第三章幂级数展开

函数有精确表示和近似表示。精确表示（解析表示）：表示为初等函数通过四则运算近似表示：逼近近似表示为初等函数通过四则运算级数表示表示为一个函数级数第三章幂级数展开复数项级数；变项级数（函数级数）；幂级数；幂级数对复变函数研究的应用：泰勒级数；洛朗级数，函数的奇异性研究。3.1复数项级数级数是无穷项的和1.级数的收敛和柯西判据复无穷级数每一项为收敛如果极限存在并有限收敛：充要条件是其实部与虚部都收敛柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小的正整数，必存在一n

使得n>n

时有式中p

为任意正整数。2.绝对收敛收敛。两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。3.复变项级数的每一项都是复变函数。实际上，对于z的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。则原级数收敛。复变项级数有一个定义域b

。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。收敛复变项级数在其定义域b中每一点都收敛，则称在b中收敛。它满足柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小正整数，必存在一n(z)

使得n>n(z)

时有一致收敛当n

与z无关时。即对b

中所有点给定，就有一个统一的n

使判据得到满足。

一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积分。绝对一致收敛在区域b中，复数项级数的各项满足

而数项级数收敛。即在各点都绝对收敛给定

收敛，但与z的位置有关。3.2幂级数幂函数的复变项级数对于各复常数级数叫以为中心的幂级数。1.定义(3.2.1)z02.收敛的达朗贝尔判据研究(3.2.1)的模的如下级数满足则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。(3.2.1)(3.2.2)则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。3.收敛圆记有收敛圆r叫收敛半径，以为圆心，r为半径的圆叫幂级数的最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收敛的。根值判别法(3.2.2)收敛，(3.2.1)绝对收敛。(3.2.2)发散，(3.2.1)发散。故当，(3.2.1)绝对收敛。当，(3.2.1)可能发散。故例(1)解：收敛半径:收敛圆内部为其实，对于(2)但对于显然级数发散。解：收敛圆实际上对于4.幂级数的积分表示利用柯西公式在一个比收敛圆c内稍小的圆c’中幂级数绝对一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。记c’上点为，而c’内任一点为z，则圆上的幂级数为利用柯西公式得而有界，又乘以幂级数在收敛圆内可任意逐项求导。还可以逐项积分。3.3泰勒级数展开具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数。复变函数中的解析函数具有无限阶导数，故应可展开为泰勒级数。定理设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意点，可展开为其中证明：又#关键在确定，但这不是唯一的方法例(1)解：#能直接求导就求导(2)解：#(3)

是多值函数，各分支在支点相连。但不是支点，在其的邻域各分支相互独立。因此，我们可以只讨论展开的主值。解：主值#(4)解：定义显然是主值，此时有即二项式定理。#方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办法，仍是逐级求导。(5)极点在不同的幂级数在不同的区域与函数相同。这里存在什么样的关系？设在小圆在大圆。问题在于3.4解析延拓例如和等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。注意，等式的左边仅在收敛圆内有意义，但等式的右边除t=1（前一个）或,在整个复平面上解析。因此，问：已知，求在之外的f(t)。这个答案是已知的

于是提出问题：已知f(z)在b

中解析，是否存在f(z)在b

中解析，且在b

中

f(z)=f(z)。这个过程叫解析延拓。解析延拓的方法在b中取点，又取的一个邻域，j将f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域b进入区域b则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。在点z0收敛、绝对收敛。在定义域，收敛、一致收敛、绝对一致收敛级数幂级数泰勒级数解析函数解析延拓是否可以将一个解析函数的解析区域扩大？在收敛圆内可逐项积分可作为被积函数，被积函数不一定是解析函数。3.5洛朗展开泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？(2)

泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可包含奇点，但若研究一个级数，它以圆环作收敛区域，则奇点可以取作圆心，它在收敛环之外。这种级数为洛朗级数泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现在负幂项，故考虑有负幂的级数1.收敛环设其收敛半径为，则其在圆外部收敛。

故此级数在收敛。这个区域叫收敛环。其中正幂部分的收敛半径为。负幂部分写作2.定理 设f(z)在环形区域的内部单值解析，则在环内任一点z，f(z)可以展开为幂级数其中证：沿沿两个积分回路的方向相反，由柯西定理，沿的积分可变为沿的积分（差一个负号）如下#此为洛朗展开在奇点附近的展开3.例(1)

在的邻域展开。f(z)无定义。但在挖去原点的环域（整个复平面）中又此级数又可以看作f(z)的到整个复平面的解析延拓。利用泰勒展开(2)在环域中将展开。还是利用泰勒展开f(z)的奇点不是z=0，而是z=1,-1。(3)在的邻域将展开。(z-1)的幂级数在(4)利用取得无限多负幂(5)习题14z

的幂级数a.b.3.6孤立奇点的分类孤立奇点f(z)除在的小邻域外处处可导。在挖去的小邻域外解析。其正幂叫解析部分，负幂叫主要部分。叫留数c.可去奇点幂级数无负幂项时的极点幂级数仅含有限m

个负幂项时的m为极点的阶，一阶极点称单极点本性奇点含无穷多负幂项时的例(1)中

为可去奇点例(3)中出现一阶极点。留数为例(4)中出现本性奇点。留数为例(5)中情况