力矩的功力矩和元角位移的乘积角位移dq，元路程ds，元位移力在元路程ds上的元功力矩的元功：刚体从q1转到q2的过程中，力矩对刚体所作的功刚体在合外力作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩对刚体作了功。力矩的功表达式中的即M为作用在刚体上各外力的合外力矩当力矩与角速度同号(或同方向)时，力矩的功为正值；当力矩与角速度异号(或反方向)时，力矩的功为负值。力矩的功的正负力矩的功率力矩所作的功实质上就是力所作的功在刚体转动情况下的表现形式。讨论转动定律设在合外力矩M的作用下3.4.3刚体绕定轴转动的动能定理（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从t1时刻的ω1改变为t2时刻的ω2时，合外力矩对刚体所作的功为（刚体绕定轴转动的动能定理）

刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动。合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状态转动动能的增量。讨论刚体中一对内力所作功的代数和为内力的功不影响刚体的转动动能。若以hC表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能为刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有的重力势能相同。以xOy平面为重力势能零参考面3.4.4刚体的重力势能对刚体中所有质点的势能求和结论：3.4.5含有刚体的力学系统的机械能（系统的机械能守恒定律）对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。当A外+A非保内

=

0时，有力学系统的机械能应包括质点的动能、重力势能，弹性势能；平动刚体的平动动能、重力势能；定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即

如图，一质量为m1、半径为R的定滑轮（可视为均质圆），滑轮上绕着轻绳，轻绳一端系一质量为m2的物体。若滑轮轴承处的摩擦力矩可忽略不计。由质点动能定理，对物体有定滑轮和物体的受力如图例解求物体由静止下落高度h时，物体的速度和定滑轮的角加速度。设物体的初速度为v0，物体下降距离h时，物体的速度为v，定滑轮的角速度为

，其转过的角位移为。由动能定理，对定滑轮有线量与角量的关系联立求解并代入初始条件，即t=0时，v0=0，0=0将上式对时间求导，得定滑轮的角加速度且物体由静止下落高度h时的速度为,则有由于本题可以有几种不同的解法。如图，一质量为m，长度为l的均质细杆，可绕通过其一端O且与杆垂直的光滑水平轴转动。若将此杆在水平位置时由静止释放。例解求当杆转到与水平方向成角q=p

/6时的角速度。

(1)应用刚体绕定轴转动定律求解。根据转动定律，有（式中、、t均为变量）变量代换

由此得即当时(2)应用刚体绕定轴转动的动能定理求解只有重力矩在作功，根据动能定理，有分离变量后两边积分，有由此得(3)应用系统机械能守恒定律求解摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒。

取细杆的水平位置为重力势能零点则有由此解得即当时

如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。已知滑轮半径为r=

0.3m

，转动惯量为J=0.5kgm2。滑块的质量为m=2kg

，斜面倾角为

=370

，弹簧的劲度系数为k=20Nm-1

。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可忽略不计，轻绳不可伸长。(1)当滑块沿斜面滑下1.0m时，它的速率多大？(2)滑块沿斜面将下滑多远？(3)当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？例解求

设滑块沿斜面下滑距离为x时的速率为v，则取弹簧、滑轮、滑块、斜面和地球为研究系统，经分析知系统机械能守恒。取滑块的初始位置为重力势能零点，弹簧自然长度点为弹性势能零点。（参数）任意位置时滑块的速率为(1)当x=1.0m时，速率为(2)当x=xmax时，滑块速率为零

(3)当滑块速率达到最大值时，有则当x=0.6m时，速率为§3.5刚体的角动量定理与角动量守恒定律主要内容：1.刚体绕定轴转动的角动量定理2.角动量守恒定律3.角动量守恒定律在工程技术上的应用在刚体上任取一质点P3.5.1刚体绕定轴转动的角动量定理质点P对z轴的角动量为刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量；

刚体绕定轴转动的角动量(刚体绕定轴转动的角动量)角动量L=Jb

与质点动量

p=mv

相对应。可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，J发生变化的过程，而M=J

仅适用于转动惯量不变的过程。（刚体定轴转动的角动量定理）作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的导数。刚体绕定轴转动的角动量定理将刚体的角动量对时间求导刚体对确定轴的转动惯量不变，则说明：积分形式的角动量定理（定轴转动角动量定理的积分形式）定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量。可以证明，对转动惯量J可变化的质点系或非刚体，在定轴转动时，角动量定理仍成立，即有说明：当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程中的角动量保持不变。3.5.2角动量守恒定律（角动量守恒定律）当M

=

0时，有讨论角动量守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体。(1)对于刚体角动量守恒时，转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀角速转动；(2)对非刚体，角动量守恒时，转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变：当J变大时，角速度变小；当J变小时，角速度变大。花样滑冰运动员通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速在非定轴转动的情况下，只要作用在物体的外力对过质心轴的合外力矩为零，则它对过质心的同一轴的角动量也保持不变。角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用于天体运动和微观粒子的运动。分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。由角动量守恒，有非保守内力作正功，机械能增加。得系统机械能的变化

一质量为m，长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0与细杆在其3l/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。

(1)碰撞后系统的角速度；(2)碰撞后细杆能上摆的最大角度q0。(1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒例解求而则有(2)上摆过程机械能守恒，取细杆下端水平面为重力势能零点，则有

如图，在光滑水平面上放一质量为m、长为l的均质细棒，细棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止。若有一质量为m0

的小球，以垂直于细棒的水平速度v0冲击细棒的一个顶端，设冲击是完全弹性碰撞。碰撞后小球的反弹速度v和细棒的角速度w。例解求外力对转轴C的合外力矩为零，碰撞时系统角动量守恒，有由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机械能守恒，则

设子弹与细棒以初速v0接触相碰时为起始状态，子弹以速度v0/4穿出棒时为末状态（用两种不同的解法）。如图，一质量为m1，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度v0射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0/4。子弹穿出后棒所获得的角速度w。解求例(1)应用动量定理和角动量定理求解设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理(1)子弹对细棒的冲击力为F′,对细棒应用角动量定理(2)而(2)且(1)比较式(1)和式(3)可得则式(2)变为(3)(2)应用系统角动量守恒定律求解取子弹和细棒为一系统。在子弹射入棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与细棒之间的作用力为内力，轴承上的作用力以及重力均不产生力矩，故系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。应用系统角动量守恒定律，有由此解得所以且如图，一个质量为m1，半径为R的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m2的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止。解求例当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。取人和转台作为系统。系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。人和转台对轴的转动惯量为设人和转台对地的角速度分别为和Ω，则以和Θ分别表示人和转台对地的角坐标，则两边积分，有当人在转台上走动一周时，人对转台走过2，对地走过则得下面分三个物理过程进行计算

如图，一根长为l,质量为m1的均质细杆,可绕其一端的水平轴O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小球（m2<<m1）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动。设杆旋转微小角度后，角速度就减小到零。此时弹簧的伸长量。解求例小球未落下时，细杆受重力和弹性力处于平衡状态，所受合力矩为零，设此时弹簧的伸长量为x0，则有(1)(2)小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，由于系统（小球和细杆）受到的合外力矩为零，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为，则有(3)(2)(1)小球自高h处自由下落，到与杆接触的前一瞬间，具有速率为v，则有(3)杆与球碰撞后系统的下降过程，共同以角速度转动，具有的转动动能为当转动微小角度时，弹簧又伸长了x，且(4)根据动能定理，有(5)由式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)可解得总伸长量为应用角动量守恒定律求解刚体力学综合问题的一般思路需要先分清过程再写方程；质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律；角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。质点的运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度质量转动惯量力力矩运动规律转动定律动量动量角动量角动量动量定理角动量定理质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动刚体的定轴转动动量守恒角动量守恒力的功力矩的功动能转动动能动能定理动能定理重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）3.5.3角动量守恒定律在工程技术上的应用

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