2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷含解析)

2015年一般高等学校招生全国一致考试数学文试题（湖南卷，含分析）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1、已知(1i)2=1+i（i为虚数单位），则复数z=()zA、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i【答案】D【分析】试题分析：.由题依据所给复数式子进行化简即可获得复数z的代数式；由题(1i)21i,z(1i)22i2i(1i)1i，应选D.z1i1i2考点：复数的运算2、在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为上的运动员人数为( )A、3B、4

1~35

号，再用系统抽样方法从中抽取C、5D

7人，则此中成绩在区间、6

[139,151]【答案】

B考点：茎叶图3、设

x

R，则“x>1”是“

x2>1”的（

）A、充分不用要条件C、充要条件

D

B

、必需不充分条件、既不充分也不用要条件【答案】

C【分析】试题分析：.由题依据明日的关系进行发现即可获得所给两个明日的关系；由题易知“x>1”可以推得“x2>1”，“x2>1”可以获得“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”的充要条件，应选C.考点：命题与条件xy14、若变量x、y满足拘束条件yx1，则z=2x-y的最小值为()x1A、-1B、0C、1D、2【答案】A考点：简单的线性规划5、执行如图2所示的程序框图，假如输入n=3，中输入的S=( )A、6B、3C、8D、47799【答案】B考点：程序框图6、若双曲线x2y21的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为a2b2A、7B、5C、4D、53433【答案】D【分析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，获得a、b关系式，而后求出双曲线的离心率即可．由于双曲线x2y21的一条渐近线经过点（3，-4），3b2216a）2c5．a2b24a，9（cae，a=3应选D.考点：双曲线的简单性质7、若实数a，b满足A、2B

12)aab，则ab的最小值为(b、2C、22D、4【答案】C考点：基本不等式8、设函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），则f（x）是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【分析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函数是奇函数．f'x111，已知在（0,1）上f'x0，所以f(x)在(0,1)上单调递加，应选A.x1x1x21考点：利用导数研究函数的性质9、已知点A,B,C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则PAPBPC的最大值为A、6B、7C、8D、9【答案】B【分析】试题分析：由题依据所给条件不难获得该圆x2y21是一AC位直径的圆，而后依据所给条件联合向量的几何关系不难获得PAPBPC2POPB4PB，易知当B为（-1，0）时获得最大值.由题意，AC为直径，所以PAPBPC2POPB4PB,已知B为（-1，0）时，4PB获得最大值7，应选B.考点：直线与圆的地点关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件资料的利用率为（资料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A、8B、8C、24(21)2D、8(21)2927【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11、已知会集U=1,2,3,4，A=1,3,B=1,3,4,则A(eUB)=_____.【答案】{1，2，3}.考点：会集的运算12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为_____.【答案】x2（y21）1【分析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C的极坐标方程为

2sn，22sn，它的直角坐标方程为x2y22y，x2（y22（y21）1．故答案为：x1）1．考点：圆的极坐标方程13.若直线3x-4y+5=0与圆x2y2r2r0订交于A,B两点，且AOB120o（O为坐标原点），则r=_____.【答案】【分析】试题分析：直线3x-4y+5=0与圆x2y22＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°r（r的等腰三角形，极点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为1r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方2程，解方程可得答案．如图直线3x-4y+5=0与圆x2y22r（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为1r，51r，r=2.故答案为2.232422考点：直线与圆的地点关系14、若函数

f（x）=|

2x-2|-b

有两个零点，则实数

b的取值范围是

_____.【答案】

0＜b＜2考点：函数零点15、已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则=_____.【答案】2考点：三角函数图像与性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买必定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，不然不中奖。I）用球的标号列出全部可能的摸出结果；II）有人以为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原由。【答案】（I）{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2},(II)说法不正确；【分析】试题分析：（I）利用列举法列出全部可能的结果即可；(II)在（I）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可获得其对应的概率，什么镇江概率大于不中奖概率是错误的；试题分析：（I）全部可能的摸出结果是：{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2},（II）不正确，原由以下：由（I）知，全部可能的摸出结果共12种，此中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种，所以中奖的概率为41，不中奖的概率为1121，故123333这类说法不正确。考点：概率统计17.（本小题满分12分）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abtanA。（I）证明：sinBcosA；(II)若sinCsinAcosB3，且B为锐角，求A,B,C。4【答案】（I）略；(II)A30,B120,C30.【分析】试题分析：（I）由题依据正弦定理联合所给已知条件可得sinAsinAcosA；(II)依据cosA，所以sinBsinB两角和公式化简所给条件可得sinCsinAcosBcosAsinB3，可得sin2B3，联合所给角B的范44围可得角B,从而可得角A,由三角形内角和可得角C.试题分析：（I）由abtanA及正弦定理，得sinAasinA，所以sinBcosA。cosAbsinB（II）由于sinCsinAcosBsin[180(AB)]sinAcosBsin(AB)sinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinBcosAsinB34有（Ｉ）知sinBcosA，所以sin2B3，又Ｂ为钝角，所以sinB3，423故B120，由cosAsinB知A30，从而C180(AB)30，2综上所述，A30,B120,C30,考点：正弦定理及其运用18.（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。（I）证明：平面AEF平面B1BCC1；（II）若直线1与平面11所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积。ACAABB【答案】（I）略；

(II)

6

.12【分析】试题分析：（I）第一证明

AE

BB1，AE

BC，获得

AE

平面

B1BCC1，利用面面垂直的判断与性质定理可得平面

AEF

平面

B1BCC1；

(II)

设AB的中点为

D,证明直线

CA1D直线

A1C与平面

A1ABB1所成的角，由题设知

CA1D

45

，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积

.试题分析：（I）如图，由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以

AE

BB1，又

E是正三角形

ABC

的边

BC的中点，所以

AE

BC，所以

AE

平面

B1BCC1，而

AE

平面

AEF，所以平面

AEF

平面

B1BCC1。（II

）设

AB的中点为

D，连接

A1D,CD

，由于

ABC是正三角形，所以

CD

AB，又三棱柱

ABC

A1B1C1是直三棱柱，所以

CD

AA1，所以

CD

平面

A1AB1B，于是

CA1D直线

A1C与平面

A1ABB1所成的角，由题设知CA1D45，所以A1DCD3AB3，3在RtAA1D中，AA1A1D2AD2312，所以FC1AA1222故三棱锥FAEC的体积V1SAECFC1326。332212考点：柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判断与性质19.（本小题满分13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,a22，且an13SnSn13,(nN*)，（I）证明：an23an；（II）求Sn。3n2N*)(5321),(n2k1,k【答案】（I）略；(II)Sn23nN*)(321),(n2k,k2【分析】试题分析：（I）当nN*,n2时，由题可得an23SnSn13,(nN*)，an13Sn1Sn3,(nN*)，两式子相减可得an2an13anan1，即an23an,(n2)，而后考据当n=1时，命题建马上可；(II)经过求解数列{an}的奇数项与偶数项的和即可获得其对应前n项和的通项公式.试题分析：（I）由条件，对任意nN*，有an23SnSn13,(nN*)，因此对任意nN*,n2，有an13Sn1Sn3,(nN*)，两式相减，得an2an13anan1，即an23an,(n2)，又a11,a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对全部nN*，an23an。（II）由（I）知，anan23，于是数列{a}是首项a11，公比为3的等比数列，数列{a}0，所以2nan2n1是首项a12，公比为3的等比数列，所以a2n13n1,a2n23n1，于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(13n1)2(133n1)3(133n1)3(3n1)32从而S2n1S2na2n3(3n1)n13n21)，2232(533(5n2N*)321),(n2k1,k综上所述，Sn2。3n2k,kN*)(321),(n2考点：数列递推关系、数列乞降2220.（本小题满分13分）已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆C2:y2x21ab(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为26，过点F的直线l与C1订交于A,B两点，与C2订交于C,D两点，且AC与BD同向。（I）求C2的方程；（II）若ACBD，求直线l的斜率。【答案】（I）y2x21；(II)6.984【分析】试题分析：（I）由题经过F的坐标为(0,1)，由于F也是椭圆C2的一个焦点，可得a2b21，依据C1与C2的公共弦长为26，C1与C2都关于y轴对称可得961，而后获得对应曲线方程即可；(II)设4a2b2A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),依据ACBD，可得(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2，设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可获得结果.试题分析：（I）由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1)，由于F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21①；又C1与C2的公共弦长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为C1:x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(6,3)，961②，24a2b2联立①②得a29,b28，故C2的方程为y2x21。98（II）如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因AC与BD同向，且ACBD，所以ACBD，从而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2③设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，ykx14kx40，由x1,x2是这个方程的两根，x1x24k,x1x24④由得x2x24yykx1由x2y2得(98k2)x216kx640，而x3,x4是这个方程的两根，891x3x416k,x3x464，⑤98k298k2将④、⑤代入③，得16(k21)162k3464。即16(k21)1629(k21)(98k2)298k2(98k2)2所以(98k2)2169，解得k6，即直线l的斜率为644考点：直线与圆锥曲线的地点关系；椭圆的性质21.（本小题满分13分）函数f(x)ae2cosx(x[0,)，记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点。（I）证明：数列{f(xn)}是等比数列；（II）若对全部nN*,xnf(xn)恒建立，求a的取值范围。【答案】（I）略；(II)[2e2,)4【分析】试题分析：（I）由题()2xcos()，令，求出函数的极值点，依据等比数列fxaex4f(x)0n3t4定义即可获得结果；(II)由题问题等价于2e恒建立问题，设g(t)e(t0)，而后运用导数an3t4知识获得[g(xn)]minmin[g(x1),g(x2)]min[g(4),g(5)