多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用

第三章多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用§3－1多指标问题的处理单指标试验多指标试验衡量试验效果的指标只有一个衡量试验效果的指标有多个科学试验多指标试验多个指标之间可能存在一定的矛盾，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都尽可能好的生产条件多指标问题处理方法综合评分法综合平衡法排队评分法在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原那么，对各个指标综合评分，将多个指标综合为单指标。将各个指标的最优条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。综合各个指标，按效果好坏，进行排队打分。这也是将多个指标转化为单指标。三种方法综合应用一、综合评分法在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原那么，对各个指标综合评分，将多个指标综合为单指标。此方法关键在于评分的标准要合理。评分标准即权值，综合评分法也称加权评分法。得分=K1×第一个指标+…+Kn×第n个指标值〔K为常数〕例3－1白地雷核酸生产工艺的试验试验目的：原来生产中核酸的得率太低，本钱太高，甚至造成亏损。试验目的是提高含量，寻找好的工艺条件。本例介绍由北京大学生物系与生产厂联合攻关中的第一批L9(34)正交试验的情况。因素水平白地雷核酸含量（％）腌制时间（小时）加热时pH值1237.48.46.224404.86.09.0加水量1:41:31:2因素－水平表列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9(34)256.1108.2113.236.137.715.915.9128.4116.3132.642.838.844.25.4127.3131.1118.942.443.739.64.1143.7127.5106.247.942.535.412.5试验指标1º2ºº17.812.26.28.04.54.18.57.34.429.841.359.924.350.658.230.920.473.459.451.245.532.236.639.436.828.547.7综合评分1º

核酸泥纯度（％）2ºº

纯核酸回收率（％）试验方案及结果分析分数＝2.5×纯度＋0.5×回收率2.5×17.8+0.5×29.8=59.4极差判断因素主次：A>D>B>C50454035

A3A2A1B3B2B1C3C2C1D3D2D1因素指标指标〔得分〕－因素图因素水平白地雷核酸含量（％）腌制时间（小时）加热时pH值1237.48.46.224404.86.09.0加水量1:41:31:2最优条件：A1B3C2D1从图上和表上的极差都可以看出，因素的主次为：所以，A取A1，D取D1，PH值选取便于操作的水平C2，B取B3，故，最优条件为：A1B3C2D1事实上，试验结果也证明，上述最优条件效果很好。投产后核酸质量得到显著提高，做到了不经提纯一次可以入库。A D B C主 次正交设计助手极差分析极差分析指标因素图二、综合平衡法〔1〕对各个指标进行分析，与单指标的分析方法完全一样，找出各个指标的最优生产条件。〔2〕将各个指标的最优生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。例3－2液体葡萄糖生产工艺最正确条件选取 试验目的：生产中存在的主要问题是出率低，质量不稳定，经过问题分析，认为影响出率、质量的关键在于调粉、糖化这两个工段，决定将其它工段的条件固定，对调粉、糖化的工艺条件进行探索。〔1〕出率：越高越好〔2〕总复原糖：在32％－40％之间〔3〕明度：比浊度越小越好，不得大于300mg/l〔4〕色泽：比色度越小越好，不得大于20ml。因素水平A粉浆浓度（ºBe’）B粉浆酸度（PH）C稳压时间（分）1231618201.52.02.50510D工作压力（kg/cm²）2.22.73.2因素－水平表产量复原糖明度色泽指标前进四个因素对四个指标的主次关系为：产量：D——C——A——B复原糖：B——D——A——C明度：A——B——C——D色泽：B——A——C——D分析顺序确定〔B>A>D>C〕主次B对复原糖和色泽影响均最大，应首先分析；A对明度影响最大，对色泽影响较大，次要分析；然后是D、Cif权重：8421那么：A16、B21、C9、D14分析顺序：B>A>D>C返回前进综合考察四个指标，复原糖含量要求在32－40％之间，从趋势及因素主次知道B的影响最重要，取1.5和2.5都不行，只有选2.0最适宜。B取B2最好。从色泽来看，B最重要，而且仍然以B2最好；从明度来看，B为次要因素，但也仍以B2为好；因此可确定B2是最优水平。粉浆浓度A对产量影响很大，取A1最好。但对于明度来说，取A1时大于300不适宜，浓度A2时比A1略低一些，但其它指标，除色泽外，都能到达要求。因此粉浆浓度定位A2。返回前进工作压力对产量影响最大，取D3最好。但它的色泽不好，用2.7产量会低一些，但其余指标都还比较好，因此确定为D2。稳压时间对四个指标来说，对产量影响最大，对复原糖没有什么影响，对明度、色泽影响也不大，照顾产量应选C2＝5分钟。但此时色泽、明度都不好，考虑将时间延长一些，定为5～7分钟。

最后得出最优条件为： A2B2C2D2事实上，结果证明采用后各项指标都有明显提高。返回前进列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9(34)3266325731201088.71085.7104048.73125325832331050.710861077.735.331743308316110581102.71053.749303932163318101310701129.3116试验结果产量〔斤〕99611351135115410241079100210991019试验方案及结果计算表-1返回11301110107010401010

A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3因素产量〔斤〕指标－因素图-1返回列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9(34)112109.813337.336.337.711.1126.4117.291.242.139.130.411.7112.4111.8110.637.537.336.90.6108.811211436.337.3381.7试验结果复原糖〔％〕41.639.43142.437.230.242.440.630试验方案及结果计算表-2返回42383430

A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3因素复原糖含量〔％〕指标－因素图-2返回列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9(34)<130<525<525<433.3<175<175258.3<825<625<900<275<208.3<30091.7<800<800<650<266.7<300<216.783.3<925<725<700<308.3<241.7<233.375试验结果明度〔mg/l〕近500近400近400<200<125近200<125<100<300试验方案及结果计算表-3返回450390330270210150

A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3因素明度〔mg〕指标－因素图-3返回列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9(34)4580801526.726.811.76050952016.731.7156080652026.721.76.770607523.320255试验结果色泽〔ml〕101025<30近20近30近20<20<40试验方案及结果计算表-4返回33272115

A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3因素色泽〔ml〕指标－因素图-4返回镍铁合金电镀〔应用举例〕低盐浓度光亮镍铁合金镀液配方因素—水平表，实验以电沉积速度和合金光亮度为指标。配方的添加剂参数氯化钠:20～25g／l柠檬酸钠:3～4gl糖精钠:3g／l“791〞光亮剂:4～6g／l十二烷基苯磺酸钠:0.05～0.1g／l柠檬酸:适量电沉积工艺阳极面积(Ni∶Fe):4∶1阴极与阳极面积比:Cu∶Fe∶Ni为1∶2∶8温度:50～55℃时间:50min根据正交设计法:对配方选取六因素五水平的正交试验表,实验以电沉积速度和合金镀层光亮度为指标。Ni—Fe合金镀层的外观采用目测评分方法来检测,其标准定为:灰黑(黑点)4-发灰(麻点)5-不光亮(针孔)6-较光亮7-光亮8-准镜面9-镜面10从上述正交实验的结果可得出六个因素对两个指标的主次关系为:(1)镀速:EACDFB(2)光亮度:AC(BDF)E分析顺序：A>E>C>D>F>Bif权重：32168421那么：A48、B3、C24、D6、E33、F4分析顺序：A>E>C>D>F>B前进下页电沉积的最正确工艺水平:镀速:E5A5C4D2F5B4光亮度:A4C5(B4D2F2)E4分析顺序：A>E>C>D>F>B综合两个指标后,得出最正确工艺水平为:A4B4C4D2E5F4A4B4C4D2E5F5亦可前进返回确定电沉积光亮镍铁合金的最正确配方及工艺条件为:硫酸镍:NiSO4·7H2O:25g/l硫酸亚铁:FeSO4·7H2O:3-5g/l硼酸:H3BO3:9g/l温度：50℃PH值：3.8~4.2电流密度：3.5A/dm2前进返回指标－因素图-A镀速光亮度返回最优条件：A4因素A对镀速和光亮度都重要指标－因素图-B镀速光亮度返回最优条件：B4因素B对镀速和光亮度都不重要指标－因素图-C镀速光亮度返回最优条件：C4因素C对镀速和光亮度都重要指标－因素图-D镀速光亮度返回最优条件：D2因素D对镀速和光亮度在同一点出现最优指标－因素图-E镀速光亮度返回最优条件：E5因素E对镀速重要，对光亮度不重要指标－因素图-F镀速光亮度返回最优条件：F4/F5因素F对镀速和光亮度都不太重要三、排队打分法根据试验结果，综合全部指标，按效果好坏，进行排队打分对综合评分进行直观分析缺点：分数平均分布，会影响指标主次关系返回A4B4C4D2E5F5，但指标主次关系不具有意义返回§3－2水平数不同的正交表的使用一、直接套用混和正交表例3－3为了探索某胶压板的制造工艺，因素—水平如表因素水平A压力（公斤）B温度（℃

）C时间（分

）123481011129590912此试验方案可以直接套用混和正交表L8(4×24)因素水平12345678A1B2C345四块胶板得分指标总分112233441212121212122121122112211212211266442446653414356423142464221212241911135141017试验方案及计算结果表K1K2K3K4k1k2k3k4RR’S412419275.13.02.43.42.73.433.3448633.03.90.92.67.03164474.02.91.13.19.0357540.2859521.53K=111P=385.03试验方案及计算结果表〔续表〕 因素水平完全一样时，因素的主次关系完全由极差R的大小来决定。当水平数不完全一样时，直接比较时不行的，因为量因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。因此要用系数对极差进行折算。折算系数水平数折算系数d23456789100.710.520.450.400.370.350.340.320.31折算后用R´的大小衡量因素的主次，R´的计算公式为：由上计算可知因素主次顺序为：A——C——B主 次然后可用前面所讲的方差分析法分析即可得出结果二、并列法 对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平的正交表外，还可以将原来正交表加以适当的改造，得到新的混和水平的正交表。 L8(4×24)表就是由L8(27)改造而来：列号试验号12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112〔1〕首先从L8(27)中随便选两列，例如1、2列，讲次两列同横行组成的8个数对，恰好4种不同搭配各出现两次，我们把每种搭配用一个数字来表示：新列试验号1212345678111122221122112211223344规则：(1,1) 1(1,2) 2(2,1) 3(2,2) 4〔2〕于是1、2列合起来形成一个具有4水平的新列，再将1、2列的交互作用列第3列从正交表中去除，因为它已不能再安排任何因素，这样就等于将1、2、3列合并成新的一个4水平列：列号试验号1234567123456781122334412121212121221211221122112212112L8(4×24)正交表 显然，新的表L8(4×24)仍然是一张正交表，不难验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。〔1〕任一列中各水平出现的次数相同〔四水平列中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次〕。〔2〕任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同〔对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一列二水平，它们各横行的八种不同搭配(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)各出现一次。

例3－4聚氨酯合成橡胶的试验中，要考察A、B、C、D对抗张强度的影响，其中因素A取4水平，因素B、C、D均取二水平，还需要考察交互作用A×B、A×C。 显然这是一个41×23因素的试验设计问题。 自由度计算如下：

fA=4-1=3 fB=

fC=

fD=2-1=1 fA×B=

fA×C=(4-1)×(2-1)=3 f总=3+3×1+2×3=12

故可以选用L16(215)改造得到的L16(41×

212)混和正交表安排试验表头设计如下：表头设计ABA×BCA×CD列号123456789101112131415三、拟水平法： 拟水平法是将水平数少的因素纳入水平数多的正交表中的一种设计方法。例3－5对例1－1的转化率试验，如果除已考虑的温度〔A〕、时间〔B〕、用碱量〔C〕外还要考虑搅拌速度〔D〕的影响，而电磁搅拌器只有快慢两挡，即因素D只有两个水平，这是一项四因素的混合水平试验，如果套用现成的正交表，那么以L18〔21×37〕为宜，但由于人为物力所限，18次试验太多了，能否用L9(34)来安排呢？这是可以的，解决的方法给搅拌速度凑足三个水平，这个凑足的水平叫拟水平。我们让搅拌速度快的〔或慢的〕一档多重复一次，凑成三个水平。

ST、SA、SB、SC的计算与原来相同，只是SD的计算不同试验方案及结果计算表见3－19。

因素水平A温度(℃)B时间(分)C用碱量(%)D搅拌速度12380859090120150567快慢快显然，因素D的影响是不显著的，可将它与误差合并，因此方差分析表与表2－5完全一样。通过此例我们可看到拟水平法有如下特点：〔1〕每个水平的试验次数不一样。转化率的试验，D1的试验有6次，而D2的试验只有3次。通常把预计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的水平试验次数少一些。〔2〕自由度小于所在正交表的自由度，因此D占了L9(34)的第四列，但它的自由度fD=1小于第四列的自由度fD=2.就是说，D虽然占了第四列，但没有占满，没有占满的地方就是试验误差.还需作两点说明：〔1〕因素D由于和其他因素的水平数不同，用极差R来比较因素的主次是不恰当的。但用方差分析法仍能得到可靠的结果。〔2〕虽然拟水平法扩大了正交表的使用范围，但值得注意的是，正交表经拟水平改造后不再是一张正交表了，它失去了各因素的各水平之间的均衡搭配的性质，这是和并列法所不同的。四、混和水平有交互作用的正交设计 例3－5有一试验需要考虑A、B、C、D四个因素，其中A为四水平因素，B、C、D都为二水平因素，还需要考虑它们的交互作用A×B、A×C、B×C试验安排：f总=(4－1)＋3(2－1)＋2(4－1)(2－1)＋(2－1)(2－1)＝13应选用L16(215)正交表。〔1〕将L16(215)中的第1、2、3列改造为四水平的，得到L16(41×212)表；〔2〕将A占1、2、3列，如果B放第4列，那么由交互作用表知：1,45；2,46；3,47。于是A×B要占5、6、7三列；〔3〕将C排在第8列，可以查得：1,89；2,810；3,811。于是A×C要占9、10、11三列；〔4〕B在第4列，C在第8列，4,812，B×C放12列〔4〕D可以安排在剩余的任何一列，假设放在第15列。表头设计ABA×BCA×CB×CD列号123456789101112131415表头设计如下该表头设计也可以有其它方式，比方表头设计DAAB×CABA×CA×BA×CA×BCA×BA×C列号123456789101112131415§3－3活动水平与组合因素法一、活动水平法 在多因素试验中，有时两因素和多因素直接存在着相互依存的关系。即一个因素的水平的选取将由另一因素的水平来决定，或者一因素水平的选取将随着另一因素水平的选取情况而变化，此时可采用活动水平法例3－7镀银工艺试验试验目的：寻找好的镀银槽液配方和相应的工艺条件。因素和水平，因素有五个槽液配方：硝酸银用量，氰化钾〔KCN〕用量，硫代硫酸铵用量工艺条件：温度，电流密度硝酸银的用量想比较两个水平：150克／升和100克／升。但是氰化钾的用量也取两个固定水平就不适宜了。硝酸银多了，氰化钾也必须多，硝酸银少了氰化钾也要少。如果固定氰化钾的两个水平是250克／升和160克／升，于是就会出现下面四种水平搭配：有实际经验的技术人员很快可断定〔2〕、〔3〕号的配是不适宜的。编号AgNO3(克/升）KCN(克/升）⑴⑵⑶⑷150150100100250160250160氰化钾的用量总的来说是随硝酸银的用量改变的，但是当硝酸银的用量固定后，氰化钾的用量也还有一个多、少问题。例如，硝酸银固定为100克／升，此时氰化钾用167克／升好呢？还是用183克／升好呢〔氰化钾少用一些好呢，还是多用一些好〕？另外当硝酸银用150克/升，氰化钾的用量也还有一个多、少问题。

氰化钾的用量这个因素的两个水平取为：少、多，而它的少、多的量是随硝酸银的用量改变的，可表示如下：表中的虚线局部详细地说明了KCN用量这个因素的少与多的具体内容。这样选水平的方法就称为活动水平法，KCN用量这个因素就称为活动水平的因素。在本例中，电流密度也是一个活动水平的因素，它随温度的上下而变化。二、组合因素法 在试验工作中，力求通过尽可能少的试验次数并获得得与其相当的效果。在用正交试验设计安排试验时，减少试验次数的有效方法就是把两个或两个以上的因素组合起来当作一因素看待。组合成的这个因素叫组合因素，采用组合因素法时，安排试验和试验结果分析的方法和一般正交试验相同。§3－4分割试验法分割试验法又称为裂区法分割试验的根本思想： 在比较复杂的试验中，要经过好几道工序才能得出结果，这些工序重复起来难易不等。为了对这类试验进行设计，我们可以既按照工序的先后，又按照工序重复的难易成度，把因素区分为一级因素、二级因素、三级因素等。安排试验时，尽可能使重复困难的工序少做试验，而让重复容易的工序多做些试验。例3－8人造丝制造工艺大致由原液工序、纺丝工序、加工工序三局部组成。 为了提高人造丝的强度进行工业试验。 提出A〔2水平〕、B〔2水平〕、C〔2水平〕作为原液工序因素，提出D〔2水平〕、E〔2水平〕作为加工工序因素，假定因素间无交互作用，因此可用L8(27)正交表安排试验。 为节约试验材料，可进行分割试验。把A、B、C作为一级因素，D、E作为二级因素。也就是说，当A、B、C的某一特定组合所构成的原液工序的一批产品送往加工工序。这样L8(27)的试验就不要用8批人造丝原液了。A,B,C放1，2，4列A,B,C放1，2，3列由上可见，只要生产A1B1CI,A1B2C2,A2B1C2,A2B2C1四批原液，再把各批源液分成两份就行了，这样就到达了分割试验的目的。例3－10有A、B、C、D四个因素，每个都有两个水平，A、B是一级因素，它们没有交互作用，试验如何安排？

仔细观察正交表L8(27)可以发现：第1、2列的水平号从上往下是成对的出现。这样，我们把因素A、B分别配置在1、2、3列上。剩下的配D、E，如6、7列。列号试验号12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112试验时，只要生产A1B1、A1B2、A2B1、A2B2四批原液，再把各原液分成两分即可，这样到达了分割试验的目的。列号试验号AB1234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112一级因素随机化二级因素随机化134212212112实际试验号码12658734正交分割试验123

4567C

D作F检验时，一级因素用一级误差来检验，二级因素用二级误差来检验。如果Se1/Se2不显著时，也可以将两项合并，作为共同的误差估计。例3－10设有A、B、C、D、E、F六个因素，其中A×B、A×D、B×D存在交互作用。

A：一级因素

B、C：二级因素

D、E、F：三级因素

f总＝6×(2-1)+3(2-1)(2-1)=9故需要选用L16(215)来安排试验。L16(215)的分组情况1234567891011121314151234不同级的因素不能放在同一组，表头设计如下1234567891011121314151234表头设计列号组别ABA×BCDA×DEB×DF第2组没有安排试验，是为了给一级误差有一个估计12345678910111213141516因素列号试验号ABCDEF111111112222222211221122112211221122112222112211121212121212121212122121121221211221122121122112一级因素随机化二级因素随机化三级因素随机化实际试验号341211112222212112211212212110912117865151613144321正交表分割试验安排方差来源平方和自由度Ae1BCA×Be2DEFA×DB×De3总和SA=S1Se1=S2+

S3SB=S4SC=S6SA×B=S5Se2=S7SD=S8SE=S10SF=S13SA×D=S9SB×D=S12Se3=S11+

S14+

S15正交分割试验方差分析表121111111113正交分割试验步骤：〔1〕把因素分为一级、二级……等。〔2〕选择适当正交表，把一级因素安排在第一组〔或一、二组〕，二级因素安排在后面一组，依次类推，不同级的因素不可在同组。〔3〕有些交互作用不可忽略，设计时要注意不要让它和因素混杂。分割法交互作用规律：〔1〕如果两个因素在不同组，那么交互作用一定在两因素中的较高的一组〔2〕属于同一组的二因素的交互作用，其全部和一局部落在比它低的组中。方差分析时先算出各列的平方和。§3-5局部追加法试验设计在完成一组正交试验设计的试验和分析之后,假设对某一显著因素的新水平感兴趣,那么希望对新水平进行试验。但再做一组正交试验比较麻烦,而局部追加法试验设计可防止这种麻烦。这种方法在设计试验时还可把多下来的水平按此法进行处理。表3-33给出了这种试验设计结果。因素B、C、D为两水平,A为五水平。A的1～4四个水平采用本章第二节的方法安排在内(1)～(3)列组成的四水平新列内,A5那么将4水平再重复两次,即第9、10两次试验,这样就完成了局部追加法试验设计。表3－33局部追加法试验设计表2.局部追加法试验结果计算由于把10次试验设想成16次试验,因此计算时应按以下方法进行。(1)

平方和计算SA’=1/4(A12+A22+A32)+1/2(A42+A52)-G2/16SB’=1/16(B1-B2)2SC’=1/16(C1-C2)2SD’=1/16(D1-D2)2ST′=2(x12+x22+x32+x42+x52+x62)+x72+x82+x92+x102-G2/16Se′=ST-(SA+SB+SC+SD)2〕修正系数k的计算

而误差平方和修正系数按下式计算:式中N——选用的正交表试验次数;P——正交表中安排的水平数;P′——追加实验安排的水平数。M——实际完成的试验次数;§3－6配比试验和寿命试验一、配比试验如果对试验的总量不加限制，这就是所谓的配方试验。如果限定总量必须是指定的数量，那么，这时的配方问题等价于配比问题。两者相互完全决定：即配方决定一组配比；反过来，配比决定出配方〔一组配方等价于一组配比加上总用量〕。〔一〕电缆料配方该厂选用了A、B、C三种增塑剂，根据国内、外的生产经验，当PVC树脂为100份时，增塑剂应取46份。那么A、B、C应各取几份搭配在一起才好呢？他们用单因素轮换法作试验，确定了A为18份，B为10份，C为18份。此时，电缆料的各项性能都到达了英国标准。这时该厂学习了正交试验法，他们决定要用正交试验法来降低生产本钱。由于三种增塑剂的价格不等，C的价格最高，A的价格次之，B的价格最低，因此正交试验的目的是试图减少C的用量比较，加大B的用量比较，寻找既要满足性能指标，又要降低本钱的配方。排出因素水平表3－36所示。因素ABC水平1水平2水平321份18份15份10份5份15份18份12份15份〔二〕实验方案〔1〕配比试验方案在电缆料的配方中，增塑剂的总份数应为46份。但是，在上面的配比试验方案中，有些试验条件的三种增塑剂的总份数A＋B＋C不为46份，不能直接作试验。比方，第3号试验条件的增塑剂总份数为15＋10＋12＝37＜46份，须作调整，使增塑剂的总份数为46份。做调整如下：A=15*46/37=18.7〔份〕B=10*46/37=12.4〔份〕C=12*46/37=14.9〔份〕从计算结果看出：A、B、C均以中等用量较好，其中C的15份比原配方的18份有所减少，节约了本钱。最后，又围绕“算一算〞好条件安排了第二批试验，找到了增塑剂的较好配方，在本钱上比第一批的最好条件又有所下降，经济效益十分显著。二、寿命试验§3－7误差与重复一、误差与重复在大多数实验中，当观察到的条件保持不变时，试验结果仍具有一定程度的误差。如果已经知道结果很准确，即误差很小，那么，可以不做相同条件的重复试验。否那么，当做完正交试验后，应该对其中少数的好条件做些重复试验。后面这句话有两点含义：一是通过重复能看出误差的大小；二是好结果值得核实，而不必重复差的条件。经过重复，如果误差很小，这意味着干扰不大，容易看出条件的好或差.现在因为误差大，经过一批正交试验，有时候还看不出用量的真正偏向，有时候想在不改变因素与水平的范围内，由稀到密地增加试验条件。遇到这种情形，可以按照几张不同的小表合成一张大表的方法继续试验。例如，附录中L8(27)的前三列被虚线分成两个L4(23)上面四行正好是第一表的那个L4(23)做完它后，可接着做下面四行的另一个L4(23)因素与列、水平号码与用量之间的对应关系一律不变。又如做完一个L8(27)后，可接着做表L16(215)下面8行的另一个L8(27)。L27(313)的前四列被虚线分成三个L9(34)做完第一个L9(34)后，可接着做中间9行的第二个L9(34)甚至还可再做下面9行的第三个L9(34)。其他的大表套小表，依此类推。几批不同的正交试验，联合在一起，还是正交试验。用这种方法，既重复了水平，又考察了新条件。对联合的大表进行统一的计算，由于加密了条件，因而增加了计算展望的可靠性。二、扣除区组因素的系统效应

在第一章第三节的二硝基苯肼L8(27)试验中，假设试验的结果在两台性能可能不一致的仪器上试验。为了排除仪器差异的干扰，安排方案时，可把化验仪器G这个区组因素安放到〕表中没有因素的第7列上。两个水平分别是：水平1——仪器甲，水平2——仪器乙，如表3－40所示。按照表3－40的安排，每台仪器所化验的试验号如下：仪器甲——第2、3、6、7号试验仪器亿——第1、4、5、8号试验这样化验，由于正交表的整齐可比性，因而在比较其他每种因素各个水平的效果时，就能防止仪器的系统误差所带来的干扰。可是，在每号试验的结果中，却包含有这区组因素所用水平的系统误差。为了能直接比较每号试验中其他各种因素的配合条件，需要算出它们的真正结果。为此目的，应当扣除区组因素所用水平的系统误差。下面提出系统误差的计算方法。第i个水平的系统误差＝第i个水平的平均结果—全体试验号的总平均结果＝第i个水平的试验结果〔或平均结果〕之和/第i个水平的使用次数－全体试验号结果的总和/全体实验号的总数。试验号12345678折算产率58.162.951.945.165.157.939.944.1说明：〔1〕如果区组因素不止一种，但不超过空列的数目。那么，每种区组因素可以顺次安排在一个空列上。这样安排，能够算出每种因素每个水平的系统误差。除去水平所在试验号不同以外，计算系统误差的步骤是一样的。〔2〕假设区组因素的数目多于空列的数目〔至少有一个空列〕，这时可采用本章第三节〔三〕组合因素的方法，把几种不同的区组因素合并成一种复合的区组因素，放到一个空列上，共同使用这一列。例如在上例中，假设有化验仪器和操作人员两种区组因素，仪器分甲、乙两台，操作人员是王、郑二人。但只有第7列一个空列。复合的区组因素可以安排如下：水平1——仪器甲、王先生；水平2——仪器乙、郑先生。同时放在第7列上。这样做只能算出组合水平的联合系统误差，算不出仪器和操作人。§3－8正交表的构造1.根本术语不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存在和构造至今还是一个未解决的数学问题。Lｔu(tq)型表是一类特殊的正交表,其中:t——表示水平数。它限定为某数(即除1和它自己以外,不能被任何其他数整除的大于1的正整数。如2、3、5、7、11、13、…等)或系数幂(如22、32、23、…等)。u——表示根本数列,可为任意正整数。q——表示总列数。t、u为根本参数,当t、u给定后,那么试验次数为tu次,列数为q=(tu-1)/(t-1)一般常用的正交表,如L4(23)、L16(215)、L9(34)L16(45)、L25(56)等属于此类型,其根本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)。2.正交表的同等变换正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的(或同构的)。可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式的表。二水平正交表的构造1.二水平运算法那么构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域,大致说就是对有限个元素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算)。我们用0和1表示二水平记号,这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定义为:＜a加法法那么:0+0=00+1=11+1=0＜b乘法法那么:0×0=00×1=01×1=1用这种规那么定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。构造正交表时,将用到上面加法和乘法法那么。以后但凡讲到加法和乘法都指这种有限域中的加法和乘法而言。2.正交表与交互作用列表的构造(1)L4(23)的构造L4(23)表是二水平中最小的一个表。它的两个根本参数是t=2、u=2,列数q=(4-1)/(2-1)=3。第一列是将4个试验分成两半,前一半是“0〞水平,后一半是“1〞水平,称为二分列。第二列是将第一列的两个“0〞水平试验和两个“1〞水平试验分别再分成一个“0〞水平和1个“1〞水平,称为四分列。二分列和四分列称为L4(23)的根本列第三列是将第一列与第二列的相应水平,按“加法规那么〞相加所得如表1所示。表-1L4(23)表的构造

1231000+0=12010+1=13101+0=14111+1=0

列号abab列号试验号构造交互作用列表时,一般引进“列名〞和“列名运算规那么〞来进行。用a、b分别一记L4(23)的两个根本列,称a为第1列的列号,b为第二列的列名。第3列是由第1列和第2列相加得到的,它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘得到的列名的运算规那么是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给出的规那么进行。二列交互作用列为其列名相乘。如第1,2两列的交互作用列为a·b=ab,即第三列;第1、3列的交互作用列为a·ab=a1+1·b=a0·b=b列,即第二列。由此可见,当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算得到。(2)L8(27)的构造L8(27)的参数为t=2、u=3,它有三个根本列,分别置于第1、2、4列,如表2所示。第1列是:二分列,列名为a,这列8个试验被分成两半。第2列的列名为b,是一个四分列。第四列的列名为C,是8分列。其他4列通过列间运算才能得到。表－4L8(27)表的构造

12345671000+0=000+0=00+0=00+0=02000+0=010+1=10+1=10+1=13010+1=100+0=01+0=11+0=14010+1=110+1=11+1=01+1=05101+0=101+0=10+0=01+0=16101+0=111+1=00+1=11+1=07111+1=001+0=11+0=10+0=08111+1=011+1=01+1=00+1=1列号试验号将列名列成表,它就是L8(27)的一组完备列名表如下:列号1234567列名ababcacbcabc可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通过列名运算得到。如1、7两列的交互作用a·abc=a2bc=bc列,即第6列。因此,可根据列名运算构造交互作用表(如表3所示)供直接查用。表-3L8(27)交互作用表

1234567列号

(1)3254761(2)167452(3)16543(4)1234(5)325(6)16(7)7〔2〕L２u(2q)型正交表与交互作用列表的构造根据上面的方法,可以类似地构造任意根本列数为u的二水平正交表L２u(2q)和交互作用列表。<a根本列的构造在L２u(2q)的正交表中,有u个根本列,分别置于第1列,第2列,第4列,…,第2u-1列上,根本列的列名分别用字母a、b、c…来表示。＜b交互作用列表的构造