正设影和三垂线定理

(1)直线和平面垂直的定义(2)直线和平面垂直的判定定理

①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面．(3)直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(4)如何证明线面垂直？如何证明线线垂直？一、温故知新如果一条直线a和平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线a与平面α互相垂直.二、有关概念A1D1C1B1ADCB观察如图所示的长方体ABCD-A1

B1C1D1，可以发现A1B,A1C,A1D虽然都和平面ABCD相交，但都不与这个平面垂直.1.一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线(obliqueline).斜线和平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段.过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段P1Q就是线段PQ在平面内的射影.P1QP如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1,则叫做图形F在这个平面内的射影.

斜线在平面内的射影是直线；斜线段在平面内的射影是线段；垂线在平面内的射影是点.反馈：两条异面直线在一个平面内的射影是()

A.两条平行直线B.两条相交直线

C.两条平行直线或两条相交直线

D.以上都不正确答案：除两直线平行或相交外,还可能是一条直线及其外一点D2.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.AOB（记为）是a与所成的角.最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角.进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角.直线和平面垂直：所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内=00

，其范围：00900.BAaCOD00900证明：设直线OD是内与a不同的任意一条直线,过点A引AC垂直OD垂足为C.因为ABAC，所以，AB/AOAC/AO，即sinsinAOC.因此AOC.

反馈：如图P是平面α外一点过P分别作平面α的垂线PO斜线PA、PB，O是垂足，A、B斜足.PO=8,

PA=16，PB=，求直线PA、PB分别和平面α所成的角的度数.解:因为PA、PB在平面α内的射影分别是OA、OB，所以PA、PB和平面α所成的角分别是∠PAO、∠PBO.在△PAO中，PAOB同理在△PBO中，∠PBO=450.ⅱ平面内的直线与斜线的射影垂直时,直线与斜线垂直吗？ⅰ平面内是否存在直线与斜线垂直？P′AP

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直.

三垂线定理例已知:AC,AB分别是平面的垂线和斜线,C,B分别是垂足和斜足，a，a⊥BC.求证:a⊥AB.AC⊥a

证明：a⊥BCa

⊥ACa⊥AB.a⊥平面ABCAB平面ABCAC∩BC=CCBAa三、构建数学③①②性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直线射垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和这条斜线在这个平面内的射影垂直.CBAa已知:AC,AB分别是平面的垂线和斜线,C,B分别是垂足和斜足，a，a⊥AB.求证:a⊥BC.AC⊥a

证明：a⊥ABa

⊥ACa⊥BC.a⊥平面ABCBC平面ABCAC∩AB=A线斜垂直③①②性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直①三垂线定理描述的是PA(斜线)、AO(射影),

a(平面内的直线)之间的垂直关系.②

a与PA可以相交，也可以异面.③三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.1.对三垂线定理的说明：2.三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：一面“垂面”；四线(斜、垂线、射影和面内的直线)顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便.3.应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:

即：“一垂二射三证明”

“一垂”:定平面及平面的垂线.

“二射”:找斜线在平面上的射影.

“三证明”:用定理证明直线垂直.4.三垂线定理包含的垂直关系②线射垂直①线面垂直③线斜垂直直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直

5.直线a

一定要在平面内，如果

a

不在平面内，定理就不一定成立.PAOαa反例：当a⊥

时，a⊥OA，但

a不垂直于OP.PAOaαPAOaαPAOaα如果

a//α呢？定理就一定成立.三垂线定理α

1、判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.

2°定理的关键找“平面”这个参照物.强调：1°四线是相对同一个平面而言；

(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b.×(3)一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直×√定理巩固性练习：(4)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b×ADCBA1D1C1B1abβ√(6)若a是平面α的斜线，b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b(5)若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b.×例：直线A1C→斜线a,

面ABCD

→面α,

面B1BCC1→面β,

直线AB

→垂线b.例：直线A1C→斜线a,

面ABCD→面α,

直线D1B1→垂线

b.αADCBA1D1C1B1aβbαADCBA1D1C1B1abABCD2)

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影()，那么它也和这条斜线().1)在()的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的()垂直，那么它也和这条斜线垂直.平面内射影垂直垂直2、填空题：3）O是边长为a的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，若PO=b，则P到正方形ABCD各边的距离为OPE4)已知：长方体AC1中，BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件_________时，有BD1⊥

A1C1.AC⊥

BDADCBA1D1C1B12）在一个平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线()A.无数条B.两条C.一条D.0条5）已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a,PA⊥平面ABCD

在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的点E有２个时，则a的取值范围为_____.AEPDCBA提示：等价于以AD为直径的圆和BC有两个交点，a>6.1）直线m是平面α的一条斜线，直线m′是m在平面α上的射影，若直线n⊥m′直线,则()

A.m⊥nB.m‖n

C.m与n斜交

D.m与n不平行Da>63、选择题4)在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面()A.

至多只能有一个直角三角形B.

至多只能有两个直角三角形C.

可能都是直角三角形D.一定都不是直角三角形CPACB3)若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是()

A.

垂直B.

异面C.相交D.不能确定D5）如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中直角三角形的个数是()个.

A.8B.7C.6D.5APACBD6)在正方体AC1中,E、G分别是AA1和CC1的中点,F在AB上,且C1E⊥EF,则EF与GD所成的角的大小为

A.30°B.45°C.60°D.90°()DFCADBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1内的射影,且

EF⊥C1E,所以

EF

⊥EB1,(?)设点M是BB1的中点，连接AM，则DG∥AM∥EB1,

故EF

⊥DG.l求证：l⊥PO.7)已知：PA，PO分别是平面

的垂线和斜线，AO是PO在平面

的射影，a,a⊥AO，l

∥a.证

PA，PO分别是平面

的垂线和斜线,AO是PO在平面的射影,a,a⊥AO,所以a⊥

PO(？)a⊥面POA，又l

∥a

，所以l⊥PO.PAOaα证明:∵PD⊥平面ABC,

∴DC为PC在平面的射影,而△ABC为等腰三角形,D为AB的中点,∴AB⊥CD,∴AB⊥PC.PABCD例1.

如图，PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证AB⊥PC.三垂线定理的应用例2

直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD.证∵ABCD为正方形O为BD的中点，∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD.

同理，AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影PC⊥BD.(1)POABCPA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点，求证:BC⊥PM.ACPM∴BC⊥PM.

∵AB=AC,M是BC的中点，

∴AM⊥BC.证

连接AM,∵AP⊥平面ABC，

∵BC平面ABC，∴AM为斜线PM在平面ABC上的射影.B(3)

在正方体AC1中,求证：A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1.证∵在正方体AC1中，

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C，∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影.同理可证，

A1C⊥B1D1.由三垂线定理，A1C⊥BC1,BADD1CA1B1C1（4）如图,PA

垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ,Ｂ）,求证：PC⊥BC.PABCO证∵P

是平面ABC

外一点,又PA⊥平面ABC,

∴PC是平面ABC的斜线，∴AC是PC在平面ABC上的射影,∵BC平面ABC

且AC⊥BC，∴由三垂线定理得PC⊥BC.BPMCABPAOaαA1C1CBB1我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件.怎么找？解题回顾：αaPAO例3

如图,一块长方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C,E的连线垂直,应怎样画?（教材P38第10题）解:连接C1E,过E点在平面A1C1内MN⊥EC1,则MN即为所求.ABCDA1B1D1C1EMN∴C1E是斜线CE在平面A1C1上的射影.∵MN⊥C1E,∴MN⊥CE

(?).∵MN平面A1C1，∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,EMN再欣赏一次！三垂线定理例4如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结

BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C.

∵DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影

∵ABCD是正方形∴AC⊥BD(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1

同理BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1,而AC∩AB1=A∴BD1⊥平面AB1C.证明：连结BD、A1BA1D1C1B1ADCB练习与巩固正方体ABCD-A1B1C1D1，(1)求证:BD1⊥AC；

(2)

求证:BD1⊥B1C.ABCDA1B1C1D1证明

(1)连接BD，AC，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体∴BD是斜线BD1在平面AC上的射影.∵AC⊥BD∴BD1⊥AC.

∵AC平面AC，∵B1C平面B1C，∴BD1⊥B1C.(2)连接BC1,B1C,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴B1C是斜线BD1在平面AC1上的射影.

∵BC1⊥B1C例5

如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥

，垂足分别是E、F、O，PE=PF.要证∠BAO=∠CAO,只须OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???求证：∠BAO=∠CAO证明：∵PO⊥

∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF，∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB，OE⊥AB，同理可得OF⊥AC，所以P点在平面上的射影在这个角的平分线上.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段(射影)相等，那么它们在平面内的射影(斜线段)相等.例6在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影.O∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，ADCB注：垂心是三角形三边高线的交点，重心是三角形三边中线的交点，内心是三角形三内角平分线的交点，外心是三角形三边垂直平分线的交点.例7道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？

解在道边取一点C,使BC与道边所成水平角等于900,再在道边取一点D，使水平角CDB等于450,测得C、D的距离等于20mBAC90°D⌒45°

∵BC是AC的射影,且CD⊥BC∴CD⊥AC

因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离.

∵∠CDB=450,CD⊥BC,CD=20m,∴BC=20m，在直角三角形ABC中,

AC2=AB2+BC2，AC2=152+202=252(m),答：电塔顶与道路的距离是25m.例8(阅读题)看图说话：四棱柱侧棱与底面垂直平行六面体底面是平行四边形直平行六面体底面是矩形长方体棱长相等正方体根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正方体集合、之间有怎样的包含关系，并用图直观地表达这种关系.四棱柱集合平行六面体集合直平行六面体集合长方体集合正方体集合三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.归纳总结3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系“一面四线”三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.爱拼才会赢！1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中，∠ACB=90°，∠BAC=30°,BC=1，

，M是CF的中点，求证AE⊥DM.∴CF⊥EF，又EF⊥DF，∴

EF⊥平面ACFD，由三垂线定理知

DM⊥AE.探究拓展证明：连结AF，∴Rt∆AFC∽Rt∆MDF，∴∠AFC=∠MDF，∴∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF=900，∴DM⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，DEABCFM2、过Rt∆BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面