二次函数与一元二次方程关系

22.2二次函数与一元二次方程

问题1:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ（4）球从飞出到落地需要用多少时间？

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c

深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．

问题2（1）下列二次函数的图象与

x轴有公共点吗？如果有，

公共点的横坐标是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO

（2）当

x取公共点的横坐标时，函数值是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO

（3）由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？

x

2

+

x-2=0x

2

-6x+9=0x

2

-

x+1=0y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xOy

654321-1-2O（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c

的图象可知（1）如果抛物线y=ax2+bx+c

与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根．

由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的．问题3（1）利用函数图象求方程x2－2x－2=0的实数根．解：作y=x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7xyO－222464－48－2－4y=x2－2x－2(2.7,0)(－0.7,0)问题（2）利用函数图象求方程x2－2x－2=—2的实数根．xyO－222464－48－2－4y=x2－2x－2(2.7,0)(－0.7,0)（3）利用函数图象,当方程x2－2x－2=k有实数根时，k的范围。（4）利用函数图象,不等式x2－2x－2>0时，x的范围。（5）利用函数图象,不等式x2－2x－2<0时，x的范围。（6）利用函数图象,当方程︱x2－2x－2︳=k有两个不相等实数根时，k的范围。AB3.7（8）利用函数图象,直线AB:y1=kx-2,当y1>y时,求自变量x的范围。（7）利用函数图象,直线AB:y1=kx-2,当y1=y时,求自变量x的范围。练习：1.汽车刹车后的距离S（单位：m）与行驶时间t（单位为：s）的函数关系式S=15t－6t2，汽车刹车后停下来行驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？解：由函数关系可得：5=15t－6t2解方程得x1≈0.98x2≈28.75（不符合实际舍去）所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s．2.一个滑雪者从85m长的山坡滑下