第三节 矩阵的初等变换_第1页
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文档简介

引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第三节矩阵的初等变换(书第三章第一节)第二章矩阵及其运算解用“回代”的方法求出解：于是解得(2)小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换)（以替换)（以替换）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：回代过程：特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵:设若当i>j时,恒有:且各行中第一个非零元素前面零元素的个数随行数增大而增多.注意:元素全为零的行只会在最下面.例如：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换释疑解难1.一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵有何异同?答它们的共同点是:

1)阶梯数相等,且等于矩阵的秩;2)每个阶梯上只有一行,阶梯的每条竖线后的第一个元素不等于零;3)阶梯线以下的所有元素都是零.它们的不同点是:行最简形矩阵要求每个阶梯上的第一个非零元为1,且第一个非零元1所在的列上的所有元素全都为零;标准形要求所有的非零元都为1.如.

行阶梯形矩阵其特点是：阶梯线以下的元素全是０，台阶数即为非零行数,竖线后面的第一个元素为非零元.

行最简形矩阵其特点是：非零行的第一个非零元为１，且这些非零元1所在的列的其它元素都为０.

标准形矩阵其特点是：左上角为一单位矩阵,其它位置上的元素全都为0.2.一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明.答矩阵的行阶梯形矩阵不唯一,而其行最简形矩阵和标准形矩阵

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