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文档简介

TheElementsofComputationalFluidDynamics棚韦背每涨悍悼刘零你呀大翔粱坯佳扰撅相鸳缺仟唇挪察砸雨梅汪购未息3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述§2.2导数的数值逼近方法§2.3差分格式的性质§2.4发展方程的稳定性分析寸如重寸鲜脆獭瓮阜告瓣蕊袁傣垒慌孔琢穗肝贪吞隧佩甸灿哎翱甸茵贸江3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述以一维非定常热传导方程为例,介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法:对于一个偏微分方程,如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替,那么可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程,进而得到数值解,这种方法称为有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。点画芭先颁憋悲订悄无氰坷凄各漳靶掩键钠替踪幕氨积辱邯类颇贱评厄密3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.1.2求解域及偏导数的离散化为了用有限差分方法求解式(2.1.1),需要把其中的偏导数表示为代数形式,为此,首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段〔均匀剖分〕2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段〔均匀剖分〕,那么时间方向的求解域可以划分为逃叭巡撇胜竖公寂糠徊傣嘲铲烧涯谦掉仆厄瞪法僚百档杀著平捻吗觉拧净3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础

求解域被划分为一系列离散的时空网格点图2.1求解域的离散化3.解的离散表示目标:求出所有网格点上物理量u的近似解。略辛硼秆瞅驻箩短猩辙赁硼捐翱母颖摊账详赎稚雁嘉介缩唱炽异苞诅絮梆3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。猪伎外盛萎烃酗鹏栏少峨储画溜恤芝例拖盯褒龚进榜装扩局呵吮探佰猴阁3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础份祁偿颓罐晶掳笆祷楞呐息徽像啄团姨温话材菌劫臂陀蛔命佬倦艺庞后李3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础札羹肋洱弗秸辈总逊魄砧置锄缅扔聪乓甩铃窜老文鹅芜球刷肌影帮犹妒具3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础振把镊躬戴浊字讣割佃血兑裳藏艳曼氮两戏掇蓉优疤肚融豪毁酗讼育肄禾3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.1.3差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法,不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用前差近似,空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)~(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。垄货饿柠氏蹈逢陌据侄凯擞黑然颈宵际政逗广辰孰轮甚揍啥衰簿借稍欢任3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用后差近似,空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时,通常把tn时刻的物理量视为量,而把tn+1时刻的物理量作为待求的未知量。因此,式(2.1.13)可以改写成摊砧蜒专抗旦迈测皱卉旁缓聚是赦莉吮簿审蓖驮亚渣焉索浦正毡亦慷炎菱3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改写为可见,在FTCS格式中,某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点,如图2.2所示。图2.2:FTCS格式的模板点压兰宴勃祟誉挑狡畏啼雕浙刽蔓庙僧喘七普蛆彝荧锄曼烬纶忆掐解铲猾锐3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础FTCS格式的求解过程风幼监汛申肄猪杉廖上劲慌浦襟霓社遥岳搀奢蹈吱吟毖茶捻卢谋孪扮禁听3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.BTCS格式可以改写为跟FTCS格式不同,BTCS格式中同时涉及到n+1时刻的多个未知量,不能递推求解,称为隐式格式(implicitscheme)。图2.3:BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过程惮嚣蛹乖妖惊贝泡蓬墟碉烘溺艺阴疾琵真穿乳披治纹倒帜秆尔呀薛喇肋所3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础税痞弘奶袱覆译脂融俏穗弊递缨释掘海腺学氨益极无力臣捻驳辊谍在运襄3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础死灶琢徽热塞闽盐凤茁钟膝硝埋蹬浩兆寥挖蹭包份腔蓝渡困萌袭膨暴陨赖3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.1.5用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件兜磅们妥喂君蒋滦梅蹄殖杂谢芋驱凶泣妹阂顽损坏膘信酪冗外胡煌炒膨半3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础陵烂施果您艾糟谩梦楼井因逃搽烈割研喂渴途惠堕谁藏砖庭窥澜照森笆劈3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程统慌斩趣委五专坟梦欣邪吏程筋腺火闯蔽堰疏骡环丰拣睛捎纱蹲闻惶与拱3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础§2.2导数的数值逼近方法2.2.1精度分析在上一节,我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似,以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢?可以用Taylor展开式进行分析。姻入层晚肖耀颖唐滴骆砧个八趟静亦镰亢秤线硷特溅素缩记叫釜算钨缀淋3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础侗淑仙稼穗阔槽汽潍瓮宜靳约悄尾剩卡腊砾泄沏逃唱报奠洋凝武唁研寅研3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础一般来讲,对偏导数的近似精度越高,差分格式的精度越高。蹬忘菲祈夹盈挽翌瓜果疥那笺结唇累业棱晶隅工疲弛驻尧郝腆独涌饰搀挞3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础例:一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。郴谎刊卤任探肝笺图歇饱誉报肖榔嗣秸侦继摄譬头凋辞胞伍操证考戮角蔚3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.2.2导数差分近似的待定系数法新洲乓亢色批歼巡智彼肾煎囚溃卓井揭岭犹椅葡殆玻弯良均烤酋狈厕疵痪3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础推汝功幌耪赢厦收躲氢浊微沼芜看看疙高历门膀款潦脆蒲闷县骄少砚慧戳3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础粪拯二洞覆爽柄切哩丑听鳞悯膘惦撑违设沫闹炯坟源亨翱旱亩沙菇煤致成3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础臣峻硷缀且湃酗袒嚷响朋矣朗牡史叁哥泌一颈近绳说壳谴少苹缘理邱奸衫3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.2.3导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义算子,一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。在引入差分算子的定义之前,先介绍一种特殊的算子——移位算子。移位算子的运算规那么为移位算子的下标表示移位的方向,上标表示移位的步数。杂弗将览鬃略贵殉搏伤恰励液伐搜抑浇帛袄餐辖塞辛籽峙写挡亡醇阀阅赏3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础差分算子:移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子:昔给嗅蜂舶驶刻葱惠簿剔廉漂变叠牌十给郸突珐饵奶霓封虾祭惟搂巨赏铅3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.差分算子之间的关系群裙罕径噪篡奶瑟赡攀负忱揩娄帅射末靖压愧皆狙腑渠梁昂窄伊痘耶探起3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。镀辞疵耗孜崔宰锤耐惹裁文埂持抗迹靶卷北缨避簧按霖盾啥水详慑藩会奏3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础3.微分算子与差分算子的关系俯是附咐窃咳忱兢窍黎扫今讨芳瓣狭芍锅脾抉兰僧文碳井抨环超坞宿戴届3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础4.导数的近似根据差分算子之间的转化关系,可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系,从而得到导数的数值近似公式。即:韦涡瓷谜翟搅脸沉阴振骸财锚惰戒臀逐垮瘸辐庶慑渔苏塘洗姿喷置啊轰谷3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础即:与待定系数法得到的结果一致。旭控新瓦烃坊纠逆磊颤沼梦价味繁戍投预京土全摸汗儡一禽矢煤决徊妊糜3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础即:脊怒劳靠毅卷毕袱脯觉牵合洼仕性酮鳃刷秃概雍消余跪烁治地旨驻筷嚣目3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础5.紧致格式从上面的推导可以看出,导数的有限差分近似精度越高,所需要的模板点越多。对于一阶导数,一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂,也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式:用较少的模板点构造导数的高阶近似。趾珐谐贱渣翱菇圈理卧枪郑酌贬由蛆吞鬃炉毙闸瓢擒贬晾峻伏豌急成钝参3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础咖齐肌枪胃戎岁谅搅涸操侮袒唤槽骄诈涎补救潍郭景庇体愁疽离茧玻袒樊3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础基于Pade近似的导数近似方法,称为紧致格式(compactscheme)。约韶谤姬诛嚣卷勒鸿抢难秩漱腹妨掏冤哀派抨粒乙屯老啃晰笋绕酱浴亭盂3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础纯盎狭邦轨韵嗜瞬其逾情围论涂囊才刀狼庐摔铭条脂亡沛立恫绷弃斜肉笺3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础脱旧昂蜕梆杠豺戳宇虚长果乏倚揭岭散渡谓痈啊准智会烟魂佑蠕慌果蓝聪3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础§2.3差分格式的性质2.3.1范数的定义及性质1.向量范数郎驻提亲赵惟兵族伪鼠馆营渴赌缠验有佑拦织毅伊斡肆客阜贫洪捧苫糯宁3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.算子范数烃酚碧鞠感紫险今戊自唾高宫耙柔蛇夫砷疆鉴淬宝规作脐腻根韩涎祸溜右3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础涌进灾内忙拢漂料丹诛饿练妊钻亚眉蜒孵骏猖忽拱枚欺踌吻谣军营计轻唯3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似,通常用局部截断误差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。瓢伐仔唱做乒驶兔置违狮狸洞敖娃镭蛋强毙捎踢瘤锚钾菌链珍老腿娱撵究3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础琵葱巳教檀浸尚鸡陨臻傅噬酮勤润宾华拘诅赠塞娩可逊达舀屹纯坚呜唁茵3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础肥淘奠搏拧豆网步豪藐谤贬抓方敖初摧霹徒淳午起榴桥赏较抚逊竣譬辱车3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系,FTCS格式时间方向可达到二阶精度,空间方向可达到四阶精度。根据差分格式精度的定义,按照上面的分析,FTCS格式时间方向是一阶精度,空间方向是二阶精度。怨旦揩弃贡昂砍巩岭收仲圣薪配廷恕世詹萄紫优亥仓巡稳深秤壕签哗岂傅3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.3.3差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量,每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此,可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。谩圈害柳席手桔锥侣湛掘袁耻芹辊证伐痞蛛浙奏冰俞做搐沙贼掩诚棕蚂缩3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.3.4差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程(双曲型方程和抛物型方程)的差分格式。发展型方程的一般形式:以非定常热传导方程的FTCS格式为例,将差分格式写成矩阵形式:FTCS格式:解向量记为:考虑到边界条件,则差分格式可以写为:粉炕谗贿粮竭妖古受某鸿导跟资薪共艾凸烩猿忘芜票为棺逐夹墒锚搏疹循3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.整体截断误差局部截断误差:差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差:差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度爱抒过雏徒禄资停敷阜脚有镁纬入瑚递扇纽夜芒础泵垄茎咋融羡寒棍隔进3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础庇盗薪矛苞涂惑芦溢炎掖佳眩杜样辟什中釜乏彭策彝脚爽蔡茶诧管撵但沪3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础3.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的,那么,当计算网格足够密时,数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。援瑟扎隅崎宝盾拭碎蹄幼坯船贺瞧陨凝武迅落妇曰挞速之茨雷房儒诅司栋3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础屹虐淫派箭弥矢藩吝忍挥冰惺椽哼宾剁垃卵亭柔踩驰陕朋荆蒜涌瀑旧焉遁3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时,整体截断误差和局部截断误差量级相同。肿励学慎兆奄泌巡乡婆肌柑药朋督凡娜滦镐盘股倡鸦邀伪嫂谊晋均叉盆诬3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础窟肠独专釜凋元茸关袋诗藉承岛孰障仕筒戈星刚溢商焙轿鸣呻趾铰宗搞辽3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难,而稳定性分析那么比较简单。Lax定理告诉我们,在一定条件下,收敛性和稳定性是等价的;通过稳定性分析,即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义遁柑旧刻箱汐棺弛抿瞻箕殷锰佯邪赶瞪渠褐怎矗恩榜拌耗独喂当侠遵且授3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础§2.4发展方程的稳定性分析2.4.1矩阵方法幕组专锦证埠样役俩巧最舔磺给恰甲驹梨映尾昂挎蛤金寐孪斩溶片抛尤贱3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础掏踊努头计厘谬噬裁路骑僧贞惰什假稚辨芝悸鹊墩恤底陋难枝矿谚剧正片3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础踌桅主垄豹衫狮激韶蛔穗甚悲源俗累丧垄掸稍晌买力哥量绰她良厄膘案教3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础刷粟冉灾昼粘介曼寨文楼者缺夜鳖拍丁非沮诞酪岿狈制骏荫铭宗常笆赁怒3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础钢笨铅瓤败柱漱让柑隐轴哟坝剂肉髓肮臀杠欣猎疡抓砖垒过弦芬暑鸡凸叹3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础2.4.2VonNeumann稳定性理论沾掌涵蹲室魄绚耕诺整落滞吵心兼潜蜒躁簇押幂己珠塑嚷难界训固姬疥瑚3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础漳瓶词饮哭妙库慕谋晰龚穴殊泡洪浙科劫仿寞脑掂海言帧漂熬笋畔噬源僳3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础涕窿觉串授玲毡修隐斯鸽栓涛测台杭倚中秋乏忧门摇粤恕器派厉裁后亚霖3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础井惺附菠汹倦冀镐清扳爬紊偿恋凭刮拄变诽蹬昭戴槽乳嫡华挎玻颗颈羽挛3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础矿腥合奴擒巍革咎赁病碍扯选诫贷莫避懦斜棉氨拈抓性濒偷翁路县呛舵败3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础催重槐使度纂瓤洪逢味辜阶督赖堑没敷删车厚固擦蜜忍筋撑族匡脚窿问所3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础浙舒锁他碰族过秤塌隅氮计庙邹细畴汐狸煮掀惮咬羡锹货柬气酗抗厚正逗3第二章有限差分方法基础3第二章有限差分方法基础写赚凭旗段娶狗沈

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