因子分析共分散构造分析

因子分析と共分散構造分析狩野裕大阪大学人間科学部kano@hus.osaka-u.ac.jphttp://koko15.hus.osaka-u.ac.jp/~kano/research/tutorial.html日本行動計量学会春の合宿セミナー1998.3.28-30東京大学検見川セミナーハウス1998.4.2version1「春の合宿セミナー」紹介パンフより2本コースの構成準備：回帰分析因子分析編検証的因子分析探索的因子分析共分散構造分析編3因子分析と共分散構造分析

----準備：回帰分析----ＦａｃｔｏｒＡｎａｌｙｓｉｓandＣｏｖａｒｉａｎｃｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅＡｎａｌｙｓｉｓ4中古車価格のデータ5中古車価格

データの散布図行列6乗車年数と価格の散布図(r=-0.91)7走行距離と価格の散布図(r=-0.49)8中古車価格のデータの相関行列Ｓ9中古車価格の単回帰分析PRICE=α＋β×YEAR＋E1回帰係数10標準解（単回帰分析）

----分散をすべて１に標準化----標準回帰係数誤差分散の平方根11重回帰分析偏回帰係数独立変数間の共分散12標準解（重回帰分析）

----分散をすべて１に基準化----標準偏回帰係数独立変数間の相関13ＳＭＣ：事前共通性の推定値

（探索的因子分析）14死亡率と婚姻率は負に相関する？

----偏相関係数の考え方----15偏相関のパス図による表現16偏相関係数推定結果標準化しない解標準解偏共分散偏相関17ＰａｔｈＴｒａｃｉｎｇＲｕｌｅ

ｰｰｰｰパスをたどって共分散ｰｰｰｰ18因子分析と共分散構造分析狩野裕大阪大学人間科学部kano@hus.osaka-u.ac.jp日本行動計量学会春の合宿セミナー1998.3.28-30東京大学検見川セミナーハウス19因子分析編プログラム因子分析とは潜在変数による相関検証的因子分析(CFA)入力ファイル，適合度の指標探索的因子分析(EFA)因子数の選定推定方法因子回転CFAversusEFACFAは実行できるがEFAがだめな場合相互比較20潜在変数による相関

----コンセプト----観測変数潜在変数(共通因子)相関因果誤差変数21潜在変数による相関

----具体例----22データ23検証的因子分析ConfirmatoryFactorAnalysis（CFA）検証的因子分析24(検証的)因子分析とは

----文科的能力と数学的能力----25因子分析とは相関関係の背後に潜む構造を研究するための統計的分析方法相関関係を潜在変数（共通因子）で説明する潜在変数からの因果の結果として相関が生じるというモデル探索的因子分析と検証的因子分析データから構造を探る．．．区間推定構造に関する仮説をデータと照らし合わせて検証する．．．仮説検定26構造式で表す潜在変数の尺度は自由にとれる27分析結果の解釈因子負荷量は±１に近いほど因子の影響が大きい幾何の変動

＝F２の変動

＋幾何固有の変動因子負荷量パス係数独自性の平方根28分析結果の解釈F2の影響の方がやや大きい数学の中では「計算」と「代数」が，文科の中では「ｹﾞｰﾙ語」と「英語」への因子負荷が大きいF１とF2の相関は０.６因子負荷量パス係数独自性の平方根29適合度の吟味0.05以上であればOK1.000に近ければOK30入力ファイル

----SAS----31入力ファイル

----EQS----32検証的因子分析チャート33適合度の考え方ＳとΣ^の食い違いの程度で適合度を測る34推定・適合度の考え方ＳとΣ^の食い違いの程度で適合度を測る35いくつかの適合度の指標(1)ＳとΣ^の食い違いの程度で適合度を測る36いくつかの適合度の指標(2-1)独立モデルを導入するＳ現在のモデル独立モデルデータからの距離観測変数間に相関がないという最も制約的なモデル37いくつかの適合度の指標(2-2)独立モデルを導入する38いくつかの適合度の指標(3)モデルを比較するための指標39探索的因子分析ExploratoryFactorAnalysis（EFA）探索的因子分析40探索的因子分析（EFA）共通因子の数，共通因子が何を示すかが未知どの因子がどの変数に影響するかが分からない．41探索的因子分析の表現

----パス図より行列----42直交モデルと斜交モデル43探索的因子分析と検証的因子分析44行列での表現45因子モデルの表現46探索的因子分析チャート47探索的因子分析結果48因子数ｋの選定法

----以下の客観的ルールと解釈可能性を

考慮して総合的に判断する----Guttmanルール関連相関行列の固有値で値が１以上のものの個数（ＳＰＳＳ）相関行列の対角部分を事前共通性（多くはＳＭＣ）で置き換えた行列にもとづく方法Scree法相関行列の固有値プロットにもとづく方法適合度の吟味共通性の割合（累積寄与率）適合度検定，AICTucker-Lewisの指標49Guttmanルール関連相関行列Sの固有値で，値が１以上のものの個数（ＳＰＳＳ）相関行列Sの対角部分を事前共通性（多くの場合，ＳＭＣ）で置き換えた行列S*にもとづく方法S*の固有値で，値が０以上のものの個数S*の固有値の大きいものからの和が初めてtr(S*)[事前共通性の和]を超えたときの固有値番号（ＳＡＳ；prinit）DS*Dの固有値の大きいものからの和が初めてtr[DS*D]を超えたときの固有値番号．ここで，Dは独自性の平方根の逆数からなる対角行列（ＳＡＳ；ml）50６科目の例51SASの出力（最尤法ML）52SASの出力（反復主因子法prinit）53Scree法固有値プロットにおいて，固有値の減少量がなだらかになる直前の固有値番号を因子数とする54モデルの吟味共通性の吟味各変数の共通性共通因子が説明する割合（累積寄与率）適合度検定Tucker-Lewisの指標

55モデルの吟味（SAS）１因子モデル２因子モデル56種々の推定方法†多くの場合，PAFとULS同じ解を与える††モデルが適切であれば，ULSとMLは非常に近い解を与える57簡便因子抽出法PAF:PrincipalAxisFactoring58オススメの推定方法因子分析の初級者は（反復）主因子法質の良いデータでは推定結果は大きく違わない最尤法はsensitive過ぎて使いにくい因子分析の中級者以上は「反復主因子法＋最尤法」解析の初期では反復主因子法，その後，最尤法に移行する細かい解釈をするときは最尤解でないと不安がある．というのは，反復主因子法は反復が遅いため収束に不安があるから．モデルの適合に関する情報は最尤法でのみ出力される59推定方法の比較

（バリマックス回転）60最尤解（MLE）と主成分分析法（PCA）

（回転方法：バリマックス法）61最尤解（MLE）と反復主因子法（PAF）

（回転方法：バリマックス法）62因子回転の方法63オススメの因子回転の手順直交回転か斜交回転かを決める固有技術的観点から決定する．回転結果からは斜交・直交を定めにくい一般的に言って因子が直交していることは希である．また，今後の発展（検証的因子分析，共分散構造分析）のことを考えるならば斜交解直交回転ならば(基準化)VARIMAX法

斜交回転ならばＰＲＯＭＡＸ法

orＯＢＬＩＭＩＮ法をおこなう64オススメの因子回転の手順（続）思うような結果が得られないときの一つの解決法は，プロクラテス回転を行うことである「思うような結果が得られない」ということは因子に関する「仮説」があることが多い．それを活かす回転がプロクラテス法であるプロクラテス回転でもうまくいかないときは，「仮説」がデータにあっていないということだから，その他のどんな回転を用いても「仮説」にあう解は得られない問題点：プロクラテス回転はSASしかサポートしていない．SASでも斜交回転しかない．

前川（1997,262ページ)にSASで直交プロクラテス回転を行うIMLによるプログラムリストがある．65プロクラテス回転のSAS入力ファイル66因子回転の意味67データ（相関係数）から

Λ1とΛ2（orFとF’）

のどちらが良いかを決定できない68Λ1とΛ2の関係69FとGの関係70因子回転の意味71因子回転の数学的説明72なぜ因子回転が必要なのか原因：因子を定めるための情報が不足している処置：主観的に同定するしかない73たとえ話をすると

----真実はどっち----真剣に話しているのに私の気持ち笑って流すあなたは教師

（井本有希子17歳）学生百人一首より

（98/2/12朝日新聞）先生への恋慕の情先生への厳しい目74回転方法の比較

（最尤解MLE）75因子回転

初期解とバリマックス解76因子回転

バリマックス解と直接オブリミン解77探索的ｖｓ検証的ｏｒ

直交ｖｓ斜交78質の良いデータは何で解析しても同じような結果が得られるが．．．最終的には目的による因子に関する仮説がないとEFAしかできないCFAしかできない場合がある79検証的因子分析vs探索的因子分析それぞれの特徴検証的因子分析vs探索的因子分析80探索的因子分析できないが検証的因子分析可能な場合Ledermann

の限界：

識別性．．．．２つの観測変数にしか関わらない因子を抽出できない因子負荷に関するさまざまな仮定の検証多母集団・因子平均の解析．．．．今回は紹介しない81I．Ledermann

の限界：例１マルコフ（ワイナー）シンプレックスモデル註：本モデルでは多くの場合スケールファクターを入れる82Ledermannの限界：例１上記境界条件を満たさない83蛇足

----シンプレックス構造モデルでの解析----84Ledermannの限界：例２円環モデル註：円環モデルでは多くの場合スケールファクターを入れる85Ledermannの限界：例２（続）上記境界条件を満たさない86Ⅱ．識別性の問題

----探索的因子分析では，２つの観測変数にしか関わらない因子を抽出できない----X3を除いて探索的因子分析すると，以下のメッセージが出力され，プログラムが停止する[事前共通性はPRIORS=SMC．反復回数（ＭＬ，２：ＵＬＳ，３；ＰＲＩＮＩＴ；２８１）]ERROR:Communalitygreaterthan1.0事前共通性をPRIORS=ONEとし，反復主因子法（ＰＲＩＮＩＴ）で分析すると収束する（反復回数＝９）87さらに詳しく調べてみる88検証的因子分析では...89なぜ検証的分析でうまく解析できるのか２つの観測変数にしか関わらない潜在変数があっても，それが他の（潜在）変数と相関があれば解析できる因子負荷を０とおく事前情報が効いている90Ⅲ．因子負荷に関するさまざまな仮定の検証91探索的分析versus検証的分析因子数 潜在構造に関する仮説パス図 因子回転 モデルの評価

推定値の標準誤差 検定の多重性 恣意性扱えるモデル

探索的因子分析 検証的因子分析（共通性の高低） カイ２乗値，適合度指標カイ２乗値，適合度指標残差難しい 標準出力 罪は軽い 罪は重い 低い 高いやや狭い かなり広い未知 既知 なし，探索すべきもの あり，検証すべきもの分析後に描く 分析前に描く 必要 不必要 92まとめ因子分析は，観測変数間の相関関係を潜在変数である共通因子が説明するモデルである．検証的因子分析(EFA)・探索的因子分析(CFA)の互いのrelativeadvantageを良く理解して使い分けることが必要．モデルの評価は最終的には適合度でみる．因子分析モデルがデータに適合しないこともある．93参考文献芝祐順（1978）.因子分析法第２版．東京大学出版会柳井・繁桝・前川・市川(1990)因子分析---その理論と方法---朝倉書店豊田(1992)．ＳＡＳによる共分散構造分析．東京大学出版会前川（1994）．ＳＡＳによる多変量データの解析．東京大学出版会狩野（1997）

AMOSEQSLISRELによるグラフィカル多変量解析--目で見る共分散構造分析---現代数学社94因子分析と共分散構造分析狩野裕大阪大学人間科学部kano@hus.osaka-u.ac.jp日本行動計量学会春の合宿セミナー1998.3.28-30東京大学検見川セミナーハウス95共分散構造分析編プログラム共分散構造分析とは中古車価格の解析：パス解析標準解と標準化しない解効果の分解：間接・直接・総合効果自然食品店での購買行動の解析：多重指標分析共分散構造分析の典型的手順潜在変数導入の意義一つの実例簡単なまとめ96共分散構造分析とは直接観測できない潜在変数を導入し，潜在変数と観測変数との間の因果関係を同定することにより社会現象や自然現象を理解するための統計的アプローチ．基本的に非実験多変量データの分析方法で，因子分析と多重回帰分析(パス解析)の拡張．97潜在変数による相関98中古車価格のデータ

相関行列99中古車価格の共分散構造分析

----

パス解析モデル----100中古車価格の解析

----

標準解と適合度指標----101中古車価格の解析

----

不適切なモデルでは----102入力ファイル103標準解と普通の解

----コンセプト----標準解(standardizedsolution)：すべての変数の分散を１に標準化した解パス係数は相関係数（偏相関係数）になり，因果（影響）の強さを表す普通の解（標準化しない解）因果（影響）の大きさを表す104標準解と普通の解

----具体例----105効果（相関）の分解

----総合効果=直接効果＋間接効果----106効果（相関）の分解：標準解

----総合効果=直接効果＋間接効果----107効果（相関）の分解２：標準解

----総合効果=直接効果＋間接効果----註：YEARからSHEKENへのパスの実質的な意味はない．解説のための例題108効果（相関）の分解３：標準解

----総合効果=直接効果＋間接効果----註：YEARとSHEKENの相関の実質的な意味はない．解説のための例題109回帰分析の繰り返しとの比較モデルが適切なときには，推定値間に大きな差はないことが多い「回帰分析の繰返し」の欠点一部のデータで一部の母数を推定するので推定効率が落ちるモデルの良さがチェックできない独立変数間相関＝０などの情報が使えない110自然食品店での購買行動

----アンケートデータの解析----自然食品店での購買行動111潜在変数のある

共分散構造分析チャート112自然食品店での購買行動

----アンケートデータの解析----仮説を潜在変数で表す測定モデル：指標の作成113自然食品店での購買行動

----データの収集----X1:食品添加物に気を使うX2:栄養のバランスに気を使うX3:自然食料品店での購買額X4:自然食料品店での購買回数114解析結果

----多重指標モデル（標準解）----115自然食品店での購買行動

----不適切なモデルでは----116入力ファイル作成の要点推定方法のデフォルトは最尤法（ML）従属変数には方程式を作成独立変数には分散・共分散を設定潜在変数の尺度を固定する潜在変数からのパス係数を一つ１に固定独立潜在変数は分散を１に固定してもよい†矢印を１本も受けていない変数を独立変数，1本でも受けていれば従属変数となる117入力ファイル118潜在変数の導入の意義（心理学などでの）構成概念の数理モデル次元縮小誤差を伴ってしか測定できない状況測定道具（コスト）の問題低い相関の補正…..アンケートデータの相関はなぜ低いか119構成概念と次元縮小120誤差を伴ってしか測定できない----窒素含有量とトウモロコシの生産高----★単回帰モデルY=73.15+0.34X★変量内誤差モデルY=67.56+0.42F1121変量内誤差モデル★方程式Ｘ＝Ｆ１＋Ｅ１Ｙ＝＊Ｆ１＋Ｅ２122アンケートデータの相関はなぜ低いか

----被験者の信頼性が低い----123低い相関を補正する

----希薄化の修正----Fit?124方法因子を入れた解析

----誤差間相関と等式制約の応用----125共分散構造分析はなぜ難しいと言われるか？潜在変数に関する仮説が練られていない指標（観測変数）が適切でないモデル規定の自由度が大きいEFAでは因子数と回転の自由度のみモデルの適合度が上がらないEFAでは適合度の吟味をしていない．共通性を中心に観る傾向がある分散やパスを固定するといったテクニカルなことが多いEFAではデフォルトで共通因子の分散＝１を設定してある126指標（観測変数）の

収束・弁別妥当性（収束妥当性）

項目＝＞構成概念を予想（弁別妥当性）

構成概念＝＞項目を選択127一つの実例多母集団の解析と欠測値データ一つの実例128日経プリズム：企業評価システム129潜在変数に関する仮説このデータは限定100社程度しかない130日経PRISM：項目とモデル131多母集団による欠測値データの解析手順「評価」のデータがあるグループとないグループに分ける．2つの母集団間の対応するパス係数に等式制約を入れて推定する．132多母集団による欠測値データの解析例「評価」があるグループ「評価」がないグループ133因果と相関

----相関は因果の必要条件!----時間的先行性関連性の強さ直接的関係関連の一致性（普遍性consistency）関連の整合性（coherence）134簡単なまとめ

直接観測できない潜在変数を導入し，潜在変数と観測変数との間の因果関係を同定することにより社会現象や自然現象を理解するための統計的アプローチ．特徴データから因果関係に関する情報を得る．現象をシンプルに記述できる．柔軟なモデル構成，因果関係の修正，因果モデルの比較，希薄化の修正，多母集団の同時分析135参考図書豊田(1992)．ＳＡＳによる共分散構造分析．東京大学出版会．豊田＋前田＋柳井(1992)．原因をさぐる統計学．講談社ブルーバックス．Bollen(1989)．StructuralEquationswithLatentVariables，Wiley.狩野（1997）．Amos,Eqs,Lisrelによるグラフィカル多変量解析---目で見る共分散構造分析---．現代数学社．以下のURLに共分散構造分析に関する洋書が紹介されている：

/~joelwest/SEM/SEMBooks.html136ソフトウェア

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