的简单几何性质

8.4双曲线的简单几何性质双曲线的标准方程形式一：

（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0））

形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））其中复习

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab（1）（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）5、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：（4）等轴双曲线的离心率e=?(5)xyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:小结xyo或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性顶点

渐近线离心率图象

xyo例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例题讲解

例21.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长,(1)(2)焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程，并作简图。课堂练习1

方程图象

实半轴长

虚半轴长焦点坐标顶点坐标离心率

渐近线方程2、填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)3.求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,离心率e=5/4的双曲线的标准方程.因为双曲线的顶点在x轴上，所以它的焦点也在x轴上，所以它的标准方程为：解：由2a=8,e=5/4可得a=4，b=3c=54.求顶点在y轴上,焦距16,离心率e=4/3的双曲线的标准方程.因为双曲线的顶点在y轴上，所以它的焦点也在y轴上，所以它的标准方程为：解：由2c=16,e=4/3可得a=6例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225例题讲解

例3、点M（x,y）与定点F（c,0），的距离和它到定直线：x=的距离的比是常数（c>a>0）,求点M的轨迹.xxy0OxyF′FMd12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2p小结渐近线离心率顶点对称性范围准线|x|a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无y=abx±课堂练习2

注：“共渐近线”的双曲线的应用。λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线课堂练习3（且1.对于方程和所表示的双曲线有如下结论：（1）有相同的顶点（2）有相同的焦点（3）有相同的离心率

（4）有相同的渐近线（5）有相同的准线其中正确的是()A.（1）（4） B.（2）（4）C.（3）（4） D.（4）（5）C提示：对于方程

而对于方程

显然分别是a，b，c的倍，因此这两条双曲线的离心率相同，渐近线也相同。

2.过点（1，2），且渐近线为的双曲线方程是________。

解.双曲线方程为

方法一：可判断点（1，2）与渐近线的相对位置，以确定该双曲线是哪种类型的双曲线，进而用待定系数法求出方程中的；

方法二：若利用共渐近线的双曲线系方程，则不需判断焦点位置，而只