轴以扭转为主要变形的构件如机器中的传动轴

扭转第九章扭转§9-1引言轴：以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。ABOmmOBA1扭转一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s，1kW=1.36PS§9-2扭矩与扭矩图23扭矩的符号规定：

“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。扭转二、扭矩与扭矩图

1扭矩：

构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx3扭转4扭矩图：

表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xTm4扭转

[例1]已知一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩5扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）x6扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37–7扭转§9-3剪应力互等定理与剪切胡克定律

薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。8扭转2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：

①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。9扭转acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与的关系：微小矩形单元体如图所示：小变形假设前提下，cosφ≈cosγ≈1,因此，有：10扭转二、薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。注：在t≤r0/10的前提下，本公式误差不超过4.53%。11扭转三、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz12扭转四、剪切胡克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。l13扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。弹性模量、剪切弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。14扭转§9-4圆轴扭转时横截面的应力等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面

1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：15扭转16扭转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。17扭转Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：18扭转3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOτpdA19扭转横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。20扭转③应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。21扭转④

确定最大剪应力：由知：当WP—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。22扭转一、

对于实心圆截面：DdO§9-5极惯性矩与抗扭截面系数23扭转二、对于空心圆截面：dDOd三、对于薄壁圆截面：

原理同上，参见教材p178.24扭转强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：§9-6圆轴扭转破坏与强度条件25试验表明，塑性材料的扭转破坏，通常是沿横截面断裂；脆性材料则多沿与轴线成45。角断裂，且断裂前不像塑性材料有较为明显的屈服。

设计扭转轴一要尽量设计为空心，

以充分利用材料，但过薄又容易引起

其他破坏。二要尽量避免截面尺寸的

急剧变化，以避免应力集中。

Ttmaxtmax26扭转

[例2]

功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx27扭转§9-7圆轴扭转时的变形和刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角为28扭转二、单位长度扭转角：或三、刚度条件或

GIp

反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。[]称为许用单位长度扭转角。29扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。30扭转

[例3]

长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径31扭转40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度32扭转40NmxT③右端面转角为：33

[例4]

某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及

N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m

，试确定：

①AB段直径

d1和BC段直径

d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？

③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)34扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)35扭转

综上：②全轴选同一直径时36扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.81437扭转

[例5]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D=60mm，小端直径为d=40mm，材料的许用应力为，试校核该轴的强度。解：1．内力分析：画扭矩图如图所示。38扭转2．应力分析及强度条件：

故强度不够。

39扭转

[例6]横截面相等的两根圆轴，一根为实心，许用剪应力为，另一根为空心，内外直径比，许用剪应力为，若仅从强度条件考虑，哪一根圆轴能承受较大的扭矩。解：两根圆轴横截面相等，即

(1)∵∴

(2)40联合(1)、(2)式得：说明第二根圆轴能承受较大的扭矩。

扭转

[例7]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D=