大学自主招生考试专题讲习(数学)

大学自主招生考试专题讲习（数学）第十三讲数列的极限主讲人王爱斌江苏省宿迁中学一、指要数列极限ε→N的的定义，见附录2.

1.数列的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即无限趋近于0），那么就说数列以a为极限，或者说a是数列的极限．记作，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于a”.“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即无限增大的意思.有时也记作：当∞时，a

．例如，也可写成当∞时，0.2.数列极限四则运算法则：①②（）③④⑤，，那么如果3.几个常用的极限：④·③；①②；；（1）无穷递缩等比数列{an}.当公比时，无穷等比数列称为无穷递缩等比数列.

(2)其他无穷等比数列各项的和.则无穷数列{bn}的各项和存在，且为S=若无穷数列{bn}不是等比数列，但可求得其前n项和Tn，且4.无穷数列各项的和：则称这个极限为无穷递缩等比数列{an}的各项的和.用S表示，即S=若型分子分母分别变形或求和，再化简转化;①③已知极限求指定参数或其取值范围，常用待定系数法或结合不等式求解.②型分子分母分别变形或求和，再化简转化;5.求数列极限的方法与基本类型：（1）求数列极限的基本思路：先变形（有时需先求和），再利用极限的四则运算法则（转化为常用极限）求解.(2)常见的几类数列极限类型及求解方法.二、例题分析

对(1)(2)这种齐次式，只要分子、分母同除n的最高次幂，然后利用极限的运算法则求解；对(3)要进行分子有理化变形，转化为常见的数列极限.(1)解答例1.求下列极限:(1)(3)(2)；；.(3)(2)拓展当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用,需要进行变形转化.当两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.二、例题分析本题中，当n→∞时，里面的项都趋近于0，但同时项数也趋向无穷大，聚沙成塔，结果未必为零.所以要对和式进行先化简（求和），然后求极限.例2.求下列数列的极限：（1）（2）；·二、例题解答

(1)原式==(2)原式====拓展

数列极限的法则只对有限项运用，如果在本题中也使用“和”

的法则，则有=0+0+…+0=0，这个答案是不对的..

二、例题对例题2还可以进一步得到如下结论：二、例题例3（2004年复旦大学保送生）已知数列{an}、{bn}满足，且，又求（1）；（2）.分析先求出数列{bn}和{an}通项公式，再利用与例2拓展2类似的办法求极限.二、例题.（2）＝·解答

（1）由条件得，由得所以代入整理得，其特征方程为所以由得,解得：所以，·，二、例题另外2003年上海交大保送生试题：数列{an}满足a1=1，a2=3，，求和此题解法类似.拓展

这道题关键是求数列的通项，在根据数列通项求极限时，有时还需要对幂进行适当变形，如由此可见，分子分母中的项-5·3n与3n-1(例题中的-14·3n-1与28·3n-1)起主要作用.二、例题例4.

设实数q满足|q|<1，数列{an}满足a1=2，a2≠0，anan+1=－qn.(1)求数列{an}的通项表达式；(2)若，求q的取值范围．分析

本题先利用anan+1=－qn,得到从而对n分奇数和偶数分别求出an，然后利用无穷递缩等比数列各项和的公式求出，最后解一个关于q的不等式即可.二、例题解答

(1)由a1=2，anan+1=－qn

①

得a1a2=－q，故，又

an+1an+2=－qn+1

②

由②÷①，得

.当n是奇数时，取n=2k－1(k是正整数)，数列{a2k－1}是首项，公比为q的等比数列．当n为偶数时，取n=2k（k是正整数），数列是首项，公比为q的等比数列.．二、例题(2)．依题意知且|q|<1(q≠0)，解得－1<q<0或.拓展

关于含参数数列的极限问题，其解决思路是先把把参数当作常数求解，求出题中所给极限的含参数表达式，然后再根据极限要满足的条件求出参数的值或取值范围.

二、例题例5.已知数{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p，q，其中p>q且p≠1，q≠1，设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和，求.分析先利用等比数列求和公式得出Sn，然后再利用极限法则对p，q进行讨论运算.解答

,下面分两种情况讨论求值：．二、例题(1)当p>1时，由已知得p>q>0，故∴

(2)当p<1时，由0<q<p<1，

二、例题∴

=．拓展本题1997年全国高考理科试题，注意分类讨论：情形（1）是极限运算法则的直接运用；情形（2）则是型，通过变形转化后再运用极限运算法则．另外，要培养“数感”，学会直觉地理解，如在情形（2），当时极限的结果与分子分母的主要项的系数有关.二、例题例6.求.解答

设将区间[0，1]进行n等分，每一段长为，则，分析

设将区间[0，1]进行n等分，每一段长为然后分别求出，然后求和=.，即得二、例题由定积分定义可得=.二、例题求极限（2000年上海交大），可将原式变形为拓展

这里是用数列极限知识来求定积分的，学习数列极限,一方面是为学习函数极限打基础,另外也是求定积分的基础.反之,可以将一些数列极限转化为积分问题,，最显著的就是p级数的收敛性问题,可以归结