绥化学院《线性代数》课件-第2章矩阵

1第二章矩阵绥化学院《线性代数》2§2.1矩阵概念及其运算§2.2

逆矩阵§2.3

矩阵的分块§2.4

矩阵的初等变换与矩阵的秩本章的主要内容3

矩阵是高等代数的主要研究对象之一,是现代科技理论及现代经济理论中不可缺少的数学工具.

本章主要介绍矩阵的基本概念及其运算,为今后利用矩阵工具研究线性方程组以及矩阵理论的进一步展开做好准备.4一.矩阵的定义二.矩阵的运算三.小结与思考题§2.1矩阵及其运算5（1）运输问题6（2）线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.7（2）某时段四城市之间的航线图

为了便于计算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:成都昆明西安上海这个数表反映了四城市间交通联接情况.为了方便，可用下面的数表表示,其中√表示有航班西安昆明成都上海发站西安昆明成都上海到站8一、矩阵的定义元素行标列标定义2.1排成的行列的矩形数表，称为由个数（）一个矩阵.矩阵中的称为矩阵A的元素,简称为元.记作：oror9实矩阵:

元素是实数的矩阵复矩阵：元素是复数的矩阵例1是一个2×4实矩阵;是一个3×3

复矩阵;10是一个行矩阵(RowMatrix)是一个1×1矩阵.一些特殊的矩阵：元素全为零的m×n矩阵称为零矩阵,

记作或.零矩阵(ZeroMatrix):是一个列矩阵（ColumnMatrix）注1

两个行数和列数不同的零矩阵是不同的.11方阵(SquareMatrix):是一个3

阶方阵.行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵.也可作例1主对角元主对角线12对角阵(DiagonalMatrix):形如的方阵,不全为0称为对角矩阵(或对角阵)，记作13数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零常数k,其余元素全为零的方阵.14形如的方阵,称为单位矩阵(或单位阵).记作单位矩阵(IdentityMatrix):三角矩阵形如形如的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.16主要内容：二.矩阵的基本运算1.矩阵相等2.加减法3.数乘矩阵4.矩阵的乘法5.矩阵的转置171.矩阵相等同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.例2为同型矩阵.定义2.218例3设解192.矩阵的加减法设有两个m×n矩阵定义2.3

(加法)那么矩阵A与B的和为记作A+B20例4

求解原式为矩阵A的负矩阵.

记作－A.定义2.4

(负矩阵)设称利用负矩阵可定义矩阵的减法:22利用定义易验证矩阵的加法满足下面的运算规律:3.数与矩阵相乘定义2.5

(数乘矩阵)24用定义易验证矩阵的数乘运算满足下面的运算规律：矩阵加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为常数）知识点比较4、矩阵的乘法引例设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的机器，如果这三种型号的机器在P、Q两地每台的利润(单位:万元／台)为Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ甲乙ⅠⅡⅢ那么这两家公司在P、Q两地的月利润(单位:万元)各为多少?月产量（单位:台）为

P

Q把此乘积记作定义2.6

(乘法)设和矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n

矩阵其中注2

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.不存在28例529=(）例6计算下列矩阵的乘积3031利用定义易证矩阵乘法满足以下运算规律：（其中为数）;注3矩阵乘法一般不满足交换律(左乘分配律)(右乘分配律)32有但是注4矩阵乘法不满足消去律.例7设则注5同时也说明了33注6满足AB=BA的矩阵称为可交换的矩阵.例8计算下列矩阵的乘积3435注7表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当.即对于数量矩阵K,有KA=AK=kA.EA=AE=An阶单位矩阵与任意n阶方阵是可交换的.记作若A是n

阶方阵,则Ak为A的定义2.7(方阵的幂)的k次幂,即（2）（1）1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2、只能是正整数,规定注837（1）（2）2、运算规律（设均是阶方阵，）（3）（6）（5）定义2.8(方阵的多项式)38例9设，计算解猜想39下用数学归纳法证明当时，等式显然成立.假设当时，等式成立，即等式成立.所以猜想正确.要证时成立，此时有40解例1041由此可归纳出42用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k=n时成立,则k=n+1

时,43所以对于任意的k都有5.

矩阵的转置定义2.9(转置矩阵)把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作44则45转置矩阵满足的运算规律：（假定所有运算合法，是矩阵，）特别46解法1例11已知47解法248定义2.10(对称阵)设A为n阶方阵,如果满足那么A称为对称矩阵.设A为n阶方阵,如果满足即(反对称阵)那么A称为反对称矩阵.49注950例12证明例13证明51例14证明(2)52所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.注10对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.53例15

设列矩阵满足证明54

定义2.11

由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作运算规律(A,B

是n阶方阵)：注11

虽然但方阵的行列式或例5556矩阵运算矩阵相等加减法数乘矩阵矩阵的乘法矩阵的转置6.小结(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素本质上就是一个算式矩阵行列式58§2.2逆矩阵主要内容1.矩阵可逆的定义2.可逆矩阵的性质解决矩阵运算中的“除法”运算.59逆矩阵的概念的引入:则矩阵称为的逆矩阵或逆阵.在数的运算中，当数

时，有其中为的倒数，

（或称的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，

那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得60定义2.12例1设一.矩阵可逆的定义61若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明定理2.1逆矩阵的求法一：待定系数法例2

设所以的逆矩阵是唯一的,即62则解

设是的逆矩阵,63又因为所以64例3设对角矩阵满足则其逆矩阵652.

矩阵可逆的判别定理及求法定义2.13

设n阶矩阵的代数余子式，称方阵为A的伴随矩阵，记作66定理2.2设A为n阶矩阵，为其伴随矩阵，则证明显然是n阶方阵，可设由矩阵乘法的定义，有即6768定理2.3推论注169(1)(2)逆矩阵的求法二：伴随矩阵法70例4

求方阵的逆矩阵.解71同理可得故72解例5737475例6设解76于是7778二.

可逆矩阵的运算性质(5)

若可逆，则有79解例780而所以原方程两端右乘矩阵

,左乘矩阵则81例882解给方程两端左乘矩阵83给方程两端右乘矩阵得8485给方程两端左乘矩阵右乘矩阵86得87例9设方阵B为幂等矩阵（即，从而对正整数k，）证明：A是可逆矩阵，且证明88例10

设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B–C

＝？注意

本题考查矩阵运算性质，注意当(E–A)B=E时，表明(E–A)，B均可逆，且互为逆矩阵，从而利用逆矩阵的定义，它们还可互换.【分析】利用矩阵运算进行分析即可解由B=E+AB,C=A+CA知(E–A)B=E,C(E–A)=A

可见，E–A与B互为逆矩阵,于是有

B(E–A)=E.从而有

(B–C)(E–A)=E–A,而E–A可逆故

(B–C)=E

89练习90思考题思考题解答911.逆矩阵的概念3.逆矩阵的计算方法2.

逆矩阵存在92注293§2.3分块矩阵主要内容分块矩阵的定义2.分块矩阵的运算规则解决高阶矩阵的简便运算.前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？95

对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.一.分块矩阵的定义例1这是2阶方阵吗？96注意1

矩阵的划分可以是任意的，但应考虑体现矩阵元素的特征,不同的划分可以得到不同的分块矩阵。注意2分块矩阵里的元素是子矩阵，每个子矩阵的行、列可以是不相同的。9798二.

分块矩阵的运算规则99这是分块矩阵的数乘运算。100101例2

设解102又103于是104105分块对角矩阵的行列式具有下述性质:（或准对角矩阵）106107108例3设解109110练习111证明：思考题证思考题解答112113思考题解答思考题114

在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。小结§2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩一.矩阵的初等变换二.矩阵的秩三.初等矩阵四.用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵五.小结与思考题116

矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具,在线性代数中有十分广泛的应用.本节先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵秩的概念,并提出求秩的有效方法.我们必须熟练掌握矩阵的初等变换以及求矩阵秩的方法.1173种初等运算：(1)对调矩阵的两行.(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素.(3)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上.统称为矩阵的行初等变换一.矩阵的初等变换118同理可定义矩阵的列初等变换(把“r”换成“c”).定义2.14下面三种变换称为矩阵的行初等变换:矩阵的初等变换119例1

注1

例1表明,一般地矩阵经过初等变换后不再是原来的矩阵,它们之间不能以等号连接,而是连之以符号“→”.备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法 ＋数乘矩阵、矩阵乘法 ×矩阵的转置 T（上标）方阵的行列式 |∙|不带运算符的矩阵运算，用“”．例如：初等行变换初等列变换121注2

通常称变换(1)为对换变换;

变换(2)为倍乘变换;

变换(3)为倍加变换.

注3

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换122等价关系的性质:具有上述三条性质的关系称为等价．通常将矩阵A与其经过初等变换后所得到的矩阵B相抵矩阵或等价矩阵,称作123

定义2.15

若一个矩阵具有如下特征就称之为阶梯(形)矩阵:(1)零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如果矩阵有零行的话);(2)非零行的首非零元(即位于最左边的非零元)的列标随其行标严格递增.124

定义2.16

若一个阶梯矩阵具有如下特征就称之为行简化阶梯矩阵:(1)非零行的首非零元为1;(2)非零行的首非零元所在列的其余元素皆为零.125例2

都是阶梯矩阵,但只有B是行简化阶梯矩阵;126矩阵都不是阶梯矩阵.

注4

一个非零矩阵经过行初等变换一定可化为阶梯矩阵.

定理2.5

任意非零矩阵都可经行初等变换化为阶梯矩阵.

推论1

任意非零矩阵都可经行初等变换化为行简化阶梯矩阵.127例3

用行初等变换将矩阵化为行简化阶梯矩阵.解128129130

推论2

任意可逆矩阵都可经行初等变换化为单位矩阵.

注6

同理可证明任意可逆矩阵都可经列初等变换化为单位矩阵.

注5

一个矩阵经行初等变换所化成的阶梯矩阵显然不唯一;但所化成的行简化阶梯矩阵却是唯一的.但若矩阵变化过程中还进行了列初等变换,那么所化成的行简化阶梯矩阵的唯一性不成立.131

定义2.17

若一个矩阵具有如下特征就称之为标准形矩阵:(1)位于左上角的子块是一个r阶单位阵;(2)其余的子块(若有的话)都是零矩阵.例4

矩阵都是标准形矩阵.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行简化阶梯形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系133例5

由例3有,

定理2.6

任意非零矩阵都可经初等变换化为标准形矩阵.134

实际上,若交替使用行、列初等变换,常常能更快地将一个矩阵化为标准形.

注7

对一般的矩阵A,若单用行或单用列的初等变换,不一定能将A化为标准形.

但对于可逆矩阵,由推论2及以上备注可知,单用行或单用列的初等变换,一定能将其化为标准形.注8

不同的矩阵可能会有相同的标准形.135设方阵则136二.矩阵的秩

不同的矩阵有相同的标准形;一个矩阵可经行初等变换化为不同的阶梯形矩阵,但不同的阶梯形矩阵中非零行的个数却是相同的.这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩.定义2.18

设矩阵称位于A的某k行、k列的交叉点处的元素依照其原来的相对位置成的k阶行列式为A的k阶子式.所构137例6

设则是A的全部4个3阶子式;等是A的2阶子式;等是A的1阶子式.138

定义2.19

矩阵A的非零子式的最高阶数称作矩阵的秩.记作

注9

矩阵A的秩为r的充要条件是A至少有一个r阶非零子式且全部r+1阶子式(如果有的话)都等于零(从而更高阶的子式亦为零);零矩阵没有非零子式,规定其秩为零;幻灯片20139

由定义2.19知,要求矩阵A的秩需计算多个行列式的值.阶梯形矩阵的秩恰为其非零行的个数.140定理2.7

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩.

证只须证明一次行初等变换不改变矩阵的秩.下面只就第(3)种行初等变换进行证明,其余两种请同学们下去自行证明.D为B的任意一个r+1阶子式.设141若D中不含有B的第i行元素,则D是A的r+1阶子式,故D=0.

若D中含有B的第i行元素,则由行列式的性质4和性质3,D可依第i行拆成两个行列式之和D=D1+kD2,其中D1是A的r+1阶子式,故D1=0,

当D中不含有B的第j行元素时,则D2至多与A的某个r+1阶子式相差一个负号,从而D=0.142当D中含有B的第j行元素时,因D2有两行完全相同,D=0.综上所述而B又可经过一次行初等变换变成A,即故同理可证推论矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩.从而证由矩阵A的秩的定义,当然有143且对A所作的列初等变换对AT来说则是行初等变换.由定理2.7知,它不改变AT的秩,从而A的秩亦不改变.

求矩阵的秩的更有效(比直接利用定义)的方法为:

利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形,然后数其非零行的行数即得矩阵的秩.144例7

求的秩.解145146定义（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，，则称定义阶方阵，为满秩阵.定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；，则称为降秩阵.147三.用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵

定义2.20

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称作初等矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛.三种初等变换对应着三种初等矩阵:14