围岩应力和位移的弹塑性分析

3.4围岩应力和位移的弹塑性分析

当围岩的二次应力状态可能超过围岩的抗压强度或是局部的剪应力超过岩体的抗剪强度，从而使该部分的岩体进入塑性状态。此时坑道或发生脆性破坏，或在坑道围岩的某一区域内形成塑性应力区，发生塑性剪切滑移或塑性流动，并迫使塑性变形的围岩向坑道内滑移。塑性区的围岩因变得松弛，其物理力学性质（c、值）也发生变化。1/12/20231限定讨论问题的条件侧压力系数＝1时，圆形坑道围岩的弹塑性二次应力场和位移场的解析公式。此时，荷载和洞室都呈轴对称分布，塑性区的范围也是圆形的，而且围岩中不产生拉应力。因此，要讨论的只有进入塑性状态的一种可能性。

1/12/20232需要解决的问题是确定形成塑性变形的塑性判据或破坏准则；确定塑性区的应力、应变状态；确定塑性区范围；弹性区内的应力。1/12/20233分析问题的思路①围岩的塑性判据；②塑性区内围岩的应力应满足塑性判据和平衡方程；③弹性区内围岩的应力应满足弹性条件和平衡方程；④在弹塑性边界上即满足弹性条件又满足塑性判据，且满足应力和位移的协调性1/12/202341.围岩的塑性判据摩尔-库仑条件作为塑性判据：其塑性条件是，可以在-平面上表示成一条直线，称为剪切强度线，它对σ轴的斜率为tgφ，在τ轴上的截距为c。摩尔-库仑条件的几何意义是：若岩体某截面上作用的法向应力和剪应力所绘成的应力圆与剪切强度线相切，则岩体将沿该平面发生滑移。

1/12/20235图3.4.1材料强度包络线及应力圆

最大主应力最小主应力Rc的表达式1/12/20236塑性判据：式（3.4.3）或式（3.4.4）式（3.4.5）1/12/20237当＝1时，坑道周边的

将该值代入式（3.4.3），即可得出隧道周边的岩体是否进入塑性状态的判据为:

1/12/20238实际上岩石在开挖后由于爆破、应力重分布等影响已被破坏，其c、值皆有变化。设以岩体的残余粘聚力cr和残余内摩擦角r表示改变后的岩体特性，则（3.4.3）式可写成式（3.4.6）的形式。1/12/202392.轴对称条件下围岩应力的弹塑性分析塑性区内单元体的受力状态1/12/202310（1）塑性区内的应力场塑性区内任一点的应力分量需满足平衡条件。对于轴对称问题，不考虑体积力，某一单元体极坐标平衡方程式（3.4.7）：1/12/202311在塑性区的边界上，除满足平衡方程外，还需满足塑性条件，应用式（3.4.5）的塑性判据，将式（3.4.5）中的σtp用σrp表示，代入上述平衡方程，经整理并积分后，得

1/12/202312当有支护时，支护与围岩边界上（r=r0）的应力即为支护阻力，即，则求出积分常数C；代入式（3.4.8）及式（3.4.9），并整理之，即得塑性区的应力式3.4.101/12/202313由式（3.4.10）中可知，围岩塑性区内的应力值与初始应力状态无关，仅与围岩的物理力学性质、开挖半径及支护提供的阻力有关。为什么？1/12/202314（2）弹性区内的应力场

在塑性区域以外的弹性区域内，其应力状态是由初始应力状态及塑性区边界上提供的径向应力σR0

决定的。令塑性区半径为R0，且塑性区与弹性区边界上应力协调，当r＝R0

时，对于弹性区，r≥R0

，相当于“开挖半径”为R0

，其周边作用有“支护阻力”σR0时，围岩内的应力及变形。1/12/202315弹性区内的应力状态（注意边界条件）1/12/202316可参照式（3.3.11），弹性区内的应力对比式（3.3.11）将两式相加消去σR0，得并应满足边界处塑性判据（式3.4.4）：1/12/202317即求得弹、塑性区边界上（

r＝R0

）的应力表达式。（式3.4.13）：该应力式与围岩的初应力状态σz、围岩本身的物理力学性质c、φ有关，而与支护阻力pa和开挖半径r0无关。1/12/202318（3）塑性区半径与支护阻力的关系将r＝R0代入式（3.4.10），求出R0处的应力，该应力应满足式（3.4.13）所示的塑性条件，可得塑性区半径R0与pa的关系：1/12/202319表达了在其围岩岩性特征参数已知时，径向支护阻力pa与塑性区大小之间的关系。该式说明，随着pa的增加，塑性区域相应减小。讨论1：径向支护阻力pa的存在限制了塑性区域的发展。

1/12/202320讨论2：若坑道开挖后不修筑衬砌，即径向支护阻力pa＝0时的极端情况下塑性区是最大的，式（3.4.16）（包含开挖半径和围岩参数的表达式）；1/12/202321讨论3：若想使塑性区域不形成，即r0＝R0时，就可以由式（3.4.15）求出不形成塑性区所需的支护阻力，式（3.4.17）；这就是维持坑道处于弹性应力场所需的最小支护阻力。对比式（3.4.13）1/12/202322它的大小仅与初始应力场及岩性指标有关，而与坑道尺寸无关。式（3.4.17）的pa实际上和弹塑性边界上的应力表达式（3.4.13）一致，说明支护阻力仅能改变塑性区的大小和塑性区内的应力，而不能改变弹塑性边界上的应力。1/12/202323确定松动区半径

松动区边界上的切向应力为初始应力，由式（3.4.10）：松动区半径

1/12/202324例3.4.1比较不同塑性区边界上应力的特点1/12/2023253.轴对称条件下围岩位移的弹塑性分析

假定塑性区内的岩体在小变形的情况下体积不变。则塑性区的围岩位移与弹性区位移表达式一样，比较（3.4.23）、（3.4.24）和式（3.3.13）。式23、24式（3.3.13）1/12/202326（1）径向位移与支护阻力的关系式如将含有支护阻力的塑性区半径R0的表达式（3.4.15）代入上式，即可得出洞室周边径向位移与支护阻力的关系式：式3.4.251/12/202327计算式或3.4.261/12/202328（2）洞室周边位移的影响因素由此可见，在形成塑性区后，①坑道周边位移不仅与岩体特性、坑道尺寸、初始应力场有关，还和支护阻力有关。②支护阻力随着洞周位移的增大而减小，若允许的位移较大，则需要的支护阻力变小。③而洞周位移的增大是和塑性区的增大相联系的。1/12/202329（3）洞周位移与支护阻力的关系曲线当围岩的二次应力场处于弹性状态时，可由式（3.3.13）给出。当二次应力形成塑性区时，可由式（3.4.25）或式（3.4.26）给出。2段的衔接点为洞室周边围岩不出现塑性区所需提供的最小支护阻力，由式（3.4.17）求出。1/12/202330围岩特征曲线弹性状态塑性状态极限位移对于的最小支护阻力1/12/202331当Pa＝σz时，洞壁径向位移ur0＝0。即全部荷载由支护结构来承受。当Pa＝0时，只要围岩不坍塌，就可以通过增大塑性区范围来取得自身的稳定，此时的洞周位移可以由式（3.4.24）求出将式中的r替换为r0（坑道周边）：且R0为无支护阻力时的塑性区半径。两端虚线的含义，洞周的极限位移1/12/202332围岩的特征曲线，亦称围岩的支护需求曲线。（P82）根据接触应力相等的原则，亦称为支护的荷载曲线。支护阻力的存在控制了坑道岩体的变形和位移，从而控制了岩体塑性区的发展和应力的变化，这就是支护结构的支护实质。同时由于支护阻力的存在也改善了周边岩体的承载条件，从而相应地提高了岩体的承载能力。

1/12/202333支护阻力对围岩应力场和位移场的影响（分弹性分析和塑性分析）？塑性区半径的影响因素？弹塑性边界上应力的特点？塑性区内的应力影响因素？洞周位移的影响因素？1/12/2023343.5围岩与支护结构的相互作用

1.围岩的支护需求曲线洞周位移与支护阻力的关系式（3.4.25或3.4.26）：1/12/2023352.支护结构的补给曲线（支护特性曲线）在一般情况下，支护结构的力学特性可表达为式中的K为支护阻力p与其位移u的比值，称之为支护结构的刚度，即1/12/202336支护结构特性曲线的物理概念在弹性范围内，结构的承载力与变形成正比，达到极限承载力后进入理想的塑性状态1/12/202337支护特性曲线是指作用在支护上的荷载与支护变形的关系曲线，支护结构所能提供的支护阻力随着支护结构的刚度而增大，所以这条曲线也称为“支护补给曲线”。1/12/202338式（3.5.5）：因为这里只考虑径向匀布压力，所以式中只包含支护结构受压（拉）刚度。若隧道周边的收敛不均匀，则支护结构的弯曲刚度就成为主要的了。若有初始位移，则为式（3.5.6）1/12/202339（1）混凝土或喷混凝土的支护特性曲线模筑混凝土（厚壁筒）薄壁筒（d≤0.04r0)（2）灌浆锚杆的特性曲线(与破坏形态有关）锚杆本身屈服锚杆与胶结材料脱离胶结材料与孔壁脱离（3）组合支护体系的特性

1/12/2023403.围岩与支护结构准静力平衡状态的建立

利用围岩的支护需求曲线和支护结构的支护补给曲线（或是收敛约束的概念），分析隧道围岩和支护结构在相互作用的过程中达到平衡状态。围岩与支护结构的相互作用1/12/202341支护结构特性曲线与围岩支护需求曲线交点处的横坐标为形成平衡体系时洞周发生的位移。交点纵坐标以下的部分为支护结构上承受的荷载，以上的部分由围岩来承担。1/12/202342对位移与支护结构相互作用图进行分析（1）不同刚度的支护结构与围岩达成平衡时的pa和ur0是不同的；（2）同样刚度的支护结构，架设的时间不同，最后达成平衡的状态也不同。1/12/202343塑性变形压力的计算（P96～97）塑性变形压力是按围岩与支护共同作用原理求出的，应用了洞壁上围岩与支护的应力和变形的协调条件。此外，亦可根据图3.5.5中围岩变形特性曲线与支护变形特性曲线的交点求出。

1/12/202344例题3.6.11/12/202345考虑支护前围岩洞壁已释放了的位移u0；即：带入式（3.4.26）（支护阻力与洞周位移的关系式），得式（3.6.6）：1/12/202346关键是u0的测定，与支护的施工条件有关，它可由实际量测、经验估算或计算方法确定。此外，需借助于支护阻力与结构刚度的关系，如薄壁筒或厚壁筒公式（3.3.16）：（3.6.7）联立式（3.6.6）与式（3.6.7）即可解出ur0和pa1/12/202347再由式（3.4.15）求出塑性区的半径。

则围岩弹性区（式3.4.11）、塑性区的应力（式：3.4.10）和位移均可求出。支护结构的应力和位移可由（P73）厚壁圆筒的公式（3.3.14）和式（3.3.15）给出。1/12/202348小结围岩应力和位移的弹塑性分析式3.4.10塑性区内的应力1/12/202349弹性区内的应力式3.4.111/12/202350弹塑性边界上的应力式3.4.131/12/202351塑性区半径与支护阻力的关系式（3.4.14）或（3.4.15）1/12/202352洞室周边径向位移与支护阻力的关系式式（3.4.25）或（3.4.26）1/12/202353考虑支护前围岩洞壁已释放了的位移u0得式（3.6.6）：1/12/202354借助于支