【全程复习方略】（陕西专用）2013版高中数学 11.8条件概率与独立事件、二项分布、正态分布配套课件 北师大版VIP

第八节条件概率与独立事件、二项分布、(＊)正态分布三年16考

高考指数:★★★1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考的重点；2.利用数形结合、合理分类、准确判断概型来解决二项分布问题是高考的热点；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查.1.条件概率条件概率的定义条件概率的性质注意:条件概率不一定等于非条件概率.若A,B____________,则P(B|A)=P(B).相互独立已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为________

当P(B)>0时，我们有P(A|B)=（其中，A∩B也可以记成AB）类似地，当P(A)>0时,A发生时B发生的条件概率为P(B|A)=【即时应用】(1)设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为______.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为______.(3)掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚是6点的概率为______.【解析】(1)由题意知，(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.(3)设事件A为至少有一枚是6点，事件B为两枚骰子的点数不同.则n(B)=6×5=30,n(AB)=10，则答案：(1)(2)0.72(3)2.事件的相互独立性(1)定义:设A、B为两个事件，若P(AB)=__________，则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立，那么A与___，___与B，与___也相互独立.②如果A1,A2,…,An相互独立，则有P(A1A2…An)=________________.P(A)P(B)P(A1)P(A2)…P(An)【即时应用】(1)思考：“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.(2)甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为______.【解析】P＝答案：(3)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为______.【解析】依题意得，加工出来的零件的正品率是(1－)×

因此加工出来的零件的次品率是答案：

3.二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”.(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p.(3)各次试验是相互独立的.用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X=k)=___________(k=0，1,2,…，n).若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p).【即时应用】(1)思考：二项分布的计算公式与二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p看成a，1－p看成b，则就是二项式定理中的通项.(2)已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于______.【解析】P(X＝2)＝答案：

(3)一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是______.【解析】由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：答案：

4.正态分布密度函数满足的性质(1)函数图像关于直线________对称.(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”.(3)P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.x=μ【即时应用】(1)若随机变量X~N(2,100)，若P(X＜k)=P(X>k)，则k=_______.(2)正态分布N(2σ,σ2)在区间(σ,3σ)内取值的概率为_____.(3)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2<X<0)＝0.4，则P(X＞2)＝______.【解析】(1)正态曲线关于直线x=2对称，故k=2.(2)由P(μ-σ＜X<μ+σ)=0.683知，在区间(σ,3σ)内取值的概率为0.683.(3)∵P(－2<X<0)＝0.4，∴P(－2<X<2)＝0.8，∴P(X＞2)＝P(X＜－2)＝0.1.答案：(1)2(2)0.683(3)0.1条件概率【方法点睛】条件概率的求法(1)利用定义计算：分别求P(A)和P(AB)，由P(B|A)=可求.(2)利用缩小基本事件范围的观点计算：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)=【例1】(1)10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率为______.(2)一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.【解题指南】(1)根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”，然后计算；(2)“不超过2次”就按对包括两种情况：第一次就按对；第一次没按对，第二次按对.【规范解答】(1)方法一：从10件产品中不放回抽取2次，记“第一次抽到正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.“从10件产品中不放回抽取2次”共包含＝90个基本事件.事件A包含8×9＝72个基本事件.所以P(A)＝，事件AB，即“从10件产品中依次抽2件，第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次品”包含8×2＝16个基本事件.∴P(AB)＝∴已知第一次抽到的是正品，第二次抽到次品的概率P(B|A)＝方法二：因为已知第一次抽到的是正品，所以相当于“从9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”.由古典概型知其概率为.答案：

(2)设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2，…)，则A＝A1∪()表示不超过2次就按对密码.用B表示最后一位是偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋【互动探究】在本例(2)中条件不变，求任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率.【解析】因为事件A1与事件互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋【反思·感悟】1.此类问题解题时应注意着重分析事件间的关系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解.2.在使用条件概率公式P(B|A)=求概率时，需要求P(AB)，在求P(AB)时，应注意AB的具体含义，若AB，则P(AB)＝P(B).【变式备选】某个班级有学生40人，其中共青团员15人，全班分成四个小组，第1小组有学生10人，其中共青团员4人.现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一组的概率.【解析】设在班内任选一个学生，该学生是共青团员为事件A，在班内任选一个学生，该学生在第一组为事件B，则所求概率为P(B|A).n(A)=15，n(AB)=4，∴相互独立事件的概率【方法点睛】1.判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立⇔P(AB)=P(A)·P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(3)具体背景下:①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.2.常见词语的理解在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B则(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；(2)A、B都发生的事件为AB；(3)A、B都不发生的事件为(4)A、B恰有一个发生的事件为(5)A、B中至多有一个发生的事件为【提醒】在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解.【例2】(2012·保定模拟)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列.【解题指南】(1)选手被淘汰包括：第一轮被淘汰；第一轮通过第二轮被淘汰；前两轮通过第三轮被淘汰.(2)先求出ξ的值，再求出相应的概率，最后列出分布列.【规范解答】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i=1,2,3)，则∴该选手被淘汰的概率(2)ξ的可能值为1,2,3，P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=∴ξ的分布列为ξ123P【反思·感悟】解决事件的概率问题的一般步骤：(1)记“事件”或设“事件”.(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件中的某一种.(3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.(4)运用公式进行计算.(5)简明写出答案.【变式训练】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(1)求恰有二人破译出密码的概率；(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.【解析】(1)记三人各自破译出密码分别为事件A，B，C，依题意知A，B，C相互独立，记事件D：恰有二人破译出密码，则P(D)＝(2)记事件E：密码被破译，：密码未被破译，则P()＝所以P(E)＝1－P()＝，所以P(E)＞P().故密码被破译的概率大.【变式备选】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列.【解析】令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=(2)ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=故有分布列ξ23456P独立重复试验与二项分布【方法点睛】1.独立重复试验的特点(1)每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生.(2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.2.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【例3】(2012·南昌模拟)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列;(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(3)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【解题指南】第(1)问直接利用二项分布求解，第(2)问转化成互斥事件有一个发生的概率，第(3)问可以转化成有顺序的排列问题,再利用古典概型求解.【规范解答】(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X~B(6，).P(X=k)=所以X的分布列为：X0123456P(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)=所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为.(3)设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则P(B)=即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.显然,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等.【反思·感悟】1.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少.2.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般情况下，有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，含有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单.【变式训练】为提高学生的素质，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的，现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习.(1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ的分布列.【解析】记第i名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件Ai、Bi、Ci，i=1，2，3.由题意知A1、A2、A3相互独立，B1、B2、B3相互独立，C1、C2、C3相互独立，Ai、Bj、Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且(1)他们选择的科目所属类别互不相同的概率为：P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=(2)设3名学生中选择的科目属于艺术的人数为η，由已知，η~B(3，)，且ξ=3-η.所以P(ξ=0)=P(η=3)=P(ξ=1)=P(η=2)=P(ξ=2)=P(η=1)=P(ξ=3)=P(η=0)=故ξ的分布列是ξ0123P正态分布的概率计算【方法点睛】关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法(1)熟记P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<μ+3σ)的值.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同.②P(X＜a)＝1－P(X>a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).【例4】(1)(2012·青岛模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，若P(X＞4)＝0.2，则P(2＜X＜3)＝______；(2)若X~N(1,22)，则P(3<X<5)=______.【解题指南】根据题意确定μ，σ的值，然后转化为已知概率的三个区间上进行求解.【规范解答】(1)由题意可知曲线关于直线x＝3对称，故P(X＞4)＝P(X＜2)＝0.2，因此P(2＜X＜3)＝0.5－P(X＜2)＝0.5－0.2＝0.3.(2)∵X~N(1,22)，∴μ=1,σ=2.又P(3<X<5)=P(-3<X<-1)，∴P(3<X<5)=［P(-3<X<5)-P(-1<X<3)］=［P(1-4<X<1+4)-P(1-2<X<1+2)］=

［P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)］=×(0.954-0.683)=0.136.答案：(1)0.3(2)0.136【互动探究】在本例(2)中条件不变，求P(X>5)的值.【解析】P(X>5)=P(X<-3)=［1-P(1-4<X<1+4)］=［1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)］=×(1-0.954)=0.023.【反思·感悟】要求随机变量X在某一个区间内的概率，关键是借助于正态分布曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上求解.【变式备选】设X～N(5，1)，求P(6<X<7)的值.【解析】由已知μ=5,σ=1.∵P(4＜X<6)=0.683,P(3＜X<7)=0.954.∴P(3＜X<7)-P(4＜X<6)=0.954-0.683=0.271.如图,由正态曲线的对称性可得P(3＜X<4)=P(6＜X<7)∴P(6＜X<7)=【满分指导】相互独立事件概率主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.【解题指南】(1)红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人获胜的概率和红队有三人获胜的概率之和.(2)先列出ξ的所有值，并求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【规范解答】(1)记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件………………2分根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为P(D)P(E)P(F)……………………4分=0.6×0.5×(1-0.5)+0.6×(1-0.5)×0.5+(1-0.6)×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.…………………6分(2)依题意可知ξ=0,1,2,3，P(ξ=0)=1-0.6)×(1-0.5)×(1-0.5)=0.1；……………………7分P(ξ=1)=0.6×(1-0.5)×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5×(1-0.5)+(1-0.6)×(1-0.5)×0.5=0.35;……………………8分P(ξ=2)=0.6×0.5×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5×0.5+0.6×(1-0.5)×0.5=0.4；…9分P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.……10分故ξ的分布列为故Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.…………………12分ξ0123P0.10.350.40.15【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示在解答本题时有三点容易造成失分：(1)对“红队至少两名队员获胜”考虑不全面，造成遗漏某一基本事件；(2)ξ的取值考虑不全面，漏掉其中一种情况；(3)计算不准确，造成失分.备考建议解决相互独立事件的概率问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)相互独立事件的概率与条件概率混淆；(2)相互独立事件与独立重复试验分不清；(3)对相互独立事件的各种情况分析不到位，漏掉或增加某种情况.1.(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()