数列中的数表、数阵问题

1120.51abc你能否求出这张表的所有数字之和？东莞市2005-2006学年度第一学期教学质量检查1.在下面表格中，每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a=___；b+c=___.数列中的有关数阵、数表问题22.在如图所式的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a+b+c的值为____.120.51abca=，b=，c=，a+b+c=343.在杨辉三角中，斜线AB上方一斜行的前n个数字和那么S(n)=1+3+6+…=________.1

11

2

11

3

3

11

4

6

4

1…………BAS(n)=1+3+6+10+…=1+(1+2)+(1+2+3)+…(1+2+…+n)=[(12+1)+(22+2)+(32+3)+…+(n2+n)]34.把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表:第k行有2k－1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A(t，s)，则A(8，17)=_____.5.给出数表:①

前m行共有几个数？②第m行的第一个数和最后一个数各是多少？③求第m行的各数之和；④数100是第几行的第几个数？第14行的第9个数.4解第20行最左边的数为192+1=362，第20行共有

2×20－1=39个连续的自然数，它们的和是

6.观察下面的数阵,容易看出,第n行最右边的数是n2,那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?

12345678910111213141516171819202122232425

………………或362×39+×39×38×1=14859.5135715131191719212331292725……………25157.将正奇数按如下规律填在5列的数表中：那么2007排在该表的第行，第列．(行是从上往下数，列是从左往右数)解:

仔细观察可发现第1列偶数行是以15为首项，16为公差的等差数列，所以通项公式可写为an=8n－1，其中n取正偶数，当n=250时，a250=1999，数下来在第250行上有：第二个数开始分别为2001，2003，2005，所以2007排在该表的第251行，第5列．4143454733353739……………200520032001199907第251行68.将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826………………那么2006在第____行，第____列.25147解:由不完全归纳法知，全行都为1的是第2n－1行;∵n=6，∴26－1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是

.2n－1第1行

11第2行

101第3行

1111第4行

10001第5行

110011…32第6行1010101第7行

11111111…………810.

用n个不同的实数a1，a2，…，an可得n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行，ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3，…，n!，用1，2，3可成数阵如右图，由于数阵中每一列个数之和都是12，所以，b1+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24，那么在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120=()A.－3600B.1800C.－1080D.－720123132213231312321C略解:1，2，3，4，5的全排列数为120，每个数字各用24次，所以每一列个数之和都是360，用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120=360×(－1+2－3+4－5)=－1080.9

11.将给定的25个数排成如以下图所示的数表，假设每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a33＝1，那么表中所有数之和为___.?2006年深圳市高三年级第一次调研考试?a33=1a11a25a15a14a13a12a22a23a24a32a34a35a21a41a31a42a43a44a45a51a52a53a54a555a315a325a335a345a35a31+a35=2a33=2a32+a34=2a33=2a31+a32+a33+a34+a35=5表中所有数之和为5(a31+a32+a33+a34

+a35)=2525细心观察10个正数排成8行8列，如以下图所示，在符号aij(1≤i≤8，1≤j≤8)中，i表示该数所在的行数,j表示该数所在的列数，每一行的数都成等差数列，而每一列的数都成等比数列(每列公比都相等).(1)求aij的通项公式；(2)记第k行各项和为Ak，求Ak的值及Ak的通项公式；(3)假设Ak<1，求k的值.a11

a12a13a14…a18a21a22a23

a24

…a28a31

a32

a33a34…a38………………a81a82a83a84…a88解

(1)设第一行公差为d，各列的公比为为q.

故a24

=a14q=(a11+3d)q=1，

a32

=a12q=(a11+

d)q2=

解得，11从而aij

=a1jqi－1=[a11+(j－1)d]qi－1=j·()i(2)A1=a11+a12+a13+

…+a18=(0.5+4)×4=18.a11

a12a13a14…a18a21a22a23

a24

…a28a31

a32

a33a34…a38………………a81a82a83a84…a88Ak=ak1+ak2+ak3+

…+ak8

=(a11+a12+a13+

…+a18)qk－1=18×(0.5)k－1=36×(0.5)k.(3)因为Ak<1，所以

36×(0.5)k<1，36<2k，

有k≥6，又k≤8，故k的值是6，7，8.乘风破浪，勇往直前！1213.下表给出一个“等差数阵〞：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式；(3)求2021在等差数阵中所在的位置.47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………

………

…

…

…ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………1013493i+13j+117225i+2(2)aij=(3i+1)+(j－1)(2i+1)=i+j+2ij.13学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．解:(1)按第一行依次可读出：a13=10，a14=13，a15=16；按第一列依次可读出：a23=17，a24=22，a25=27；最后按第5列就可读出：a35=38，a45=49．(2)因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是:a1j=4+3(j－1)；

而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式是:a2j=7+5(j－1)；

通过递推易知，第i行是首项为4+3(i－1)，公差为2i+1的等差数列，故有aij=4+3(i－1)+(2i+1)(j－1)=i(2j+1)+j=i+j+2ij.

(3)2021在等差数阵中所在的位置为14.把正奇数{2n－1}中的数按上小下大、左小右大的原那么排成如下的三角形数表：设aij(i，j∈N＋)是位于这个三角形的数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数.假设amn=2005，求m，n的值；1357911………∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中第项，故第m行最后一个数应当是解:

∵三角形的数表中前m行共有:

1+2+3+…+m=m(m+1)个数,

15因此使amn=2005的m是m2+m－1≥2005的最小正整数解，由m2+m－1≥2005得m2+m－2006≥0，于是第45行第一个数442+44－1+2=1981，m=45.1616.设数列{an}的前n项和为Sn，令称Tn为数列a1，a2，……，an，的“理想数”，已知数列a1，a2，……，a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，……，a500的“理想数”为()A.2002B.2004 C.2006 D.2008

A15.已知命题:若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n，m，n∈N+)，则现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N+)为等比数列，且bm=a，bn=b(m≠n，m，n∈N+)，若类比上述结论，则可得到bm+n=______.1717.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一〞如(1101)2表示二进制的数,将它转换成十进制的形1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是()A.29－2B.28－1C.28－2D.27－1(11111111)2=1×27+1×26+1×25…+1×20=28－1.B变:电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_____.十进制12345678…二进制110111001011101111000…1818.如图，第n个图形由第n+2边形“扩展〞而来的.记第n个图形的顶点数为an(nN*)，那么an=．(n+2)(n+3)19.给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，……，那么这个数列的一个通项公式是