硕士生现代信号处理 波形估计

硕士生现代信号处理波形估计3.1维纳滤波引言1.信号环境：观测信号为 ：平稳随机序列； ：为加性平稳随机噪声或干扰。2.要解决的问题：由观测数据估计出波形。3.解决思路：设计滤波器，将作为输入，使滤波器的输出逼近。3.1维纳滤波2.根本概念i)条件： 与的功率谱或自相关函数。ii)约束条件： 滤波器是线性的。iii)设计准那么：设估计值为，误差为 使最小的线性滤波器称为维纳(Wiener)滤波器，它在最小均方误差的意义上是最优的，故又称LMMSE(LinearMinimumMeanSquareError)滤波器或线性最优滤波器。3.1维纳滤波3.维纳滤波器的几中典型应用i)滤波：

是因果系统，用n时刻及以前的数据来估计n时刻的信号。该应用一般称为滤波。ii)平滑：用过去及未来的全部数据来估计n时刻的信号值。该应用一般称为平滑。iii)预测：用n时刻及其以前的P个数据来估计n+M时刻的信号。该应用一般称为P阶M步线性预测。 3.1维纳滤波3.正交方程称为正交方程。它表示当线性滤波器满足MMSE准那么时，任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据〔滤波器输入〕正交。3.1维纳滤波4.维纳-霍夫〔Wiener-Hopf〕方程的定义

与的互相关函数：的自相关函数：称为维纳-霍夫方程。当已知和时，解方程可得到维纳滤波器的冲激响应。3.1维纳滤波5.FIR维纳滤波器的求解冲激响应矢量：输入信号矢量：维纳滤波器输出：期望信号：d(n)=s(n)

3.1维纳滤波维纳滤波的几何解释

表示向量在张成的空间上的投影。维纳滤波器的输出是期望信号在输入信号子空间上的投影。误差信号与输入信号正交。3.1维纳滤波6.IIR维纳滤波非因果IIR维纳滤波器

因果IIR维纳滤波求解方法略。3.1维纳滤波7.几点注解在所有N阶FIR滤波器中，维纳滤波器均方误差最小。维纳滤波器的阶数越高，它的最小均方误差越小。设计维纳滤波器，需期望信号d(n)，并需计算Rxx(m)与Rdx(m)。IIR维纳滤波器比FIR维纳滤波器使用了更多的关于信息，因而具有更小的MSE。同理，非因果IIR那么比因果IIR具有更小的MSE。3.2卡尔曼滤波1.卡尔曼滤波的根本思想基于观测信号，利用递推计算的方法得到对某待估计量的MMSE估计。将估计模型分解为相对独立的两局部：一局部反映待估计量本身的变化，用状态方程加以描述；另一局部反映观测信号与待估计量之间的关系，用观测方程加以描述。3.2卡尔曼滤波2.卡尔曼滤波的信号模型i)状态方程M×1向量表示待估计量在n时刻的状态向量，是不可观测的；M×M矩阵F(n+1,n)称为状态转移矩阵，它描述待估计量从n时刻到n+1时刻的状态转移，是的；3.2卡尔曼滤波M×1向量u(n)称为鼓励噪声,其自相关矩阵为Q(n)；F(n+1,n)与u(n)由待估计量的特性决定。3.2卡尔曼滤波ii)观测方程 假设观测系统是线性的，那么观测方程为N×1向量x(n)表示在n时刻的观测向量；N×M矩阵C(n)称为的观测矩阵；N×1向量v(n)为观测噪声向量,其自相关矩阵为R(n)。3.2卡尔曼滤波iii)信号模型框图 z-1C(n)

由状态转移方程描述。由观测方程描述。

待估计量

观测信号3.2卡尔曼滤波iv)几个假设通常假定和都是加性白噪声：称为鼓励噪声协方差矩阵；

称为观测噪声协方差矩阵；3.2卡尔曼滤波鼓励噪声与观测噪声不相关，即

3.2卡尔曼滤波v)Kalman滤波的目标 利用观测向量x(1),x(2),…x(n)来得到对状态向量的MMSE估计。如果i=n，称为Kalman估计；如果i>n，称为预测；如果0<i<n，称为平滑。4.6Kalman自适应滤波vi)一个卡尔曼估计模型的例子：问题:(航天器姿态角速度瞬时估计)对航天器的姿态角度进行观测，观测采样时间间隔为T，得到一系列观测值x(n)。利用这些观测值估计航天器的角速度。4.6Kalman自适应滤波变量定义设卫星在n时刻的姿态角为；n时刻的转动角速度为〔的一阶微分〕;角加速度为〔的一阶微分〕;设A(n)为系统喷气所产生的加速度〔〕，u(n)为外力干扰产生的加速度。4.6Kalman自适应滤波状态方程：滚动姿态的角度方程为滚动姿态的角速度方程为：角加速度方程为：4.6Kalman自适应滤波定义状态向量 即为要估计的角速度。得到状态方程：

F(n,n-1)鼓励噪声4.6Kalman自适应滤波观测方程由于n时刻滚动姿态角的观测值为x(n)，可得v(n)为零均值、方差的白噪声〔观测噪声〕。

C(n)3.2卡尔曼滤波2.卡尔曼滤波算法流程〔以估计应用为背景〕设已经得到n-1时刻的估计值i)计算 根据可得对的预测为：

ii)计算 由观测方程得：

z-1

C(n)3.2卡尔曼滤波iii)计算预测误差表示中所含的未预测出的信息，称为新息〔innovation〕。

定义状态向量的一步预测误差：

z-1

C(n)3.2卡尔曼滤波iv)修正预测值 选择适当的对新息加权，作为对的修正。称为Kalman增益矩阵。v)信号流程图z-1G(n)C(n)

满足MMSE准那么的3.2卡尔曼滤波3.新息的性质i)与过去的观测向量正交，即ii)不同时刻的新息互相正交。iii)观测向量序列与新息向量序列一一对应。

上述性质说明：是具有白噪声性质的随机序列。包含在观测数据中的信息也存在于新息中，且新息在每一时刻都带来新的信息。3.2卡尔曼滤波4.增益矩阵的计算状态向量的估计误差在MMSE准那么下，增益矩阵应使最小，即z-1G(n)C(n)

当估计误差与新息正交时，均方误差最小。

3.2卡尔曼滤波

计算

其中，是估计误差的自相关矩阵。3.2卡尔曼滤波计算、和的计算是递归进行的。3.2卡尔曼滤波5.卡尔曼滤波算法总结条件：初始条件：，。信号流程图：z-1G(n)C(n)

3.2卡尔曼滤波算法流程：当，有①②③④⑤⑥n=n+1，重复①-⑤。3.2卡尔曼滤波6.几点说明i)根据,,,,及 的均值和方差，就可利用Kalman滤波算法估计状态向量。对信号的平稳性没有要求。ii)寻求一种在MMSE准那么下对估计量的递推计算方法，而不是象维纳滤波那样寻找滤波器的最正确响应。iii)因实际系统通常很难用状态方程和观测方程进行精确的描述，因此应用时会存在模型误差。该误差会给滤波带来不利影响，严重时将导致结果不收敛。3.2卡尔曼滤波7.例子 观测信号为,与为实离散平稳随机过程，其功率谱密度为：设,用Kalman滤波求。

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