变量平稳性检验 计量经济学 EVIEWS建模课件

变量平稳性检验变量的平稳性决定了各期数据分布的一致性，所以在平稳时序中可以广泛的使用大数定律和中心极限定理。但是在非平稳时序中，由于各时期的分布是不同的，使得传统的估计、检验等方法不再有效了。为此需要我们判断时序的平稳性问题并做如下研究：一、非平稳统计量的分布模拟二、非平稳过程的统计特征三、时序非平稳性检验四、单位根检验的程序操作一、对非平稳序列统计量分布的试验观察㈠纯随机过程的分布实例设：ut

、vt

IN(0,1)；ut

、vt

I(0)。用随机函数每次分别生成T=150的相互独立的{ut}和{vt}，并计算相关系数ruv。重复该实验1万次，从而得到ruv的分布。见下图所示：

设：Xt=Xt-1+ut；

Yt=Yt-1+vt；X0=Y0=0；ut

、vt

IN(0,1)；ut

、vt

I(0)；则Xt

、Yt

I(1)。利用{ut}和{vt}，每次生成T=150的随机游走过程{Xt}和{Yt}，并计算rXY。重复该实验1万次，得到rXY的分布并非正态：

㈡一阶单整过程的分布实例续前例并设：pt=pt-1+Xt,p0=0,pt

I(2)；qt=qt-1+Yt,

q0=0,

qt

I(2)。利用{Xt}和{Yt}，每次生成T=150的二阶单整过程{pt}和{qt}，并计算rpq。重复该实验一万次，从而得到rpq的分布图如下：㈢二阶单整过程的分布实例通过上述三个图的观察，可知在变量非平稳时，r已不服从正态分布。而r的实际分布是服从倒U或U字型分布，这将在Ho:r=0的假设检验时，增加了拒绝的概率。即不相关的变量认为是相关的。比较三种试验与t分布有：⑴三条试验分布曲线叠加示意图⑵t(98)分布和虚假回归条件下的t分布图㈣非平稳产生的问题二、非平稳过程的统计特征㈠单整过程的统计特征利用AR(1)过程比较平稳与非平稳时序的特点：⒈随机游走过程的特点随机游走过程：Xt=Xt-1+ut其中：X0=0，ut

IN(0，u2)。特点有：⑴具有永久记忆性。即：Xt=Xt-2+ut-1+ut=…=∑1→tui⑵条件期望值Et(Xt＋s)＝Xt＋E(∑1→sut＋i)＝Xt；⑶随T的增加，方差变为无穷大。即：Var(Xt)=∑1→tVar(ui)=tu2；且与时间有关：∵Var(Xt-s)＝Var(u1+u2+…+ut-s)＝(t-s)σu2；即：Var(Xt)≠Var(Xt-s)，∴X非平稳。⑷自相关函数ACF随时间的延长而趋于1。求XT

和XT-k的自相关系数ACFk有：Cov(XT,XT-k)=E(XTXT-k)=E(∑1→Tui∑1→T-kui)=E(∑1→T-kui2)=(T-k)u2ACFk====可见当T→∞和k=0时，ACF→1。⒉平稳的AR⑴过程的特点对于AR(1)过程Yt=ρYt-1+vt；vt

IN(0,v2),ρ<1，Y0=0。有如下特点：⑴只有有限记忆性。即：Yt=vt+ρvt-1+ρ2vt-2=…=∑0→t-1ρjvt-i⑵方差为有限值。即：Var(Yt)=E(∑0→t-1ρjvt-i)2=v2/(1-ρ2)⑶ACF随时间的延长而趋于零。因为AR(1)过程的自相关函数公式是ACFk=ρk，且平稳的AR⑴中，ρ＜1，所以有随着k的增加ρk→0。随机游走过程平稳的一阶自回归过程方差tu2(无限的)u2/(1-ρ12)(有限的)自相关系数ACk=

1,

k,T

ACk=ρ1k穿越零均值点的期望时间无限的有限的记忆性永久的暂时的通过上述对比分析，非平稳的单整随机游走过程与平稳的一阶自回归过程有明显的差异。现总结如下表所示：随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较㈡维纳过程与单整过程的关系⒈标准维纳过程的定义标准Wiener过程一般用W(i)表示，可看作是在[0,1]区间内连续的随机游走过程，需满足以下条件：

⑴对于每个i0，有E[W(i)]=0。

⑵对于每个i0，W(i)都是正态分布的并且是非退化的。即：W(t)－W(s)～N(0，t-s)

⑶W(i)具有独立的增量。

⑷P{V(0)=0}=1。⑸i

0，i[0,1]。由标准维纳过程可以定义一般的维纳过程，即常称为布朗运动(Brownianmotion)过程。令：B(t)=σW(t)其中σ＞0；B(t)称为方差为σ2的维纳过程。这样对于任意的0≤s＜t≤1，有：B(t)－B(s)～N[0，σ2(t－s)]特别地，若令s＝0，t＝1，就有：B(1)～N(0,σ2)维纳过程B(t)和标准纳过程W(t)是对正态分布和标准正态分布的推广，它们具有连续函数和正态分布的良好性质，许多有关单位根过程的极限分布可以表示成维纳过程的泛函。⒉一般维纳过程⒊随机游走向维纳过程的转化随机游走是一个非平稳随机过程，它可由平稳的纯随机过程{ut}IN(0,1)来构造，其易变换为一个Wiener过程：定义：XT=∑ut,

X0=0,ut

IN(0,1)；由此可知：XT=XT-1+uT是一个随机游走过程，其转换为Wiener过程的条件如下：⑴期望值满足维纳过程的条件⑴，即该过程的E(XT)=E(∑ut)=0；⑵分布为正态满足维纳过程的条件⑵，当i=j时，E(uiuj)=1,当ij时,E(uiuj)=0，所以该过程的方差为：Var(XT)=E(XT

2)=E[()2]==T⑶因XT是一个I(1)过程，即在Xt–Xt-1=ut中，由ut的随机性决定该过程就是一个独立的增量过程，这又满足条件维纳过程的条件⑶。⑷据定义X0=0是确定的，有P{X0=0}=1。这就满足维纳过程的条件⑷。⑸只要将其时间区间[0,T]映射到固定区间[0,1]上,即把区间[0,1]分成T个小区间，分点为0,1/T,2/T,…1。满足Wiener过程的条件⑸。可见随机游走过程Vt很容易转化为了维纳过程W(i)。经标准化后的可定义为：VT(i)=,i[0,1]其中[Ti]表示Ti的整数部分。比如T=1000,i=0.0204,则[Ti]=[20.4]=20。VT(i)在以i为起点的区间内是一个常数，VT(i)是在泛函空间D[0,1]内定义的一个右连续的随机变量。随着T的增大,VT(i)在区间[0,1]内越来越密集。因为[0,1]是固定的,所以VT(i)变化的频度加大。当T→∞时，有：W(i),i[0,1]其中

表示依概率弱收敛于。因定义ut

IN(0,1)，W(i)表示泛函空间D[0,1]中的标准维纳过程,而W(i)称作方差为

2的维纳过程。㈢泛函中心极限定理简介设Xt是一列独立同分布的随机变量，对于所有t＝1,2,…，有E(X)=0，σ2＜∞；i为闭区间［0,1］的任意实数。给定样本X1,X2,…,XT，取前[Ti]部分样本做统计量：XT(r)＝T-1那么，当T→∞时，有：T1/2XT(r)＝T-1/2σW(i)＝B(i)这就是多斯科(Donsker)定理，即泛函中心极限定理。根据连续映射定理，若f(·)是泛函空间D[0,1]中的一连续函数，则当T→∞时,f(VT(i))f(W(i))。一般渐进理论与适用于非平稳过程的上述渐进理论的区别是对于前者样本矩收敛于一个常数，而对于后者标准化的样本矩收敛于一个随机变量。在推导非平稳随机过程的样本统计量的极限分布过程中，泛函中心极限定理代替了传统的中心极限定理。林德贝格-勒维中心极限定理是泛函中心定理的一个特例。即令i=1有：T1/2XT(1)＝T-1/2σW(1)~N(0,σ2)三、时序变量的非平稳性检验ARMA过程是平稳的理论，而现实的时序多为非平稳，所以我们要对其进行平稳性的检验，以达到如下目的:首先，它是单一时序ARMA判断的依据。非平稳时序肯定包含单积成份，即系统中的每一个单位根都要求进行一次差分才能平稳；第二，因数据的平稳性是回归分析的基本假设，所以在现实的回归模型中应避免直接使用非平稳变量，协整分析中的单位根检验就是为此所进行的。㈠DF分布DF分布是统计学家迪克(Dicky)和富勒(Fully)在1979年《美国统计学会月刊》第74卷中的“具有单位根的自相关时间序列估计量分布”一文中提出的。文中论证了单位根过程的T统计量不再具有t分布特征，并建议以服从DF分布的τ(读tau)统计量来替代T检验中的t统计量。用于检验序列是否含有单位根以及单整的阶数。其检验的基本形式是AR⑴过程，具体分析如下：⒈

AR⑴过程估计量的分布在AR⑴过程中，回归系数也是自相关系数，其OLS估计量：因已知Y0=0，所以：即有：

……(A式)b估计的一致性在(A式)的子项和母项的各项中都分别除以T，则可以证明分母服从Wiener过程的函数为：

子项也服从Wiener过程的函数，即：(W(1)2–1)则(A式)为一致性的估计量的证明为：PlimT(b-1)=Fuller(1976)用蒙特卡罗模拟方法得到T(b-1)和DF统计量的百分位数表。当=-1时DF的分布是=1时的DF分布的镜像，所以了解=1条件下DF的分布即可。对于经济问题，很少出现=-1的情形。所以我们使用蒙特卡罗模拟方法，以=1为条件，取样本容量T=200，模拟10000次得到的估计值b，T(b-1)和DF的分布情况，如下图所示：DF的蒙特卡罗试验如图所示，b、T(b-1)的分布都不是正态的，其峰值较零都小于1.6倍左右；⒊DF统计量的分布特点T(b-1)是检验单位根的一个常用统计量，即DF统计量。有三个结论如下：⑴由上式知b在Yt

平稳时，以速度T接近真值=1，所以称之为=1的超一致估计量。⑵T(b-1)的极限是标准维纳过程的函数。它不服从正态分布，也不服从t分布。W(1)2

2(1)，尽管上式分子的期望为零，但其分布是不对称的。P{(W(1)2–1)<0}=P{W(1)2<1}=0.68这表明，尽管=1，对于给定的样本，b的值将有0.68的概率小于1。⑶因为T(b-1)不服从t分布，所以假设检验时不能查t临界值表。而应该使用另一个统计量DF，DF统计量的表达式与通常意义的t统计量完全相同。由于此分布无法解析求解，一般都是用模拟计算进行研究。㈡AR(p)过程检验统计量的分布在AR(p)模型中，随机误差项非白噪声条件下，检验统计量的分布特征如下：因为AR(p)过程Yt=ρ1Yt-1+ρ2Yt-2+…+ρpYt-p+ut,当Yt中含有单位根时，可以通过如下模型研究=1条件下，检验用统计量DF的分布特征。Yt=Yt-1++ut其中：β＝∑i=1→pρ；j=1,2,…,p–1；i＝j+1,j+2,…p；ρj为自回归系数。为什么可以通过上式进行研究呢？解释如下：AR(p)过程可以用回归算子表示为：

ρ(B)Yt=ut

若Yt

中含有一个单位根，上式可以表达为：ρ(B)’(1–B)Yt=ρ(B)Yt=ut

其中ρ(B)’表示从p阶自回归算子ρ(B)中分离出因子(1–B)后所得的p–1阶自回归算子。可见对于Yt

，上式是一个p–1阶的自回归模型。下面以AR(4)过程为例，验证上述关系。因为：Yt=ρ1Yt-1+ρ2Yt-2+ρ3Yt-3+ρ4Yt-4+ut在AR(4)式的右侧同时加减若干相同项构成差分，然后合并同类项，有：Yt＝ρ1Yt-1+ρ2Yt-1+ρ3Yt-1+ρ4Yt-1-ρ2Yt-1+ρ2Yt-2－ρ3Yt-1+ρ3Yt-2－ρ4Yt-1+ρ4Yt-2－ρ3Yt-2+ρ3Yt-3－ρ4Yt-2+ρ4Yt-3－ρ4Yt-3+ρ4Yt-4+ut

＝(ρ1+ρ2+ρ3+ρ4)Yt-1–(ρ2+ρ3+ρ4)

Yt-1(ρ3＋ρ4)Yt-2+ut＝βYt-1－＋ut经实验观察，当模型AR(p)中含有位移项

和趋势项t时，对应

的DF统计量的分布与AR⑴

中DF统计量的分布相同。㈢其它分布的DF统计量现在进一步放宽对Yt的限制，即考虑AR(1)过程中允许随机项ut是一个ARMA(p,q)过程，甚至参数p,q的值也可未知。则可以根据平稳模型的可逆性，将其划为AR(p)过程，即用下式研究

和DF的分布：Yt=bYt-1+∑r△Yt-i＋vt若=1，上式是一个差分的AR(k)过程。加入Yt滞后项的目的是捕捉AR(1)中误差项ut中的自相关(ut的自相关项对于AR⑴模型来说是移动平均项，所以Yt

滞后项的加入可以捕捉之。)。因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对ut而言的移动平均项vt,t=1,…,q完全可以通过增加ut

的滞后项而吸收。进而被足够的Yt-i项所吸收。从而使vt近似为一个白噪声过程。Said-DickeY(1984)证明了上式中

的DF统计量的分布与(A式)中

的DF统计量的分布类似。当上式中加入位移项和趋势项t时，的DF分布分别与(A式)中的DF分布类似。Eviews所提供的单位根检验，是在序列的View中选择UnitRootTest的操作。界面如下：四、单位根检验的系统操作滞后期最大值用户自定义自动配置检验方法对如下数据进行单位根检验在检验方程中包括⑴检验方法的选择缺省状态是ADF检验，其他方法菜单如下：ADFDFPPKPSSERSNP(2)检验对象的选择：当前序列(Level)；还是其一次差分序列(1stdifference)；二次差分序列(2nddifference)；缺省状态是当前序列。(3)检验式中应包括的附加项。有三种选择，Intercept

(位移项)；TrendandIntercept

(趋势项和位移项＝漂移项)None(无附加项)。缺省状态是加位移项。(4)检验式中滞后期的选择①自动配置原则和最大滞后期的选择。如下图：②用户自己设置的，可直接定义滞后期。自动配置黙认为斯瓦茨准则赤池信息准则斯瓦茨信息准则寒楠-奎宁准则修正的赤池准则修正的斯瓦茨准则修正的寒奎准则㈠DF检验方法⒈检验方程的选择该检验适合于AR⑴过程，对于时间序列Yt可用如下自回归模型检验单位根。Yt=Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(A式)Yt=+Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(B式)Yt=+t+Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(C式)其中

称作位移项(漂移项)，t称为趋势项。⒉DF检验的零假设和备择假设H0：=1，(即Yt存在单位根是非平稳的)H1：<1，(Yt是平稳的)

从被择假设上看，DF检验是左单端检验。因为当≥1时，是较强的非平稳；而当<1时，则意味着Yt是平稳的。这样，在检验中如果否定了原假设，即为接受<1；而在拒绝了=1的同时，也自然就应该拒绝>1。⒊DF检验的统计量在零假设成立条件下，需要使用DF统计量进行单位根检验，它的计算方法与t统计量相同，即：其中：；因为在非平稳时序中的T统计量不再符合t分布，所以检验时不能使用t分布表中的临界值。⒋检验的临界值及判断标准查DF检验用表，以相应百分位数作为临界值，有:DF>临界值，则接受H0，Yt

非平稳DF<临界值，则拒绝H0，Yt是平稳的在DF检验用表有三类数据，a、b、c，分别对应着三类方程式A、B、C。⒌DF检验的常用形式*在原三种形式模型的两侧同减Yt-1，得：Yt=(-1)Yt-1+ut

(A式)Yt=μ

+

(-1)Yt-1+ut

(B式)Yt=μ

+

αt

+

(-1)Yt-1+ut

(C式)令=-1，代入上述各式，则有用于单位根检验的零假设和备择假设是：H0：=0，(Yt非平稳)H1：<0，(Yt平稳)这种变化并不影响DF统计量的值，所以检验规则仍然是:

若DF>临界值，则Yt是非平稳的；

若DF<临界值，则Yt是平稳的。如为了说明以上两种单位根检验方法的DF值相同，我们用同一组数据Yt得到的两个回归结果如下(括号内给出的是标准差)，YFt=0.1474Yt-1(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93YFt=-0.8526Yt-1+ut(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93在零假设是=1时，统计量的计算方法是：DF=(0.1474-1)÷0.1427=-5.97在零假设是=0时，统计量的计算方法是：DF=-0.8526÷0.1427＝－5.97两种方法的结果相同。因为-5.97<-1.95(临界值)，所以拒绝H0，认为Yt

是平稳的。EViews软件的DF检验结果如下：①在两种方式中Yt和Yt-1的下标分别为t和t-1，计算时不要用错！②在实际检验中，若H0不能被拒绝，说明Yt是非平稳序列(起码为一阶非平稳序列)。接下来应该继续检验Yt的平稳性。即

2Yt=

Yt-1+ut直至结论为平稳为止。从而获知Yt为几阶单整序列。③当模型AR(1)中含有位移项

和趋势项t时，检验用临界值应分别从DF临界值表的b,c部分查找。④AR⑴中的残差序列不能存在自相关。否则说明Yt不是一个AR(1)过程，则不能使用DF检验。即以上方法只适用于AR(1)过程的单位根检验。DF检验的注意事项由于DF检验时对序列Yt是否包含有位移项

和趋势项t是未知的；所以Perron(1988)提出了一个检验策略，程序如下：第一步，针对C式，使用DF统计量检验H0:ρ=0；如果拒绝原假设，即ρ≠0时过程是平稳，检验结束；如果不能否定原假设，即ρ=0时过程是非平稳的；而趋势是否起作用的检验需要进行第二步检验。第二步，针对C式，检验H0:α=0；不能否定原假设时，说明趋势项多余，需要进行第三步检验；如果否定原假设，即α≠0时，则需采用标准正态分布临界值表，检验H0:ρ=0。如果拒绝原假设，即ρ≠0时过程是平稳；否则ρ=0说明过程是非平稳，检验结束。⒍DF检验的策略第三步，针对B式，使用DF统计量检验H0:ρ=0；如果拒绝原假设，即ρ≠0时过程是平稳，检验结束；如果不能否定原假设，即ρ=0时过程是非平稳的；而常数项是否起作用的检验需要进入到第四步检验。第四步，针对B式，检验H0:μ=0；不能否定原假设时，说明漂移项多余，需要进行第五步检验；如果否定原假设，即μ≠0时，则需采用标准正态分布临界值表，检验H0:ρ=0。如果拒绝原假设，即ρ≠0时过程是平稳；否则ρ=0说明过程是非平稳，检验结束。第五步，针对A式，使用DF统计量检验H0:ρ=0；如果不能否定ρ=0，说明过程非平稳；如果否定了原假设，即ρ≠0时过程是平稳，检验结束。⒈ADF的检验式与假设形式当时序的三种基本形式A、B、C式的滞后期不只一阶存在时，应采用如下AR(p)形式检验单位根：Yt=μ＋αt＋βYt-1+∑r△Yt-i+vt因为上式中增加了Y的滞后期和Y的差分的滞后等项，所以称为增项(或增广)的DF检验，简记为ADF检验。该检验的原假设与DF检验相同，即Yt是非平稳的或具有单位根的：H0：=0=β-1㈡ADF检验⒈ADF的检验式与假设形式⒉ADF检验的滞后阶数的确定因为被检验序列的各类滞后阶数，即ARIMA(p,d,q)中的p、d、q是未知的，所以要确定序列生成过程的阶数，需注意如下两点：⑴Said和Dickey(1984)证明了任一的ARIMA(p,1,q)过程，都可以用一个ARIMA(n,1,0)过程来近似。所以有限的自回归阶数，就可以让移动平均的阶数为0。⑵对于自回归的阶数p采用如下原则：第一，p要尽量小，以保持更大的自由度；第二，p还要充分大，以消除vt内的自相关。可由低向高逐期试算，直至误差项不存在自相关时为止。1981年迪克和富勒又提出了三个F统计量F1、F2、F3，用于检验在DF和ADF检验回归式中是否要加入位移和趋势项。即：Fi=[(SSRr-SSRu)/r]÷[SSRu/(T-k)]其中：SSRr是受约束的残差平方和；SSRu是无约束的残差平方和；r是约束条件个数；T为样本容量；k为无约束模型中的待估计参数的个数。在各种约束成立的原假设下，以Fi>Fα(DF)来否定原假设；其中Fα(DF)为迪克和富勒计算出的临界值。⒊检验方程的A、B、C形式判断各种约束情况如下：F1是用来检查含有位移项的回归式：△Yt=μ+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其约束为：μ=0；β=1；即r=2。F2是用来检查含有位移项、趋势项的回归式：△Yt=μ+αt+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其约束为：μ=0；α=0；β=1；即r=3。F3是用来检查含有趋势项的回归式：△Yt=αt+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其约束为