《直线与圆锥曲线的位置关系》设计

《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计【考点透视】一、考纲指要1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法.二、命题落点1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.【典例精析】例1：(2022·山东)设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析:如右图,根据题意易得与关系O对称设过圆上一点且平行与的直线方程为联立得：若与椭圆相切则可求得：即,到的最小距离为①到的最大距离为②，（为P到AB的距离），，．由①②式可知满足条件的点有两个.答案:B例2：(2022·北京春)若直线mx＋ny-3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点,则m,n满足的关系式为_______;以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆eq\f(x2,7)+\f(y2,3)=1的公共点有____个.解析:∵直线mx＋ny-3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点,∴eq\f(3,\r(m2+n2))＞eq\r(3),解得0＜m2＋n2＜3.∴eq\f(m2,7)+\f(n2,3)<\f(m2,3)+\f(n2,3)<1,即点P(m,n)在椭圆内部,故过P的直线必与椭圆有两个交点.答案:0＜m2＋n2＜3,2.例3.（2022·山东）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且＝时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解析：（1）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线∴轨迹方程为；（2）如图，设，由题意得又直线OA、OB的倾斜角、满足＋＝，故0＜，＜．∴直线的斜率存在，否则OA、OB直线的倾斜角之和为，从而设其方程为．显然．将与联立消去，得．由韦达定理知．(*)由，得＝＝．将(*)式代入上式整理化简可得：，此时，直线的方程可表示为即，∴直线恒过定点．【常见误区】1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。【基础演练】1．(2022·全国I,理7文7)椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则＝（）A．eq\f(\r(3),2)B．eq\r(3)C．eq\f(7,2)D．42．(2022·全国I,理8文8)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是（）A．[-eq\f(1,2),eq\f(1,2)]B．[-2,2]C．[-1,1]D．[-4,4]3．(2022·湖南师大附中)已知双曲线且与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数为有（）A．1B．2C．3D．44．(2022·南通密卷)双曲线＝1(a＞0,b＞0)的两焦点为F1、F2,|F1F2|＝2c,P为双曲线上一点,PF1⊥PF2,则P到实轴的距离等于（）A．B．C．D．5．(2022·年天津)如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线段与抛物线y＝x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.6．(2022·重庆)对任意实数k,直线：与椭圆：恒有公共点,则b取值范围是.7．(2022·全国1)设双曲线C：eq\f(x2,a2)-y2=1(a＞0)与直线l:x＋y＝1相交于两个不同的点A、B．（1）求双曲线C的离心率e的取值范围;（2）设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.8．（2022·重庆）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.9．(2022·全国3)设椭圆的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0)(c＞0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q.若eq\f(|QF2|,|PF2|)=2-\r(3),求直线PF2的方程.参考答案1.C2.C3.B4.A5.(-∞,-eq\f(13,4))6.[-1,3]7.(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2＋2a2x-2a2＝双曲线的离心率（2）设由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0,8.（1）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（2）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为9.(1)由题设有m＞0,c＝eq\r(m).设点P的坐标为(x0,y0),由PF1⊥PF2,