一数学单元主题内容教材分析

數學網頁規劃機率第16組廖信行張家銘陳炫羽一.數學單元主題內容教材分析:

機率：

1.樣本空間與事件

1.1樣本空間

1.2事件

2.機率的定義與性質

2.1機率的定義

2.2機率的性質

3.期望值1.樣本空間與事件1-1樣本空間1-2事件1-1樣本空間何謂樣本空間?簡單的舉例來說:

投擲一粒骰子，觀察它出現的點數，會有六種可能的出現的結果，這些結果所形成的集合為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝，這叫做擲一粒骰子試驗的樣本空間。所以樣本空間就是:

做一試驗所有可能的結果所成的集合稱為樣本空間，我們通常以∪表示樣本空間。樣本空間的練習基礎題:1.丟一個硬幣一次，觀察每次出現的結果是正面或反面，寫出其樣本空間為何?Ans:∪＝｛正面,反面｝2.承上題，丟一個硬幣兩次，其樣本空間為何?Ans:∪=｛(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)｝樣本空間的練習進階題:

袋中有4個球，編號1~4，分別依下列方法從袋中取球觀察號碼，求各試驗中的樣本空間:(1)取球兩次，每次一球，球取出後不放回

(2)同時取出兩球Ans:(1)設(x,y)表示第一次抽出x號，第二次抽出y號，則其樣本空間為∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝(2)設x,y表示同時取出的兩球號碼，則其樣本空間為∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝1-2事件何謂事件的定義?就是樣本空間的子集合稱為事件。舉一個很簡單的例子說明:投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝。問:(1)子集A表示點數為偶數的事件集合為何?(2)子集B表示點數為奇數的事件集合為何?Ans:(1)A=｛2,4,6｝

(2)B=｛1,3,5｝何謂互斥事件?如果兩個事件中沒有共同的元素，稱此兩個事件互相排斥，簡稱為互斥事件。數學上的寫法是:兩事件A,B的交集為空集合，即A∩B=∮舉上一頁的例子:投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝，事件A為是偶數點的集合，事件B是奇數點的集合，問事件A和B是否互斥?Ans:是。因為A=｛2,4,6｝，B=｛1,3,5｝，我們可以知道A∩B=∮事件的練習題甲和乙兩人各擲一粒骰子一次，觀察所出現的點數，若A表示出現的點數和為5的事件，B表示出現點數差為4的事件，則A，B兩事件是否為互斥事件?Ans:是。因為A=｛(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝，B=(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)｝所以我們知道A∩B=∮1.機率的定義與性質2-1機率的定義2-2機率的性質2-1機率的定義:拉卜拉斯的古典機率什麼是拉卜拉斯的古典機率?

設某一隨機試驗的樣本空間S由n個樣本點組成，假設每一個樣本點出現的機會均等，事件A由m個樣本點組成，其中n、m為自然數，且m

≤

n，則事件A發生的機率為:

P(A)

=

=拉卜拉斯的古典機率例1:

S有n個元素，則每一個元素出現的機會是?

任一元素=n(A)=1全部元素個數=n(S)=n所以=1/n

ans:1/n拉卜拉斯的古典機率例2:一個袋子有6顆球，3顆白球跟3顆黑球，請問從中取一顆球是白球的機率是?

白球=n(A)全部球數=n(S)

n(A)=3

n(S)=6

P(A)

=

=3/6=1/2

ans:1/2

2-2機率的性質1.基本性質2.性質推廣3.例題2-2機率的性質基本性質由古典機率的定義，可以得到下列的機率性質，若S為樣本空間，A、B為事件，則:1.標準化:必然發生的事件其機率為1，(即P(U)=1)，而必然不會發生的事件機率為0，即P(Φ)=0，其中S為樣本空間。2.機率的範圍:每一個事件發生的機率必在0與1之間，即A為任一事件，則0

≤P(A)

≤

1

.3.加法性:若A，B為互斥事件，則事件A，B至少有一件發生的機率，等於各個事件發生的機率和，即

P(AUB)

=

P(A)

+

P(B)

.基本性質的推廣設S為樣本空間，則:1.

A.B滿足A⊂B，則P(A≤

P(B).餘事件的機率:若A⊂S為一事件，則

P(A’)

=

1

-

P(A).和事件的機率:A，B，C為S的三個事件，

(1).P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

(2).P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

-

P(A∩B)

-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)

.例題例題:袋中有編號1到10的整數號碼球共10個，阿草從袋中取一球，觀察其號碼，請問:下列各事件發生的機率分別是多少?U={1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}(1).球號是3的倍數.(2).球號是5的倍數.(3).球號是3的倍數也是5的倍數.(4).球號是3的倍數或是5的倍數.(5).球號是3的倍數或是5的倍數或是7的倍數.例題-(1)1.取到球號是3的倍數之事件，可以表成

A={3.6.9}，所以

P(A)=3/10例題-(2)2.取到球號是5的倍數之事件，可以表成

B={5.10}，所以

P(B)=2/10=1/5例題-(3)3.取到球號是3的倍數也是5的倍數之事件為

A

B，因為A∩B=

Φ，所以其機率為

P(A∩B)=

P(Φ)

=

0

.例題-(4)4.取到球號是3的倍數或是5的倍數的事件為

AUB，因為A，B互斥，所以由加法性得知

P(AUB)=P(A)+P(B)=3/10+2/10=5/10=1/2.例題-(5)5.取到球號是7的倍數之事件可以表成C={7}，所以P(C)=1/10，而取到球號是3的倍數，5的倍數或是7的倍數可以表成AUBUC，因為事件A，B，C兩兩互斥，所以

P(AUBUC)

=

P(A)+P(B)+P(C)

=

3/10+2/10+1/10

=

6/10

=

3/5.3.期望值3-1數學期望值3-1數學期望值何謂數學期望值?如果做一實驗有K種可能結果，各種結果的報酬分別為m1，m2，…，mk，而得到這些報酬的機率分別為P1，P2，…，Pk(其中P1+P2+…+Pk=1)，則此實驗的數學期望值為m=m1P1+m2P2+…+mkPk期望值的運用1.做為決策分析的參考2.計算衡量某些數值，如人數、時間等數量例題1張三與人打賭，擲一個骰子若出現1點則張三可得5元，擲出點數為2或3，則張三可得2元，若擲出點數為4.5.6，則張三輸3元。問此遊戲張三的期望值為多少?對張三是否公平?ANS:期望值為1/6*5+1/3*2+1/2*(-3)=0期望值為0，所以是公平的遊戲。例題2依據經驗，在101大樓前排班的計程車，載客人數1人的機率是60%，2人的機率是30%，3人跟4人的機率是5%，請問在101大樓前排班的計程車，載客人數的期望值為多少ANS:1*0.6+2*0.3+3*0.05+4*0.05=1.55(人)補充St.Petersburgparadox期望值是否是唯一一種衡量決策的依據?有一個著名的賭局，規則如下，丟一個公正的銅板，直到出現第一次正面，遊戲即宣告結束；在第1次投擲就出現第一次正面，則可獲得2元，在第2次投擲才出現第一次正面，則可獲得4元，在第3次投擲才出現第一次正面，則可獲得8元，在第N次投擲才出現第一次正面，則可獲得2n元。此遊戲的期望值為就期望值的觀點，即使這個遊戲需要先付一筆龐大的賭金也是划算的(因為期望值減有限的賭金仍然是無限大)但實際上並不會有人願意出高額賭金來進行這個賭局，這個矛盾就稱為

St.Petersburgparadox二.教學網頁設計理念1.希望此網頁能成為日後教學上的輔助工作，補充課本內容缺少者，如機率發展史、機率在生活上的運用。2.提供試題練習，結合生活與機率。3.希望學生能藉網頁中生動活潑的方式來學習機率，克服對機率的恐懼。

4.希望藉由網頁內容裡的測驗卷(學習回饋表)來統計了解觀看此網頁學生的學習成果。

5.設留言板達成此單元之學習交流。三.教學網頁教學目標1.能夠讓學生了解機率在日常生活中的應用，從不同的觀點去認識機率。2.用線上考試方式,測驗學生了解程度。3.能運用簡單機率與統計於生活中。4.能加深在學校所學的機率知識。四.網頁設計規劃流程1.首頁

(簡介此網頁‚引用