高考数学复习全套 第二章 第一节 映射、函数及反函数

1编辑ppt2编辑ppt1.了解映射的概念，理解函数的概念.2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图

象间的关系，会求一些简单函数的反函数.3编辑ppt4编辑ppt5编辑ppt

1.函数与映射的概念函数及相关概念函数定义记法设A、B是非空的

，如果按某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有

的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.y＝f(x)，x∈A数集唯一确定6编辑ppt函数及相关概念定义域和值域定义域值域

取值的范围所有

构成的集合表示法

、

和

.分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的

，这样的函数通常叫做分段函数自变量函数值列表法图象法解析法对应法则7编辑ppt映射及相关概念映射定义象与原象象原象

是

在映射f下的象

称作

的原象设A，B是两个

，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个x，在B中

y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射非空集合有一个且仅有一个元素yxxy8编辑ppt映射及相关概念定义域与值域定义域值域A叫做映射f的定义域所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域一一映射如果映射是集合A到集合B的映射并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都

一个原象，这时就说这两个集合间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射有且只有9编辑ppt[思考探究]映射与函数有什么区别？提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.10编辑ppt2.反函数

函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直

线

对称.y＝x11编辑ppt12编辑ppt1.若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面

说法错误的是(

)A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素

B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同

C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同

D.B中的元素在A中可能没有对应元素解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.答案：B13编辑ppt2.如图所示，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是(

)14编辑ppt15编辑ppt解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D符合函数定义.答案：D16编辑ppt3.下列各组函数是同一函数的是(

)A.y＝与y＝1B.y＝|x-1|与y＝C.y＝|x|＋|x-1|与y＝2x－1D.y＝与y＝x17编辑ppt答案：D解析：排除A；排除B；排除C.18编辑ppt答案：f－1(x)＝1－(x>1)解析：设f(x)＝y＝(x－1)2＋1⇒x＝1±，又∵x<1，y>1，∴f－1(x)＝1－，f－1(x)的定义域为{x|x>1}.4.函数f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为

.19编辑ppt5.设集合M和集合N都是点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：

M→N，把M中的元素(x，y)映射成N中元素(x＋y，x－y)，

则象(2,1)的原象是

.答案：解析：由得20编辑ppt21编辑ppt

对于映射f：A→B的理解要抓住以下三点：1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个系统；2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它

与从B到A的对应关系是不同的；3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应.其要

点在“任意”、“唯一”两词上.22编辑ppt已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之相对应，则k的取值范围是(

)A.k＞1

B.k≥1C.k＜1D.k≤123编辑ppt[思路点拨]24编辑ppt[课堂笔记]

由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2－2x＋k＝0无实数根.∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1.∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应.[答案]

A25编辑ppt若－15∈B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？解：∵－15∈B，∴－x2＋2x＝－15.即x2－2x－15＝0解之得x＝－3或x＝5.26编辑ppt

求函数解析式的常用方法1.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)

表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；2.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式

即可；27编辑ppt3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般

形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系

式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).28编辑ppt[特别警示]

函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.29编辑ppt

(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式.[思路点拨]30编辑ppt[课堂笔记]

(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立.∴f(x)＝2x＋7.解得31编辑ppt(2)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1).代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1).32编辑ppt若将(2)中的条件改变“f(x)＋2f()＝3x”，求f(x)的解析式？解：∵f(x)＋2f()＝3x，①∴以

代x，则f()＋2f(x)＝3·.②

由①②联立消去f()得f(x)＝－x(x≠0).故f(x)＝－x(x≠0).33编辑ppt1.常用性质(1)函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；函数

y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域.(2)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线

y＝x对称；反之，若单调函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于

直线y＝x对称，则函数y＝f(x)和函数y＝g(x)互为反函数.34编辑ppt(3)函数y＝f(x)的反函数仍为自身函数的充要条件是它自身

的图象关于直线y＝x对称.(4)设函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)存在反函数y＝f－1(x)(x∈B，

y∈A)，则f－1(f(x))＝x(x∈A)，f(f－1(x))＝x(x∈B).(5)若函数y＝f(x)是单调函数，则它的反函数y＝f－1(x)的单调

性和原函数y＝f(x)的单调性相同.35编辑ppt[特别警示]

(1)定义域上的单调函数必有反函数.(2)周期函数不存在反函数.(3)分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成.36编辑ppt2.求反函数的步骤是“一解”、“二换”、“三定义”.所谓一解，即

首先由给出的原函数的解析式y＝f(x)，反解出用y表示x的式

子x＝f－1(y)；二换，即是将x＝f－1(y)中的x，y两个字母互换，

得到y＝f－1(x)即为所求的反函数(即先解后换)；三定义，即

求出反函数的定义域(即原函数的值域).37编辑ppt求下列函数的反函数：(3)y＝x|x|＋2x.[思路点拨]38编辑ppt[课堂笔记]

(1)由于y＝＝2＋，在x<－1时为减函数，故存在反函数.又y＝，得x＝原函数值域为{y|－<y<2}.∴所求反函数为y＝(－<x<2)39编辑ppt(2)∵x≥1，∴x2－1≥0∴y＝－≤0.由y＝－，得y2＝x2－1，∴x2＝1＋y2，∵x≥1，∴x＝(y≤0)，∴f－1(x)＝(x≤0).40编辑ppt(3)当x≥0时，y＝x2＋2x，即(x＋1)2＝y＋1，∴x＝－1＋(y≥0).当x<0时，y＝－x2＋2x，即1－y＝(x－1)2.∴x＝1－(y<0).∴x＝∴所求反函数为y＝41编辑ppt以选择题的形式考查分段函数解析式的求法是高考对本节内容的常规考法.09年上海春季高考和全国Ⅰ分别以选择题的形式考查了反函数图象和互为反函数的函数定义域、值域间的关系问题，是一个新的考查方向.42编辑ppt

[考题印证](2009·上海春考)函数y＝1＋(－1≤x≤0)的反函数图象是

(

)43编辑ppt【答案】

C【解析】由函数y＝1＋(－1≤x≤0)，得：x2＝1－(y－1)2，又因为(－1≤x≤0).所以x＝－，因此y＝1＋(－1≤x≤0)的反函数为y＝－(x≥1)，其图象为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆上x≥1，－1≤y≤0的那部分.44编辑ppt[自主体验](2009·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝(

)A.0B.1C.2D.4解析：g(1)＝1，又当g(x)＝1＋2lgx＝1时，x＝1，即f(1)＝1，则f(1)＋g(1)＝2.答案：C45编辑ppt46编辑ppt47编辑ppt1.(2009·湖北高考)函数的反

函数是(

)A.y＝(x∈R，且x≠)B.y＝(x∈R，且x≠－)C.y＝(x∈R，且x≠1)D.y＝(x∈R，且x≠－1)48编辑ppt解析：∵y＝＝－1＋≠－1，∴其反函数的定义域为{x|x≠－1}.y＝⇔y＋2y·x＝1－2x⇔x＝∴反函数的解析式为y＝答案：D49编辑ppt2.若函数y＝f(x)的图象是一如图所示的一个四分之一的圆弧，

则函数y＝f－1(x)是(

)A.y＝(－5≤x≤0)B.y＝(0≤x≤5)C.y＝5－(－5≤x≤0)D.y＝5－(0≤x≤5)50编辑ppt解析：∵f(x)过(5，－5)，∴f－1(x)过(－5,5)，排除A、B，又f(x)的值域是[－5,0]，∴f－1(x)的定义域是[－5,0]，排除D.答案：C51编辑ppt3.已知函数f(x)＝，那么f[f()]的值为

(

)A.9B.C.－9D.－解析：由于f[f()]＝f(log2)＝f(－2)＝3－2＝.答案：B52编辑ppt4.(2009·北京高考)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则

x＝

.解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32，x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)，故x＝log32.答案：log3253编辑ppt5.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，

a，b为常数，则f(ax＋b)＝

.54编辑ppt解析：∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则∴a＝2，b