人教A版高中数学选修《导数综合练习题》

导数练习题1．（本题满分12分）已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象如图所示．（I）求c,d的值；（II）若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的剖析式；（III）在（II）的条件下，函数yf(x)与y1f(x)5xm3的图象有三个不相同的交点，求m的取值范围．2．（本小题满分12分）已知函数f(x)alnxax3(aR)．（I）求函数f(x)的单调区间；（II）函数f(x)的图象的在x4处切线的斜率为3,若函数1x3m]在区间（1，3）上不是单调函数，求2g(x)x2[f'(x)m的取值范围．323．（本小题满分14分）已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处获取极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程f(x)(2a3)2恰好有两个不相同的根，求f(x)的剖析式；9（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意、R，求证：|f(2sin)f(2sin)|81．4．（本小题满分12分）已知常数a0，e为自然对数的底数，函数f(x)exx，g(x)x2alnx．I）写出f(x)的单调递加区间，并证明eaa；II）谈论函数yg(x)在区间(1,ea)上零点的个数．5．（本小题满分14分）已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1．I）当k1时，求函数f(x)的最大值；II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；6．（本小题满分12分）已知x2是函数f(x)(x2ax2a3)ex的一个极值点（e2.718）．I）求实数a的值；II）求函数f(x)在x[3,3]的最大值和最小值．27．（本小题满分14分）已知函数f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0)I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值．8．（本小题满分12分）已知函数f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不拥有单调性．．．．（I）求实数a的取值范围；（II）若f(x)是f(x)的导函数，设g(x)f(x)622，试证明：对任意两个不38|x1x相等正数x1、x2，不等式|g(x1)g(x2)|x2|恒成立．279．（本小题满分12分）已知函数f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.2（I）谈论函数f(x)的单调性；（II）证明：若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2f(x1)f(x2),有1.x1x210．（本小题满分14分）已知函数f(x)1x2alnx,g(x)(a1)x,a1．2I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（II）若a(1,e](e2.71828L)，设F(x)f(x)g(x)，求证：当x1,x2[1,a]时，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．11．（本小题满分12分）设曲线C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)导函数．I）求函数f(x)的极值；II）对于曲线C上的不相同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2，求证：存在唯一的x0(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f(x0)．12．（本小题满分14分）定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)，（I）令函数f(x)F(3,log2(2xx24))，写出函数f(x)的定义域；使（II）令函数g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的图象为曲线，若存在实数bC得曲线C在x0(4x01)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；（III）当x,yN*且xy时，求证F(x,y)F(y,x)．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象如图所示．（I）求c,d的值；（II）若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的剖析式；（III）在（II）的条件下，函数yf(x)与y1f(x)5xm的图象有三个不3同的交点，求m的取值范围．解：函数f(x)的导函数为f'(x)3ax22bxc3a2b（2分）（I）由图可知函数f(x)的图象过点（0，3），且f'(1)0得d3d3（4分）3a2bc3a2b0c0（II）依题意f'(2)3且f(2)5解得a1,b6所以f(x)x36x29x3（8分）（III）f(x)3x212x9．可转变成：x36x29x3x24x35xm有三个不等实根，即：gxx37x28xm与x轴有三个交点；gx3x214x83x2x4，+0-0+增极大值减极小值增g268m,g416m．（10分）327当且仅当g268m0且g416m0时，有三个交点，327故而，16m68为所求．（12分）272．（本小题满分12分）已知函数f(x)alnxax3(aR)．（I）求函数f(x)的单调区间；（II）函数f(x)的图象的在x4处切线的斜率为3,若函数1x3m]在区间（1，3）上不是单调函数，求2g(x)x2[f'(x)m的取值范围．32解：（I）f'(x)a(1x)(x0)（2分）x当a0时,f(x)的单调增区间为0,1,减区间为1,当a0时,f(x)的单调增区间为1,,减区间为0,1;当a=1时，f(x)不是单调函数（5分）（II）f'(4)3a32,f(x)2lnx2x34得a2g(x)1x3(m2)x22x,g'(x)x2(m4)x2（6分）32g'(1)0,g'(3)0.

m3,19,3)（8分）m19,（10分）m(（12分）333．（本小题满分14分）已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处获取极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程f(x)(2a3)2恰好有两个不相同的根，求f(x)的剖析式；9，对任意，求证：．（III）对于（II）中的函数f(x)、R)f(2sin)|81|f(2sin解：（I）f(0)0c0,f(x)3x22axb,f(1)0b2a3由f(x)0x1或x2a3，由于当x1时获取极大值，3所以2a31a3，所以a的取值范围是:(,3)；3（4分）（II）由下表：+0-0-极大递加值递减极小值递加a2依题意得：a6(2a3)2(2a3)2，解得：a9279所以函数f(x)的剖析式是：f(x)x39x215x（10分）（III）对任意的实数,都有22sin2,22sin2,在区间[-2，2]有：f(2)8363074,f(1)7,f(2)836302函数f(x)在区间[2,2]上的最大值与最小值的差等于81，所以|f(2sin)f(2sin)|81．（14分）4．（本小题满分12分）已知常数a0，e为自然对数的底数，函数f(x)exx，g(x)x2alnx．I）写出f(x)的单调递加区间，并证明eaa；II）谈论函数yg(x)在区间(1,ea)上零点的个数．解：（I）fxex10，得f(x)的单调递加区间是(0,)，（2分）( )∵a0，∴f(a)f(0)1，∴eaa1a，即eaa．（4分）2(x2a2a（II）g(x)2xa)(x)2a，列表22，由g(x)0，得xxx2-0+单调递减极小值单调递加当x2a时，函数yg(x)取极小值g(2a)a(1lna)，无极大值．2222（6分）由（I）eae2aeaa，∴ea2aa，∵a，∴e2aa222g(1)10，g(ea)e2aa2(eaa)(eaa)0（8分）（i）当2a1，即0a2时，函数yg(x)在区间(1,ea)不存在零点2（ii）当2a1，即a2时2若a(1lna)0，即2a2e时，函数yg(x)在区间(1,ea)不存在零点22若a(1lna)0，即a2e时，函数yg(x)在区间(1,ea)存在一个零点xe；22若a(1lna)0，即a2e时，函数yg(x)在区间(1,ea)存在两个零点；22综上所述，yg(x)在(1,ea)上，我们有结论：当0a2e时，函数f(x)无零点；当a2e时，函数f(x)有一个零点；当a2e时，函数f(x)有两个零点．（12分）5．（本小题满分14分）已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1．I）当k1时，求函数f(x)的最大值；II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；解：（I）当k1时，f(x)2xx1f(x)定义域为（1，+），令f(x)0,得x2，（2分）∵当x(1,2)时,f(x)0，当x(2,)时,f(x)0，∴f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,)上是减函数∴当x2时，f(x)取最大值f(2)0（4IIk0时yln(x1)yk(x1)1f(x)811kkxk(x1k)k0时kk6f(x)x1xx11f(x)0,得xk1x(1,k1)时,f(x)0,x(11,)时,f(x)01kk1kf(x)在(1,1)在[1,)kkf(x)f(11)lnkkf(x)lnk0k1f(x)kk(1,)10612x2f(x)(x2ax2a3)exe2.718IaIIf(x)x[3,3]If(x)2(x2ax2a3)exf(x)(2xa)ex(x2ax2a3)ex[x2(2a)xa3]ex4x2f(x)f(2)0(a5)e20a56IIf(x)(x2)(x1)ex0f(x)(,1)(2,)f(x)0f(x)(1,2)f(2)e2f(x)x[3,3]82322323373f(3)3e37e13f()ef(3)ef( )44e(4ee7)0,f(3)f( )2422f(x)x[3,3]f(3)e3122714f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0)Ia=18f(x)IIf(x)[e,e2]f(x)x24x16lnxf'(x)2x4162(x2)(x4)2xxf'(x)0(x2)(x4)0x4x2注意到x0，所以函数f(x)的单调递加区间是（4，+∞）由f'(x)0得(x2)(x4)0，解得-2＜x＜4，注意到x0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4].综上所述，函数f(x)的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是(0,4]6分（Ⅱ）在x[e,e2]时，f(x)x24x(2a)lnx所以f'(x)2x42a2x24x2a，xx设g(x)2x24x2a当a0时，有△=16+4×2(2a)8a0，此时g(x)0，所以f'(x)0，f(x)在[e,e2]上单调递加，所以f(x)minf(e)e24e2a8分当a0时，△=1642(2a)8a0，令f'(x)0，即2x24x2a0，解得x12a或x12a；22令f'(x)0，即2x24x2a0，解得12ax12a.22①若12a≥e2，即a≥2(e21)2时，2f(x)在区间[e,e2]单调递减，所以f(x)minf(e2)e44e242a.②若e12ae2，即2(e1)2a2(e21)2时间，2f(x)在区间[e,12a]上单调递减，在区间[12a,e2]上单调递加，22所以f(x)minf(12a)a2a3(2a)ln(12a).222③若12ae(e1)2时，f(x)在区间[e,e2]单调递加，2≤，即0a≤2所以f(x)minf(e)e24e2a综上所述，当a≥2(e21)2时，f(x)mina44e242a；当2(e1)2a2(e21)2时，f(x)mina2a3(2a)ln(12a)；22当a2(e1)2时，f(x)mine24e2a14分≤8．（本小题满分12分）已知函数f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不拥有单调性．．．．（I）求实数a的取值范围；（II）若f(x)是f(x)的导函数，设g(x)f(x)62，试证明：对任意两个不x2相等正数x1、x2，不等式|g(x1)g(x2)|38|x1x2|恒成立．27If(x)2x6a2x26xa2xxf(x)x(2,)x(2,)f(x)0y2x26xax(2,)4y2x26xax3y22262a02aIIIg(x)2x

(,4)622xx1g(x)2a20)f(x)x262xxx2(xa4g(x)2a42442x34x48x2x3x2x3x3h(x)2448124(2x3)x2x3h(x)x3x4x4333h(x)38h(x)(0,)(,)x22227g(x)38(g(x)38x)0yg(x)38x272727x1、x2x1x2g(x2)38x2g(x1)38x12727g(x2)g(x1)38(x2x1)x2x10g(x1)g(x2)3827x1x227g(x1)g(x2)38|g(x1)g(x2)|38|x1x2|12x1x227272M(x1,g(x1))N(x2,g(x2))yg(x)g(x1)g(x2)22(x1x2)aQx1x22x1x2a4x1x2x12x22x1x22(x1x2)a(4a(4482x12x22x1x2x1x2)3x1x22x1x2)3x1x22t1,t0kMNu(t)24t34t2u(t)4t(3t2)x1x2u(t)0t2,u(t)00t2,33u(t)(0,2)(2,)33u(t)t238u(t)38g(x1)g(x2)3832727x1x227|g(x1)g(x2)|3812|x1x2|27912已知函数f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.2（I）谈论函数f(x)的单调性；（II）证明：若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2f(x1)f(x2)1.,有x2x1（1）f(x)的定义域为(0,)，f'(x)xaa1x2axa1(x1)(x1a)xxx2分（i）若a11,即a2，则f'(x)(x1)2.故f(x)在(0,)单调增加．（ii）若a11,而ax1,故1a2,则当x(a1,1)时,f'(x)0.当x(0,a1)及x(1,)时,f'(x)0,故f(x)在(a1,1)单调减少，在（0，a-1），(1,)单调增加．（iii）若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少,在(0,1),(a1,)单调增加．（II）考虑函数g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx.2由g'(x)x(a1)a12xa1(a1)1(a11)2.xx由于aa5,故g'(x)0,即g(x)在(0,)单调增加，从而当x1x20时有故f(x1)f(x2)1，当0x1x2时，有f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)1x1x2x1x2x2x110．（本小题满分14分）已知函数f(x)1x2alnx,g(x)(a1)x,a1．2I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（II）若a(1,e](e2.71828L)，设F(x)f(x)g(x)，求证：当x1,x2[1,a]时，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．解：（I）f(x)xa,g(x)a1，（2x分）∵函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当x[1,3]时，f(a1)(x2a)恒成立，（4分）(x)g(x)0x即(a1)(x2a)0恒成立，∴∵

a1在x[1,3]时恒成立，或a1在x[1,3]时恒成立，ax2ax29x1，∴a1或a9（6分）（II）F(x)1x2alnx,(a1)x，F(x)xa(a1)(xa)(x1)2xx∵F(x)定义域是(0,)，a(1,e]，即a1∴F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实质减函数，在(a,)是增函数∴当x1时，F(x)取极大值MF(1)a1，12当xa时，F(x)取极小值mF(a)alnaa2a，（8分）2x,x2[1,a]，∴12)||Mm|Mm（10∵1|F(x)F(x分）设G(a)Mm1a2alna1，则G(a)alna1，22∴[G(a)]11，∵a(1,e]，∴[G(a)]0a∴G(a)alna1在a(1,e]是增函数，∴G(a)G(1)0∴G(a)1a2alna1在a(1,e]也是增函数（1222分）∴G(a)G(e)，即G(a)1e2e1(e1)21，222而1e2e1(e1)21(31)211，∴G(a)Mm12222∴当x1,x2[1,a]时，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．（14分）11．（本小题满分12分）设曲线C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)（I）求函数f(x)的极值；（II）对于曲线C上的不相同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2x0(x,x)，使直线AB的斜率等于f(x)．的120

导函数．，求证：存在唯一1解：（I）f(x)x当x变化时，

1ex1e0，得xxef(x)与f(x)变化情况以下表：＋0－单调递加极大值单调递减∴当x1时，f(x)获取极大值f(1)2，没有极小值；（4ee分）（II）（方法1）∵f(x0)kAB，∴1elnx2lnx1e(x2x1)，∴x2x1lnx20x0x2x1x0x1即x0lnx2(xx)x121g(x1)x1lnx2(x2x1∵x1x2，∴g(x1)g(x)xlnx2(x222x1∵x1x2，∴g(x2)

0，设g(x)xlnx2x1)，g(x1)x1x1lnx2/x1g(x2)x2lnx2(x2x2x1)，g(x2)/lnx2x2x1g(x1)x1lnx1(x1x1

(x2x1)0，g(x1)是x1的增函数，x2)0；0，g(x2)是x2的增函数，x1)0，∴函数g(x)xlnx2(x2x1)在(x1,x2)内有零点x0，（10x1分）又∵

x21,lnx20，函数g(x)xlnx2(x2x1)在(x1,x2)是增函数，x1x1x1∴函数g(x)x2x1lnx2在(x1,x2)内有唯一零点x0，命题成立（12xx1分）（方法2）∵f(x0)kAB，∴1elnx2lnx1e(x2x1)，x0x2x1即x0lnx2x0lnx1x1x20，x0(x1,x2)，且x0唯一设g(x)xlnx2xlnx1x1x2，则g(x1)x1lnx2x1lnx1x1x2，再设h(x)xlnx2xlnxxx2，0xx2，∴h(x)lnx2lnx0∴h(x)xl