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文档简介

第四节差分与等距节点newton插值

5.5.1、差分及其性质

5.5.2、等距节点插值公式5.5.3、例题分析1/13/20231在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。个插值节点：已知其中为步长于是在差商中，分母部分将变得简单，计算量主要集中在分子（两节点处函数值的差）。分析差商的形式，引入差分概念当插值节点x0,x1,…,xn分布等距时，也即h=xk+1-xk,k=0,1,2,…,n-1一、差分及其性质1/13/20232定义5.5.1.一阶中心差分1/13/20233依此类推1/13/20234向前差分算子，差分1/13/20235引入下列常用算子符号：并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间如下关系故同理1/13/20236差分的性质性质5.5常数的差分等于零性质5.6函数值可以表示各阶差分1/13/202371/13/20238性质5.71/13/20239性质5.81/13/202310差分与导数的关系：1/13/2023111/13/202312差分表1/13/2023135.5.2、Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式计算x0点附近的值1/13/202314则插值公式化为1/13/202315此公式为牛顿向前插值公式，其余项为1/13/202316类似有牛顿向后插值公式等距节点插值公式1/13/202317等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。1/13/202318例1分别作出f(x)=x2+x+1的前差和后差表。解:前差表见表4―7;后差表见表4―8表4―7三、例题分析1/13/202319

表4―81/13/202320例2给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。解：作差分表4―9。表4―９1/13/202321利用牛顿前差公式1/13/202322利用牛顿后差公式1/13/202323为使用牛顿插值公式，先构造差分表.例3给出在处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算及的近似值并估计误差.解根据题意，插值条件为由于接近，所以应用牛顿向前插值公式计算的近似值.1/13/202324(注意：表中带下划线的数据为点的各阶向前差分，双下划线为点的各阶向后差分.)1/13/202325取则用表2-4上半部的各阶向前差分，得1/13/202326由余项公式（4.11）得误差估计其中（4.11）1/13/202327于是计算应使用牛顿向后插值公式，用差分表

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