我们学过因式与倍式

在3-1我們學過因式與倍式，知道x是5x的因式，x也是x2

的因式，我們可以說x是5x和x2

的公因式；同理，x＋1是(x＋1)2

的因式，x＋1也是(x＋1)(x＋2)的因式，所以x＋1是(x＋1)2

和(x＋1)(x＋2)的公因式。公因式一般而言，如果多項式C同時是多項式A和多項式B的因式，我們就說多項式C是多項式A和多項式B的公因式。下列各多項式中，哪一個是(2x＋3)2

和(2x＋3)(x＋5)的公因式？

(A)2x＋3(B)(2x＋3)2(C)x＋5(D)(2x＋3)(x＋5)2.下列各多項式中，哪些是－3x2

和12x3

的公因式？

(A)x(B)－3x(C)3x2(D)－3x2(A)(A)(B)(C)(D) 當一個式子的各項都有公因式時，我們可以將公因式提出來，達到因式分解的目的。例如：⑴在2x＋3x2

中，2x和3x2

有公因式x，我們可以將公因式x提出來，得到2x＋3x2

的因式分解為x(2＋3x)，寫成2x＋3x2＝x(2＋3x)。⑵在4x2－2x中，4x2

和2x有公因式2x，我們可以將公因式2x提出來，得到4x2－2x的因式分解為2x(2x－1)，寫成4x2－2x＝2x(2x－1)。在提出公因式時，提完後，各項不能再有公因式可提。例1提出單項公因式做因式分解在下列各式中，提出各項之間的公因式做因式分解。⑴－2x2＋6x

⑵x(2x＋1)－x(x＋2)解⑴－2x2＋6x

＝－2．x．x＋2．3．x

＝2x(－x＋3)有公因式2x⑵x(2x＋1)－x(x＋2)

＝x[(2x＋1)－(x＋2)]

＝x(2x＋1－x－2)

＝x(x－1)提出公因式x在下列各式中，提出各項之間的公因式做因式分解。⑴－5x2＋10x ⑵4x(2x－1)＋8x(x＋3)＝－5．x．x＋10．x＝5x(－x＋2)[或－5x(x－2)]＝4x[(2x－1)＋2(x＋3)]＝4x(2x－1＋2x＋6)＝4x(4x＋5)例2利用提出公因式做因式分解因式分解下列各式。⑴(x＋1)(x－5)＋(x＋1)(x＋2)⑵(4－x)2(x＋3)－(x－4)(x＋3)2解⑴(x＋1)(x－5)＋(x＋1)(x＋2)

＝(x＋1)[(x－5)＋(x＋2)]

＝(x＋1)(2x－3)⑵(4－x)2(x＋3)－(x－4)(x＋3)2

＝(x－4)2(x＋3)－(x－4)(x＋3)2

＝(x－4)(x＋3)[(x－4)－(x＋3)]

＝(x－4)(x＋3)(－7)

＝－7(x－4)(x＋3)提出公因式(x＋1)提出公因式(x－4)(x＋3)因式分解下列各式。⑴(x－2)(x＋3)＋(x＋5)(x＋3)⑵(1－x)2(x＋2)－(x－1)(x＋2)2＝(x＋3)[(x－2)＋(x＋5)]＝(x＋3)(2x＋3)＝(x－1)2(x＋2)－(x－1)(x＋2)2＝(x－1)(x＋2)[(x－1)－(x＋2)]＝(x－1)(x＋2)(－3)＝－3(x－1)(x＋2) 如果要因式分解x2＋ax＋bx＋ab，觀察多項式中的x2、ax、bx、ab並沒有共同的因式，所以無法像主題一那樣提出公因式，那麼該如何處理這種問題呢？我們用下面四個步驟來說明：⑴首先把x2＋ax＋bx＋ab分成x2＋ax和bx＋ab兩組。⑵x2

和ax有公因式x，所以提出公因式x，得到x2＋ax＝x(x＋a)。⑶bx和ab有公因式b，所以提出公因式b，得到bx＋ab＝b(x＋a)。⑷因此x2＋ax＋bx＋ab＝x(x＋a)＋b(x＋a)，觀察發現x(x＋a)和b(x＋a)有公因式x＋a，所以提出公因式x＋a得到x2＋ax＋bx＋ab＝(x＋a)(x＋b)，這就是x2＋ax＋bx＋ab的因式分解。像這樣先分組再提出公因式來做因式分解的方式，我們稱為分組分解。1.如果把x2＋ax＋bx＋ab分成x2＋bx和ax＋ab兩組，能否將x2＋ax＋bx＋ab因式分解？2.如果把x2＋ax＋bx＋ab分成x2＋ab和ax＋bx兩組，能否將x2＋ax＋bx＋ab因式分解？x2＋ax＋bx＋ab＝(x2＋bx)＋(ax＋ab)＝x(x＋b)＋a(x＋b)＝(x＋b)(x＋a)所以分成x2＋bx和ax＋ab兩組時，可將x2＋ax＋bx＋ab因式分解。x2＋ax＋bx＋ab＝(x2＋ab)＋(ax＋bx)x2＋ab和ax＋bx沒有相同的公因式，所以無法將x2＋ax＋bx＋ab因式分解。例3利用分組做因式分解利用分組，因式分解x2－2x＋ax－2a。解1x2－2x＋ax－2a＝(x2－2x)＋(ax－2a)＝x(x－2)＋a(x－2)＝(x－2)(x＋a)解2x2－2x＋ax－2a＝(x2＋ax)＋(－2x－2a)＝x(x＋a)－2(x＋a)＝(x＋a)(x－2)因式分解下列各式。⑴x2－5x－ax＋5a ⑵x2－ax＋bx－ab＝(x2－5x)－(ax－5a)＝x(x－5)－a(x－5)＝(x－5)(x－a)＝(x2－ax)＋(bx－ab)＝x(x－a)＋b(x－a)＝(x－a)(x＋b)例4利用分組做因式分解因式分解ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy。解1ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy＝(ax＋bx＋cx)＋(ay＋by＋cy)＝x(a＋b＋c)＋y(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(x＋y)解2ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＋(cx＋cy)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＋c(x＋y)＝(x＋y)(a＋b＋c)因式分解3ax＋by＋3cx－ay－3bx－cy。3ax＋by＋3cx－ay－3bx－cy＝(3ax－3bx＋3cx)－(ay－by＋cy)＝3x(a－b＋c)－y(a－b＋c)＝(a－b＋c)(3x－y)例5利用分組做因式分解因式分解(x3－1)－x(x－1)。解(x3－1)－x(x－1)＝x3－1－x2＋x＝(x3－x2)＋(x－1)＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)因式分解(5x3－3)－x(5x－3)。(5x3－3)－x(5x－3)＝5x3－3－5x2＋3x＝5x3－5x2＋3x－3＝5x2(x－1)＋3(x－1)＝(x－1)(5x2＋3)1公因式如果多項式C同時是多項式A和多項式B的因式，我們就說多項式C是多項式A和多項式B的公因式。例x是3x的因式，也是－5x2

的因式，所以x是3x和－5x2

的公因式。x＋2是(x＋2)2

的因式，也是(x＋2)(x－5)的因式，所以x＋2是(x＋2)2和(x＋2)(x－5)的公因式。2提出公因式因式分解時，如果式子中的各項有公因式，可以把公因式提出來，完成因式分解。例－5x2＋3x＝x(－5x＋3)(x＋2)2＋(x＋2)(x－5)＝(x＋2)[(x＋2)＋(x－5)]＝(x＋2)(2x－3)3分組提出公因式有時候我們可以利用分組提出公因式的方法做因式分解。例x2－4x＋ax－4a＝(x2－4x)＋(ax－4a)＝x(x－4)＋a(x－4)＝(x－4)(x＋a)1已知A、B、C三個多項式，x＋1是多項式A與B的公因式，x＋2是多項式B與C的公因式，則下面哪一個選項有可能是多項式B？(x＋1)(x＋5)(x＋2)(x－3)(x＋1)(x＋2)答：(C)2因式分解下列各式。⑴(2x－3)(x＋4)＋(x＋5)(2x＋8)⑵(x＋6)2(7－x)－(x＋6)(x－7)2＝(2x－3)(x＋4)＋(x＋5)．2．(x＋4)＝(x＋4)[(2x－3)＋2(x＋5)]＝(x＋4)[2x－3＋2x＋10]＝(x＋4)(4x＋7)＝(x＋6)2(7－x)－(x＋6)(7－x)2＝(x＋6)(7－x)[(x＋6)－(7－x)]＝(x＋6)(7－x)(2x－1)[或－(x＋6)(x－7)(2x－