用单位荷载法计算静定结构位移

用单位荷载法计算静定结构位移了解结构产生位移的原因，并在功的概念下，理解做功的广义力与广义位移的对应关系；理解刚体的虚位移原理；会用由刚体虚位移原理导出的单位荷载法(图乘法)，计算简单静定结构(梁、刚架、桁架)的位移。学习指导目录任务8.1结构位移的概念任务8.2变形体的虚功原理任务8.3用虚功原理求静定结构的约束反力和内力——刚

体的虚位移原理

任务8.4用虚功原理求支座位移引起静定结构的位移——

刚体的虚力原理任务8.5用虚功原理求静定结构在荷载作用下的位移——

变形体的虚力原理(积分）目录任务8.6用虚功原理求静定结构在荷载作用下的

位移——变形体的虚力原理(图乘)任务8.7用虚功原理求温度变化时静定结构的位

移——变形体的虚力原理任务8.8功的互等定理、位移互等定理、反力互

等定理和位移反力互等定理任务8.1结构位移的概念8.1.1结构位移产生的原因荷载作用温度改变支座位移制造误差材料胀缩结构位移产生的原因任务8.1结构位移的概念8.1.2结构位移的种类图8-1任务8.1结构位移的概念8.1.3计算位移的目的为力法解超静定结构、动力和稳定的计算打下基础结构制造和施工的需要(施工控制)为了校核结构的刚度(刚度条件)任务8.1结构位移的概念8.1.3计算位移的目的图8-2任务8.2变形体的虚功原理8.2.1常力做功与常力偶做功、广义力及广义位移图8-3任务8.2变形体的虚功原理8.2.1常力做功与常力偶做功、广义力及广义位移力和力偶都可能做功，故将其统称为广义力。在功的定义表达式中，力在其线位移上做功，力偶在其角位移上做功，故将线位移和角位移统称为广义位移。这样可以统一表述为：功是广义力与广义位移的乘积，功是有正负的代数量，单位是牛顿

米，即Nm。任务8.2变形体的虚功原理8.2.2外力虚功位移的双脚标符号图8-4任务8.2变形体的虚功原理8.2.2外力虚功外力的实功和虚功图8-5

这种由力在本身引起的位移上所作的功称为实功。对于实功

，引用关系式

，有任务8.2变形体的虚功原理8.2.2外力虚功外力的实功和虚功图8-6由力在其他因素引起的位移上作的功称为虚功，产生这种功的力和位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态量。任务8.2变形体的虚功原理8.2.2外力虚功外力的实功和虚功图8-7任务8.2变形体的虚功原理8.2.2外力虚功计算虚功的两种状态图8-8任务8.2变形体的虚功原理8.2.3变形体的虚功原理设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上所做的外力虚功T恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做的内力虚功W，即虚功原理任务8.2变形体的虚功原理8.2.4虚功原理的两种应用虚位移原理虚力原理当选择真实状态的广义力和虚拟状态的广义位移计算虚功时，就可以由虚功原理

求出真实状态的广义力。当选择真实状态的广义位移和虚拟状态的广义力计算虚功时，就可以由虚功原理

求出真实状态的广义位移。任务8.3刚体的虚位移原理【例8-1】求如图8-9所示支座B的反力及D截面的内力。图8-9任务8.3刚体的虚位移原理(1)计算支座反力FRB。图8-10图8-11任务8.3刚体的虚位移原理(1)计算支座反力FRB。任务8.3刚体的虚位移原理(1)计算支座反力FRB。现直接用式

，即用单位虚位移法计算支座B的反力，其过程如下：任务8.3刚体的虚位移原理(2)求D截面的弯矩。图8-12图8-13任务8.3刚体的虚位移原理(2)求D截面的弯矩。任务8.3刚体的虚位移原理(3)求D截面的剪力图8-14图8-15任务8.3刚体的虚位移原理(3)求D截面的剪力现直接用式

，计算D截面的剪力任务8.3刚体的虚位移原理“施加相应的单位虚位移”是指与所求反力或内力(广义力)能够构成功的广义位移。任务8.4刚体的虚力原理【例8-2】用虚功原理计算如图8-22所示简支梁支座B产生竖直向下位移c时，引起的跨中截面D的位移

D。

图8-22图8-23任务8.4刚体的虚力原理

由于静定结构支座产生位移时，犹如机构运动，不产生内力，因此，内力虚功等于零，虚功原理退化为刚体的虚力原理，即任务8.4刚体的虚力原理

用两种状态来计算外力虚功T，如果用带有顶标横线的字母表示虚拟状态的量，用不带有顶标横线的字母表示真实状态态的量，那么以上计算可表示为任务8.4刚体的虚力原理

【例8-3】用虚功原理计算如图8-24所示静定梁支座A产生转角=0.01rad，支座D产生向下竖直位移c=20mm时，引起的自由端截面E的竖直位移ΔE。图8-24任务8.4刚体的虚力原理图8-25取副梁BDF为研究对象，求产生线位移的连杆支座D的支座反力，有任务8.4刚体的虚力原理再取整体为研究对象，求出产生角位移的固定支座A的约束反力偶，有根据虚功原理，有任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.1内力虚功的计算图8-26任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.1内力虚功的计算变形体的虚功原理表达式任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.2线弹性材料的虚功原理平均切应变弯曲应变轴向应变任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.2线弹性材料的虚功原理k的取值如下所示：即截面形状系数k在截面为矩形时等于1.2；圆形时等于10/9；工字型时等于总截面面积除以腹板面积。任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.2线弹性材料的虚功原理对线弹性材料，变形体的虚功原理可表示为经计算结果表明：对不同的性质的杆，3种内力对内力虚功的贡献不一样，故不同的结构可按如下公式计算内力虚功，即可满足一般工程实践的需要。任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.2线弹性材料的虚功原理梁和刚架：

(仅取内力虚功中的一项)桁架：

组合结构：

拱：

微弯曲杆(同梁)：

(也仅取一项)任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算【例8-4】用虚功原理计算如图8-27所示自由端受集中力作用的悬臂梁自由端B截面的竖直位移和转角(梁的抗弯刚度为EI)。

图8-27任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算(1)为计算B截面的实际竖直位移，应该假设原结构的一个力状态。

图8-28任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

(2)为计算B截面的实际转角位移，应该假设原结构的一个力状态。图8-29任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

【例8-5】用基于虚功原理的单位荷载法(积分)计算如图8-30所示跨中D受集中力作用简支梁跨中截面D的绕度和铰支端B转角(梁的抗弯刚度为EI)。

图8-30任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

解对梁用变形体虚功原理只计及弯矩的内力虚功，故写出弯矩表达式。以题目所示真实状态作为位移状态，则位移状态的弯矩方程为

任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

(1)为计算D截面的实际竖直位移，应该假设原结构的一个力状态。

图8-31任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有

任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

(2)为计算B截面的实际转角位移，应该假设原结构的一个力状态。

图8-32任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有

任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

通过以上两个例题，对于线弹性材料的变形体虚功原理式

在用单位荷载法计算静定结构的位移时，可以改写为如下形式任务8.5变形体的虚力原理(积分)8.5.3用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算

在工程上，对不同结构又可以简化为

梁和刚架：

(仅取内力虚功中的一项)桁架：

组合结构：

拱：

微弯曲杆(同梁)：

(也仅取一项)任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.1图乘法公式及其应用条件

杆段必须是等截面直杆1杆段必须为同一种材料组成2M图和MP图中至少有一为直线图3任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.1图乘法公式及其应用条件

图8-33任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.1图乘法公式及其应用条件

又在图示坐标系，弯矩图MP总面积A的形心C的x坐标为于是，

任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.2常用图形的面积和形心位置

在荷载作用下，梁和刚架的位移计算可用图乘法计算：

对于凸抛物线，

，对于凹抛物线，

，

任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.2常用图形的面积和形心位置

二次抛物线的面积和形心位置如图8-34所示。图8-34任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.3折线分段图乘与变截面分段图乘

图8-35任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.3折线分段图乘与变截面分段图乘

图8-35任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.4复杂图形分块图乘(面积和形心位置难确定)

图8-36任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-6】求如图8-37(a)所示承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。图8-37任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。图8-38任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。如图8-38(b)所示，有任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。如图8-38(c)所示，有任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-8】求如图8-39(a)所示伸臂梁悬臂端转角(跨内外分段、分块)。图8-39任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-9】求如图8-40(a)所示刚架D截面的竖直位移。图8-40任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-10】求如图8-41(a)所示三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，EI=常数。图8-41任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

【例8-11】求如图8-42(a)所示组合结构位移(注意：区分梁式杆与链杆公式)。图8-42任务8.6变形体的虚力原理(图乘)8.6.5图乘法计算位移举例

任务8.7变形体的虚力原理8.7.1基本分析

静定结构温度变化时不引起内力，但结构产生会变形和位移，可应用单位荷载法的位移公式来求解。任务8.7变形体的虚力原理8.7.2温度变化时变形微元分析，应变

和曲率

的计算

图8-43任务8.7变形体的虚力原理8.7.2温度变化时变形微元分析，应变

和曲率

的计算

当材料线膨胀系数为

，微段ds变形为：任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

计算温度变化引起的位移公式任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

【例8-12】如图8-44所示，各杆均为矩形截面，高为h，材料的热膨胀系数为

，各杆内侧升温为10℃，外侧温度不变，求温度变化引起截面C的水平位移。解(1)根据题意，在C截面虚设水平单位荷载。(2)画单位荷载作用下的内力图

。任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

图8-44 图8-45任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

(3)计算每根杆件的平均温变t0和内外侧温差t。任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

(4)求C点的水平位移。任务8.7变形体的虚力原理8.7.3计算温度变化引起的位移公式

【例8-1