数据模型-第八章非线性优化

非线性优化的应用投资组合管理优化生产和定价决策工厂位置的优化8.1用一个非线性优化模型定量描述一个管理问题我们将通过考察三个管理中的实例,介绍非线性优化模型的应用。这三个实例分别为:实例8.1:马拉松投资公司的最优投资组合管理。实例8.2:优化生产和定价决策。实例8.3:优化设施位置。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(1)

非线性优化模型在资产管理行业中的应用。公募基金,私募基金,券商集合理财,社保基金,保险公司等构造最优资产组合。无论如何构造资产组合都将面临风险,基金管理者希望达到两个主要目标:*使投资组合收益的期望值达到最大化*使投资组合的风险达到最小化投资者困境问题在实际情况中,这两个目标相互抵触。也就是说,为了取得投资组合较高收益的期望值,需要承担风险。相反,为了规避风险,投资组收益的期望值将会被减少。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(2)

假设G先生是马拉松投资公司的一名投资经理。假设马拉松投资公司正在构造股票组合,可共选择的三种股票分别为新通信,一般空间系统,以及数字设备。马拉松投资公司的金融分析师(通常毕业于金融工程专业)已经收集了数据,并对数据进行了处理,获得了这些股票收益的期望值,标准差,和相关系数信息。这些信息概括在表8.1中。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(3)

表8.1股票名称年期望收益(%)收益的标准差(%)相关系数新通信一般空间数字设备新通信11.04.004.000.160-0.395一般空间14.04.690.1604.690.067数字设备7.03.16-0.3950.0673.16实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(4)

概率和统计学的复习随机变量,及随机变量的期望值,标准差,相关系数的定义。随机变量当一个概率模型中的结果是数字时,我们把这个不确定量称做随机变量。随机变量要么是离散随机变量,要么是连续随机变量。一个实例:考虑某飞机制造商。假设X表示该公司第二年将收到飞机的订单数目。X的值是不确定的。因此,X是一个随机变量。X的可能取值:42,43,44,45,46,47,48。X是离散随机变量。假设Y表示北京下一个月降雨的厘米数量。Y的值是不确定的。然而,Y可以是0到15厘米之间的任何数值。Y不限于整数。因此,X是一个连续随机变量。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(5)期望值离散随机变量X的期望值为:

μx=E(X)=∑P(X=xi)×xi连续随机变量Y的期望值为:

μy=E(Y)=∫y×f(Y)dY方差离散随机变量X的方差计算公式为:VAR(X)=∑P(X=xi)×(xi-E(X))²连续随机变量y的方差计算公式为: VAR(Y)=∫(

Y-E(Y))²×f(Y)dY标准差随机变量的标准差为:

实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(6)实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(7)协方差与相关性设X和Y是两个具有均值μX和μY的随机变量。随机变量则X和Y的协方差被定义为COV(X,Y)=∑pi×(xi-μX)×(yi-μY)X和Y的协方差是对两个随机变量同步变化的一种度量。X和Y的相关性定义为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(8)实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(9)考察表8.1中的数据。投资于新通信股票获得的年收益(或资金的年收益率)在投资时是一个未知数,在某些年份会获得高收益,而在某些年份会获得低收益。根据历史数据和对市场环境的研究,金融分析师能够估计一种资产,比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析师也能够估计新通信股票年收益率的标准差,估计结果是4.00%。分析师还估计出新通信股票与一般空间系统股票之间的相关系数,为0.16,新通信股票与数字设备之间的相关系数,为-0.395。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(10)马拉松投资公司想要确定投资三种股票的资金比例。我们定义下述决策变量:XA=投资于新通信股票的资金比例XG=投资于一般空间系统股票的资金比例XD=投资于数字设备股票的资金比例由于这些变量都是百分比,它们必须满足约束条件:

XA+XG+XD=1设RA,RG和RD分别表示新通信,一般空间系统和数字设备的年收益率。设R表示三个股票组合的收益率,R可以被表示为:R=XARA+XGRG+XDRD由于RA,RG和RD都是随机变量,因此R也是一个随机变量。事实上,R是随机变量RA,RG和RD的线性函数,其期望值为:

E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(11)我们的目标是使组合的年收益率最大化。我们定义σR为组合年收益率的标准差,它是组合的风险大小的一种度量。如何计算σR?参见下述公式推导实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(12)将表8.1中的数据代入上式,整理后有:所以组合的标准差为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(13)假设我们希望组合的年收益不低于11%,如何选择投资比例使的组合的风险达到最小?其数学模型为:最小化:约束条件为:比例:目标收益率:非负性:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(14)上述非线性优化模型的目标函数就是投资组合的标准差(度量投资组合风险)。第一个约束条件是所有投资比例(共有3个)之和必须等于1。第二个约束条件是投资组合的年期望值必须至少是11%。第三个约束条件是不可卖空

。注意到这是个非线性优化问题,因为目标函数是决策变量XA,XG,XD的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题,结果参见表8.2。

实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(15)表8.2股票名称决策变量最优比例新通信XA0.3769一般空间系统XG0.3561数字设备XD0.2670实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(16)根据表8.1中的数据,组合的标准差(目标函数值)为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(17)另外一种方案,假设马拉松投资公司希望目标为最大化组合的收益率,并满足一个使组合的标准差限制在至多是一个预先给定的数值范围内(控制风险)的约束。假设,能够容忍的标准差至多是3.1%。那么,产生的非线性优化问题为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(18)最大化:约束条件为:比例:目标风险:非负性:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(19)在这个问题中,目标函数是决策变量的一个线性函数,但是其中一个约束条件是非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题,结果参见表8.3。组合年收益率的期望值将是:E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD=11.0(0.3782)+14.0(0.5339)+7.0(0.0879)=12.250%实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(20)表8.3股票名称决策变量最优比例新通信XA0.3782一般空间系统XG0.5339数字设备XD0.0879实例8.2优化生产和定价决策(1)回顾GTC公司的生产计划模型,参见第七章的实例7.2。在GTC的生产计划问题中,公司想要选择每天生产扳手和钳子的产量,分别以

XW和XP表示,以使每日利润最大化。相应的线性优化模型为:最大化:

130XW+100XP

约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP<=27浇铸:1.0XW+1.0XP<=21装配:0.3XW+0.5XP<=9扳手需求:XW<=15钳子需求:XP<=16非负性:XW,XP>=0实例8.2优化生产和定价决策(2)线性优化模型的假设为GTC是一个”价格接受者”,也就是说,GTC是家非常小的公司,以至不会影响扳手和钳子的价格。假设GTC有非常大的市场份额,GTC是扳手和钳子市场的”价格制定者”。市场对GTC的扳手和钳子的需求是GTC所制定价格的函数。假设,PW表示扳手的价格(以每千件美元表示),PP表示钳子的价格(以每千件美元表示)。GTC估计设定的价格PW和PP对扳手和钳子需求的影响可以表示为下述需求等式:DW=565.0-0.50PWDP=325.0-0.25PP其中DW和DP分别表示扳手和钳子的需求。这两个关系式将GTC设定的每件工具的价格与GTC面临的每件工具的需求关联起来。实例8.2优化生产和定价决策(3)所以,如果GTC设定每千件扳手的价格为PW=1,100美元,那么GTC面临的需求为千件:DW=565.0-0.50X1,100=15.0我们注意到需求是价格的递减函数,既价格上升,需求就下降。表8.4给出了生产扳手和钳子的单位(以千件为单位)成本。实例8.2优化生产和定价决策(4)表8.4扳手钳子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP单位成本(美元/千件)1,0001,200利润(美元/千件)PW-1,000PP-1,200实例8.2优化生产和定价决策(5)将扳手和钳子的价格作为两个新的决策变量,并将需求等式和生产成本加入到GTC的生产计划模型中。目标函数就变为:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP扳手和钳子的产量不可以超过它们的需求量:XW<=565.0-0.50PWXP<=325.0-0.25PP修改后的优化模型是:实例8.2优化生产和定价决策(6)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP≤27浇铸:1.0XW+1.0XP≤21装配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤565.0-0.50PW钳子需求:XP≤325.0-0.25PP非负性:XW,XP,PW,PP≥0重新安排后,我们有:实例8.2优化生产和定价决策(7)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP≤27浇铸:1.0XW+1.0XP≤21装配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW+0.50PW≤565.0钳子需求:XP+0.25PP≤325.0非负性:XW,XP,PW,PP≥0实例8.2优化生产和定价决策(8)在这个模型中,所有约束都是决策变量XW,XP,PW,PP的线性函数。然而,目标函数是决策变量的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解。最优解:XW=13.818,XP=6.273,PW=1,102.36

,PP=1,274.91

。实例8.3优化设施的位置(1)假设一家公司想要选择一个新的分发中心的地址,以便同时对位于A,B,C,D地区的四个销售中心提供服务。图8.1说明了在这个坐标平面中每个销售中心的相对位置。表8.5说明了从新的分发中心对每个销售中心每天必须发送的卡车次数,以及每个销售中心在图8.1中的坐标值。假设对于分发中心和每个销售中心之间,卡车的运输成本是每英里1.00美元。公司想要确定新分发中心的位置,以便用最低的运输成本为销售中心提供服务。实例8.3优化设施的位置(2)16图8.1四个销售中心的位置14121086024246810121416ABCD实例8.3优化设施的位置(3)表8.5销售中心每日卡车运输次数X坐标值Y坐标值A982B7310C3815D21413实例8.3优化设施的位置(4)构造这个问题的非线性优化模型。设P=(X,Y)是坐标平面中的分发中心的位置。从P到销售中心A的距离为:由于销售中心A每天必须接受9辆卡车,那么从分发中心到销售中心A的运输成本为:实例8.3优化设施的位置(5)以类似方法获得从P到其他销售中心A的运输成本。那么,有关决定分发中心位置(X,Y)的设施位置问题是:在这个模型中,决策变量X和Y没有任何约束条件,目标函数是X和Y的非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解为:X=6.95,Y=7.47。最小化:实例8.3优化设施的位置(6)161412810642048121416BCDA图8.2必须为于四边形内的分发中心的位置实例8.3优化设施的位置(6)考虑这个设施问题的一个更全面的解决方案。假设要求分发中心的位置限制在图8.2中显示的四边形的区域内,那么分发中心位置问题可以表示为:最小化:约束条件为:X≥10Y≥5Y≤11X+Y≤24实例8.3优化设施的位置(7)利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解。

最优解为:X

=10.0,Y=7.40最优的日运输成本是308.45美元。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(1)我们研究非线性优化问题的几何图形。约束条件为:P1:最小化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(2)在问题P1中,如果决策变量X和Y满足所有约束条件,则X和Y是一个可行解。所有可行解的集合被称为可行域。非线性模型的最优解是使目标函数达到最优(最大值或最小值)值的可行解。我们通过将问题P1的所有约束条件绘制在二维平面上来获得问题P1的可行域。第一个约束条件是:(X-8)²+(Y-9)²≤49首先绘制等式约束:(X-8)²+(Y-9)²=49它是圆心为于(8,9),半径等于7的圆,参见图8.3。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(3)

YX

138

1514图8.3满足约束(X-8)²+(Y-9)²≤49

98.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(4)从图8.3中,我们可以看到满足第一个约束条件,即(X-8)²+(Y-9)²≤49的点位于圆内(包括圆周)的所有点。第二个约束条件X≥2是为于直线X=2右边(包括直线)所有的点。第三个约束条件X≤13是为于直线X=13左边(包括直线)所有的点。第四个约束条件X+Y≤24是为于直线X+Y=24下边(包括直线)所有的点。那么问题P1的可行域如图8.4所示。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(5)

YX1610图8.4问题P1的可行域

12

16

981412642

148.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(6)接下来,我们需要绘制目标函数的等值线。对于问题P1,目标函数为:这个函数的等值线是圆心都在点(14,14)的同心圆。我们将问题P1的目标函数的等值线显示在图8.5中。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(7)

YX图8.5问题P1的解的图形表示

16

14

12

92468101214168.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(8)从图8.5可以看出P1问题的最优解是与点(14,14)最近的可行域上的点。它是目标函数的等值线与约束X+Y≤24相接触的点。这个点一定在直线Y=X上,由此可以求出最优解为X=12,Y=12。最优解出现在可行域的边界上。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(9)我们对问题P1修改后获得问题P2。P2:最小化约束条件为:8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(10)问题P2的约束条件与问题P1的约束条件完全一样。问题P2的目标函数与问题P1的目标函数具有相同公式形式。问题P2的目标函数的等值线的中心点是(16,14)。问题P2的解的图形标识显示在图8.6中。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(11)

YX图8.6问题P2的解的图形表示

16

14

12

9281216148.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(12)从图8.6可以看出P2问题的最优解是与点(16,14)最近的可行域上的点。它是目标函数的等值线同时与约束X+Y≤24和约束X≤13相接触的点。最优解正好是边角点。最优解为X=13,Y=11。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(13)最后让我们考虑第三个问题P3。

P3:最小化约束条件为:8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(14)这个问题P3的约束条件与问题P1和问题P2的约束条件完全一样。问题P3的目标函数与问题P1和问题P2的目标函数具有相同公式形式。问题P3的目标函数的等值线的中心点是(8,8)。问题P3的解的图形标识显示在图8.7中。这个问题的最优解出现在点(8,8)位置。最优解不在边界上,满足所有严格不等式。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(15)YX图8.7问题P3的解的图形表示

16

14

12

8281416

108.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(16)根据以上的讨论,我们得到一个非线性优化模型算法的初步观察。有关非线性优化模型的图形分析的两个认识。1.非线性优化模型的最优解不一定出现在可行域的”顶点”,甚至也不一定出现在可行域的边界上。2.如果最优解出现在可行域的边界上,它一定处在可行域的边界与目标函数等值线相接触的位置。8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(17)局部与全局最优解局部最优解是在可行解附近(也称为一个邻域内)的所有可行点中优化目标函数的一可行解。我们用一个例子说明局部最优解,参见图8.9。P4:最小化F(X)约束条件为:X≤7X≥28.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(18)图8.9

YX2735作业(3)P457练习8.2P457练习8.38.3非线性优化模型的计算机求解(1)利用电子表格的规划求解功能求解非线性优化模型。考虑求解P3。P3:最小化约束条件为:8.3非线性优化模型的计算机求解(2)根据EXCEL规划求解的要求，将P1的决策变量，目标函数，和约束条件输入到EXCEL模板中。利用EXCEL规划求解功能直接求解非线性优化问题P1。参见下表。8.3非线性优化模型的计算机求解(3)8.4非线性优化模型的影子价格信息(1)在第七章,我们介绍了有关线性优化问题的约束的影子价格的概念。非线性优化问题的约束的影子价格的定义与线性优化问题完全一样。一个约束的影子价格是当该约束的右边项增加一个单位,而所有其他问题的数据保持不变时的最优目标函数值发生变化的数量。可以通过EXCEL规划求解中的灵敏度分析报告获得。报告中的拉格朗日乘数就是影子价格。8.4非线性优化模型的影子价格信息(2)在次考虑实例8.1中介绍的投资组合优化问题。最小化约束条件为:比例目标收益率非负性8.4非线性优化模型的影子价格信息(3)表8.6是以上问题的一个电子表格的表示。利用EXCEL规划求解软件求解后的灵敏度分析报告在表8.7中。8.4非线性优化模型的影子价格信息(4)表8.68.4非线性优化模型的影子价格信息(5)表8.78.4非线性优化模型的影子价格信息(6)根据表8.7中的数据,约束条件”目标收益率”的影子价格是0.4813。这意味着每增加一个单位的目标收益率约束的右边值,这个最优目标函数值将以0.4813个单位的速度增加。目标收益率约束的右边值为11.0,最优目标函数值为2.4008%。如果目标收益率约束的右边值为11.0+Δ,那么最优目标函数值将会近似增加0.4813Δ。也就是说,新的最优目标函数值将会近似等于:2.4008+0.4813Δ由于目标函数是非线性函数,这个公式是一个近似值,只对非常小的Δ有效。假设Δ=0.1,目标收益率约束的右边值从11.0增加到11.1,那么最优目标函数值等于:最优目标函数值=2.4008+0.4813(0.1)=2.44898.5投资组合优化的深入讨论(1)基本投资组合模型的扩展基本投资组合模型可以以几种方法进行扩展,比如,如果我们想要把投资组合看成一个高科技的投资组合。我们可以用一个约束条件来完成,至少70%的资金投资到计算机制造,即:XA+XD≥0.7有效边界通过改变目标收益率约束的右边值(以前为11.0%),我们可以对不同的年收益率的期望值的模型进行求解。表8.8列出了各种最优解的信息。8.5投资组合优化的深入讨论(2)表8.8年预期收益率(%)最优标准差(%)最优分配比例新通信一般空间系统数字设备8.01.89280.37550.08720.53739.01.89280.37550.08720.537310.02.01620.37620.21360.410211.02.40080.37690.35610.267012.02.94740.37770.49850.123813.03.59010.33330.66670.000014.04.69040.00001.00000.00008.5投资组合优化的深入讨论(3)根据表8.8中的第一列和第二列的数据绘制图形,我们就可获得三种股票组合的有效边界。这个图形显示在图8.8中。管理者可以利用有效边界决定收益率的期望值和可以接受的组合风险。8.5投资组合优化的深入讨论(4)1.5%2%3.5%7%14%8%作业（4）P458练习8.5P459练习8.7P459练习8.88.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(1)EPCF私募基金基金管理公司需要开发出不同的基金产品以满足客户的需要。两年前推出了固定收益基金。上一季度推出了篮筹股基金(EPCF)。EPCF是由五家上市公司(波音,埃克森,通用,麦当劳,和宝洁)和一个指数基金(标准普尔500指数基金)构成。投资比例是根据上一季度的一个投资组合优化模型来进行选择的。投资组合优化模型是对于一个给定的投资风险水平下,使投资组合的收益率的期望值最大化。。。8.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(2)资产组合,预期收益和标准差资产分配是通过分配给投资于N种(N=6)资产中对每种资产投资的资金额(美元等货币)的比例来创建的。表8.10给出了一个有关EPCF投资于每种资产比例的一个实例。表8.10资产波音埃克森通用麦当劳宝洁SP500基金比例0.10.20.250.050.150.258.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(3)从表8.10中我们注意到投资组合的确比例之和等于1,通常我们也称这个比例为投资组合权重。设Xi表示资产i的投资组合权重,其中,i=1,2,…,N。这些权重必须满足:∑Xi=1.0在大多数应用中,投资组合权重必须是非负的,也就是说,要求有:Xi≥0,i=1,2,…,N在一个典型的投资组合的构成中,管理人的目标是是使投资组合的年收益率最大化,同时使投资组合的风险最小化。投资组合的”收益率是投资组合的年收益率的期望值。为了度量这种投资组合的收益率的期望值,我们需要获得投资组合中每种资产的年收益率的期望值数据。8.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(4)表8.11给出了未来一年里6种资产的年收益率的期望值(以年%)和年收益率的标准差(以年%)的估计值。这些估计值由专业人员(金融工程师)通过结合相关的市场数据库,基本的统计分析,专业判断以及管理层对市场的直观认识。考虑表8.11中波音公司的数据。设B表示投资于波音公司股票在未来一年里的年收益率。那么,B是一个随机变量,即一年之后的收益率可能是任何一个数值,但是B的期望值是每年12.6904%,标准差是每年19.05455%。8.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(5)表8.11资产年收益率的期望值(%)年收益率的标准差(%)波音12.6960419.05455埃克森9.9217012.03149通用11.8072524.79470麦当劳13.5490621.69084宝洁13.4590621.80891SP500基金13.0429511.710338.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(6)如果资产i的年收益率的期望值是μi,并且资产i的投资组合权重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投资组合的年收益μ的期望值的计算公式为:

μ=∑μiXi投资组合的风险就是投资组合的标准差。为了计算投资组合标准差,我们需要获得投资组合中每种资产的标准差数据,以及不同资产收益率之间的相关系数。表8.12包含不同资产收益率之间的相关系数。8.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(7)表8.12波音埃克森通用麦当劳宝洁SP500基金波音1.000000.205590.219020.435230.258490.49609埃克森0.205591.000000.115220.302490.210950.56073通用0.219020.115221.000000.32526-1.176820.36528麦当劳0.435230.302490.325261.000000.149530.59082宝洁0.258490.21095-1.176820.149531.000000.55053SP500基金0.496090.560730.365280.590820.550531.000008.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(8)一般说来,如果资产i和资产j的收益率的相关矩阵为CORR(i,j),其中,i=1,2,…,N,j=1,2,…,N;如果资产i的标准差为σi,其中,i=1,2,…,N;如果资产i的投资组合权重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投资组合的方差为:

σ²=∑∑σiσjCORR(i,j)XiXj合因此,投资组合的标准差为:8.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(9)用于EPCF的投资组合的优化模型上一极度由BJ先生创立,用于计算每种资产的权重。模型为:最大化:约束条件为:比例:标准差:最大的单个数值:Xi,其中,i=1,2,…,6非负性:Xi≥0

,其中,i=1,2,…,68.5案例分析—私人客户基金(EPCF)(10)EPCF的基金经理在上一个季度初期就已经计算了EPCF投资组合的投资组合权重,参见表8.13的第二行。由于这个季度期间股票价格发生了变化,在这个季度末期,重新EPCF投资组合的投资组合权重,参见表8.13的第三行。资产波音埃克森通用麦当劳宝洁SP500基金初始比例0.1