可靠性工程-可靠性管理与试验30-498

可靠性工程课程

内容第一章绪论第二章可靠性数学基础第三章可靠性过程与参数第四章系统可靠性模型与分析第五章故障模式影响及危害度分析第六章可靠性设计与分配第七章可靠性管理与试验第八章Monte-Carlo方法1-1可靠性工程的发展1-2可靠性的重要意义1-3可靠性工程的范畴与理论基础1-4可靠性工程特点1-5可靠性工程工作内容第一章绪论20世纪40年代是可靠性工程的萌芽时期。早期可靠性的发展是在二战期间的德国开始的。WernherVonBraun所领导的小组研制V-1导弹，第一批十发导弹完全不可靠，全部在发射台上爆炸或落在英吉利海峡里了。1-1可靠性工程的发展一、萌芽期飞行器设计家RobertLusser被邀请加入研究团队，他当时提出：“一根链条的强度就是最薄弱环节的强度”。后来这个认识被否定了，因为没有考虑随机失效问题。RobertLusser19641-1可靠性工程的发展一、萌芽期表明在一个串联系统内，各个组件的可靠性必须比系统可靠性高很多。（对于安全问题来说，很多实际工程系统均可以被看作串联系统）∏==niisRR1这是最早提出的系统可靠性的基础理论，据此V1火箭的可靠度达到75%。由此，德国的V-1火箭是世界上第一个运用系统可靠性理论的航空飞行器。此后，RobertLusser提出了串联组件可靠性的相乘律：1-1可靠性工程的发展1943年美国成立了电子管研究委员会，专门研究电子管的可靠性问题。1949年美国无线电工程师学会成立了可靠性技术组——第一个可靠性专业学术组织。当时的努力集中在提高部件质量上，例如通用汽车公司电动分部通过使用更好的绝缘、高温试验、改进滚柱轴承等办法，将车辆驱动马达的使用寿命从25万英里延长到100万英里。当时，美国60%的机载电子设备运到远东后不能使用，50%的电子设备在储存期间就失效。美国海军有16～17万台电子设备，每年需更换100万个电子元件，其中电子管的更换率比其他元件高5倍。1-1可靠性工程的发展20世纪50年代是可靠性工程的形成时期。在朝鲜战争期间，美国防部发现各军种每年要花2$维护价值1$的电子设备，或者说，对于一台寿命为10年价值为100万美元的设备，在维护上却要花费2000万美元！军方、公司及学术界都卷入了可靠性的研究工作。1951年ARINC（AeronauticalRadio,Inc.航空无线电通信公司）开始了最早的可靠性改进计划。二、形成期1-1可靠性工程的发展1950年12月美国成立了“电子设备可靠性专门委员会”。1952年3月该委员会提出具有深远影响的建议：

从现场可以获得设备和元件失效率的数据；可靠的元件是可靠设备的基础；应该对设备和元件建立定量的可靠性要求；在产品批量生产前应进行可靠性试验和评估；建立永久性的可靠性委员会。1-1可靠性工程的发展二、形成期1952年8月美国国防部接受建议，成立了“电子设备可靠性顾问组”(AdvisoryGrouponReliabilityofElectronicEquipment，AGREE)。1955年AGREE开始实施从设计、试验、生产到交付、储存和使用的全面的可靠性发展计划，并于1957年6月发表了《军用电子设备可靠性》的研究报告。该报告明确了产品的可靠性是可以建立、分配和验证的，成为可靠性工程的构架。报告阐述了最低可接受可靠性水平、可靠性模型、可靠性分配、效益费用比、可靠性验证及储存运输可靠性等9个方面的问题。提出要制定可靠性大纲和加强可靠性教育。1-1可靠性工程的发展二、形成期该报告确定了美国可靠性工程的发展方向，成为可靠性发展的奠基性文件，标志着可靠性已经成为一门独立的学科，是可靠性工程发展的重要里程碑。1958年美国国防部成立“导弹可靠性特设委员会”，研究可靠性管理，包括起草、设计、研制及生产的可靠性管理大纲。次年，美国空军出版《弹道导弹及航天系统的可靠性大纲》、《航宇系统、分系统及设备的可靠性大纲要求》、《电子设备可靠性保证大纲》。期间对飞机电子分系统提出了MTBF最小为300小时的定量指标要求。1-1可靠性工程的发展二、形成期1-1可靠性工程的发展二、形成期苏联在20世纪50年代后期开始了寿命和可靠性的试验工作。1958年日本科学技术联盟成立了“可靠性研究委员会”，举办可靠性训练班。50年代初期，对于能造成系统失效的人为差错进行了初步的研究。最早对人的行为的定量估计之一是1952年在Sandia研究室进行的。所用办法是将每项任务中的人为差错率的估计值加以综合。20世纪60~70年代，是可靠性工程全面发展和步入成熟的阶段。美国在许多武器装备中推行可靠性工程，美军形成了一系列较完善的标准。上世纪60年代是宇航技术大发展的时代，对系统的可靠性提出了很高的要求，充分研究元件失效对所组成系统的影响。利用可靠性框图进行系统分析的方法得到了很大发展。随着系统的复杂性增加，可靠性框图愈来愈细，也愈来愈复杂，则出现了其他更加有效的方法。1961年贝尔电话研究室的H.A.Watson提出了故障树分析（FTA）方法，用于评估“民兵”导弹发射控制系统的可靠性和安全性。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期1962年，美国4个洲际导弹地下井基地发生了灾难性的事故，此后美国空军将系统安全性研究作为一项独立的任务加以执行。1966年，美国防部采用空军的标准，要求对所有的国防合同在系统研制阶段进行系统安全性分析。1969年国防部颁布了MIL-STD-882《对于系统、分系统及设备的系统安全性保障大纲的要求》的军用标准。（目前最新版本是20012年5月11日颁布的882E：“StandardPracticeforSystemSafety”）1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期AnOdyssey:MIL-STD-882SeriesMIL-STD-882–July1969MIL-STD-882A–June1977MIL-STD-882B–March1984MIL-STD-882B,Notice1–July1987MIL-STD-882C–Jan1993MIL-STD-882C,Notice1–Jan1996MIL-STD-882D–Feb2000MIL-STD-882E–May20121-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期60年代美国防部对各个硬件项目的可靠性、可用性和可维护性的并行要求逐渐形成，有：TIL-STD-471《可靠性/校核/验证/评估》TIL-STD-781《可靠性试验：指数分布》等标准。1969年3月28日，美国国防部发布MIL-STD-785A《系统和设备研制和生产的可靠性大纲》，指导可靠性工作。该大纲规定在项目结束时才对系统进行可靠性使用验证试验，根据试验期间出现的故障数量决定系统是否通过试验。早期，大多数项目未能通过其可靠性使用验证试验。60年代开始出现各种可靠性的书籍和刊物。1961年，PrenticeHall公司出版了IgorBazovsky的启蒙教科书《可靠性理论与实践》。到60年代末，至少又出版了15种有关书籍。RalphEvans博士领导发行了《IEEE可靠性会刊》；著名数学家如Birnbaum、Barlow、Proschan、Esary、Weibull等在发展可靠性和可维护性的通用高级统计方法的研究方面开辟了道路。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期60年代的重要发展还包括元件、系统和人为失效数据的积累和保存。1974年，美国原子能委员会主持完成的核电站风险评估《WASH-1400，反应堆安全性研究（TheReactorSafetyStudy）》成为可靠性工程和安全工程领域一项划时代的事件。NormanCarlRasmussen教授领导的小组花费数百万美元，分析了大量核事故，给出了发生概率大小的排序，对可能危及公众的后果进行了定量评估。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期这一阶段的主要表现有：改善可靠性管理，建立了可靠性研究中心。美国于1965年颁发了《系统与设备的可靠性大纲要求》，可靠性工程活动与传统的设计、研制和生产相结合，获得了较好的效益。罗姆航空发展中心组建了可靠性分析中心，从事与电子设备有关的电子与机电、机械件及电子系统的可靠性研究，包括可靠性预计、可靠性分配、可靠性试验、可靠性管理、可靠性数据采集、分析等。制定可靠性试验标准，发展可靠性试验方法。主要研究设计了统计试验方案及抽样方案，颁发了《失效率抽样方案和程序》、《可靠性试验，指数分布》（1967年修改为《可靠性设计鉴定试验及产品验收试验（指数分布）》）、《寿命和可靠性试验抽样程序和表格》等。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期发展可靠性预计技术，颁发可靠性预计手册标准。在收集了大量现场和试验的失效数据后于1962年颁发了《电子设备可靠性预计手册》，次年修改后作为飞机、导弹、卫星及电子设备研制各阶段可靠性定量预计的标准。建立了有效的数据系统。数据采集系统、可靠性数据中心、安全中心、相继在美国军队和科研机构建立，并且于1966年形成了全国数据交换网络。重视维修性研究。20世纪50年代，美国每年用于武器系统维修的费用90亿美元，占国防预算的1/4。罗姆航空发展中心在50年代末开始了3年的维修性研究计划，研究影响维修的因素、发展维修性验证和预计技术。1966年颁发了《维修性大纲要求》、《维修性鉴定、验证及评估》、《维修性预计》等标准。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期各国相继开展全面的可靠性工程研究。原苏联——20世纪60年代初，原苏联从技术上、组织上采取措施促进了可靠性工程的发展，1962年出版了较完善的教科书《可靠性及质量控制的统计方法》，建立了由总工程师领导的可靠性组织机构和有关的试验室，研究成果K-S统计检验法和马尔可夫过程为国际公认，采用余度技术、降额技术、提高原材料和专门电路等措施保证产品的可靠性，弥补了电子元器件的不足。他们大量引用了美国的可靠性军用标准。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期法国——法国的可靠性工程强调了集中管理，重视元器件的可靠性研究，成立了“电讯委员会”，以协调各部门对电子元器件的可靠性要求。建立中心验收试验系统，在电讯委员会监督下由制造商对批生产产品进行可靠性验收试验，以节省经费。1962年在国立电讯研究中心建立了可靠性中心，负责收集、综合、出版可靠性资料，收集、分析、处理及分配可靠性数据，研究可靠性试验方法。各国相继开展全面的可靠性工程研究。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期日本——日本从美国引进可靠性工程，把美国军事领域的可靠性研究成果应用到本国民用工业中，主要在企业中开展可靠性活动，重视对员工的可靠性培训，注意整机厂、元器件厂、销售部门及维修部门之间的合作，在20世纪60年代中成立了“日本电子元件可靠性中心，负责元器件可靠性数据的收集、分析，并且与国际交换。各国相继开展全面的可靠性工程研究。1-1可靠性工程的发展三、全面发展与成熟期20世纪80年代以来，可靠性向更广泛和更深入的方向发展，并以武器装备的效能为目标，将可靠性、维修性和保障性有机的综合在一起，形成可靠性系统工程。本阶段特点是：1.建立统一的可靠性管理机构。2.成立全国统一的可靠性数据交换网。3.改善可靠性设计和试验方法。更严格、更符合实际、更有效的设计和试验方法被采用。发展了失效物理研究和分析技术，如FMEA发展为FMECA。更加严格的降额设计。1-1可靠性工程的发展四、深入发展时期4.计算机辅助可靠性设计。罗姆航空发展中心开发了电子设备可靠性预计软件包，应用计算机进行精确的热分析。5.研究非电子设备的可靠性设计及试验技术。6.采用综合环境应力试验（温度、振动、湿度综合）。7.加强环境应力筛选试验。8.进行可靠性增长试验。9.开展了软件可靠性研究。1-1可靠性工程的发展四、深入发展时期引进早，引用较扎实，有活力。20世纪60年代初电子部成立了“中国电子产品可靠性与环境试验研究所”，进行了可靠性评估的开拓性工作。1965年在钱学森科学家的建议下7机部成立了可靠性质量管理研究所。航天产品采用严格筛选的“七专”元器件。20世纪70年代中因中日海缆需要，电子部开展了高可靠元器件验证试验，发展为加速寿命试验技术。自20世纪70年代后期始，不少大学举办了可靠性学习班培训在职人员，以后开设可靠性课程，招收本科生和研究生。1-1可靠性工程的发展五、我国发展情况1-1可靠性工程的发展五、我国发展情况自1984年起，组织制定、引进、颁发了可靠性和无限小标准，形成了比较完整的体系。军工企业开展了可靠性补课工作，进行产品可靠性增长工作，军方开展了可靠性评估和分析工作，电子部5所建立了可靠性数据中心。我国从20世纪80年代，才真正在武器装备中开展可靠性工程。我国有关标准制定情况：GB/T3187-1994《可靠性、维修性术语》（已作废，GB/T2900.13-2008《电工术语可信性与服务质量》）GB/T6993-86《系统和设备研制生产中的可靠性程序》GB/T14394-2008《计算机软件可靠性和可维护性管理》GB7828-87《可靠性设计评审》1-1可靠性工程的发展五、我国发展情况GJB450A-2004装备可靠性通用要求GJB451-90可靠性、维修性术语GJB368A-94装备维修性通用大纲GJB900-90系统安全性通用大纲GJB841-90故障报告、分析和纠正措施系统GJB813-90可靠性模型的建立与可靠性预计GJB1391-92故障模式、影响及危害性分析程序GJB/Z768A-98故障树分析指南GJB1407-92可靠性增长试验GJB2072-94维修性试验与评定GJB1686-93装备质量与可靠性信息管理要求GJB1391-92《故障模式、影响及危害性分析》该标准由国防科学技术工业委员会发布，规定了对产品进行故障模式、影响及危害性分析（FMECA）的要求和程序。该标准规定的故障模式及影响分析的基本方法是硬件法和功能法；规定的危害性分析的基本方法是定性分析法和定量分析法。主要是将分析结果填入FMEA表格和危害性分析表格，FMEA表格栏目主要有：代码、产品或功能、故障模式、任务阶段与工作方式、故障影响（分局部影响、高一层影响和最终影响）、故障检测方法和补偿措施等。1-1可靠性工程的发展五、我国发展情况GJB451-90《可靠性、维修性术语》本标准规定了有关可靠性、维修性的常用术语及其定义。标准适用于军用装备可靠性、维修性活动。术语包括基本概念、故障、维修、时间、可靠性维修性参数、可靠性维修性管理、可靠性维修性设计、可靠性维修性试验等方面。1-1可靠性工程的发展五、我国发展情况2008年12月2日，美国国防部宣布，负责采办、技术和后勤的国防部副部长约翰·杨批准了DoDI5000.2“防务采办系统的运行”的修订版。该版本于2008年12月8日正式生效，其内容的一个明显的变化是重新开始重视可靠性。作为一项重大复兴工作，在国防部采办过程中使“可靠性增长”和“可靠性最佳惯例”制度化并被纳入到文件的《附件2-程序》中。1-1可靠性工程的发展六、新的发展1-1可靠性工程的发展六、新的发展在《附件2-程序》中的技术开发阶段的“阶段补充要求”中增加了第5条规定：“所有项目的项目经理（PM）应制定一种可行的可靠性、可用性和维修性（RAM）策略，将可靠性增长计划作为设计和研制的一个有机组成部分。应将RAM综合到系统工程过程中，记录在项目的系统工程计划（SEP）和寿命周期持续保障计划（LCSP）中，并在技术评审、试验与评价（T&E）和项目保障评审（PSR）过程中加以评估。”世界上没有永恒的事物——1-2可靠性的重要意义可靠性工程的重要意义主要表现在三个方面：1.追求低风险的需要当今社会有许多庞大复杂系统，一旦某一个元件或某一个部件出现故障，就会造成整个工程失败，或有巨大经济损失，或发生灾难事故。所以可靠性问题特别突出，不专门进行可靠性研究是难于保证系统可靠性的。如美国的宇宙飞船阿波罗工程有700万只元器件和零件，参加人数达42万人，参予制造的厂家达1万5千多家，生产周期达数年之久。美国挑战者号航天飞机爆炸事故。1-2可靠性的重要意义可靠性工程的重要意义主要表现在三个方面：1-2可靠性的重要意义2.国民经济发展的需要现代科技迅速发展导致各个领域里的各种设备和产品不断朝着高性能、高可靠性方向发展，各种先进的设备和产品广泛应用于工农业、交通运输、科研、文教卫生等各个行业，设备的可靠性直接关系到人民群众的生活和国民经济建设。产品或设备的故障都会影响生产和造成巨大经济损失。特别是大型流程企业，有时因一台关键设备的故障导致工厂停产，其损失都是每天几十万元甚至几百万元。因此，从经济效益的来看，研究可靠性是很有意义的。研究与提高产品的可靠性是要付出一定代价的。从生产角度看，要增加产品的研制和生产的成本。但是，从使用角度看，由于产品可靠性提高了，就大大减少了使用费和维修费，同时还减少了产品寿命周期的成本。所以，从总体上看，研究可靠性是有经济效益的。3.国际政治声誉的需要从国际政治方面考虑，无论哪个国家，产品的先进性和可靠性对提高这个国家的国际地位、国际声誉及促进国际贸易发展都起很大的作用。总之，无论是从人民群众的生活、国民经济建设的需要出发，还是从国防、科研的需要出发，研究可靠性问题是具有深远的现实意义。1-2可靠性的重要意义可靠性工程的重要意义主要表现在三个方面：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。（产品可靠性定义的要素是三个“规定”：“规定条件”、“规定时间”、“规定功能”）。产品——指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统。可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明，例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。1-3可靠性工程的范畴与理论基础一、可靠性的基本概念可靠性的定义：规定条件——一般指的是使用条件和环境条件。包括应力、温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。规定时间——是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离，例如应力循环次数、汽车行驶里程。规定功能——要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。1-3可靠性工程的范畴与理论基础一、可靠性的基本概念当产品指的是某个螺栓，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。1-3可靠性工程的范畴与理论基础一、可靠性的基本概念1-3可靠性工程的范畴与理论基础一、可靠性的基本概念能力——是对可靠性的描述，定性描述比较抽象，为了衡量检验，必须加以定量描述。产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不能真正反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的统计处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。固有可靠性是通过设计、制造赋予产品的可靠性，产品的开发者可以控制；使用可靠性是在实际使用过程中表现出的可靠性，除固有可靠性的影响因素外，还要考虑安装、操作使用、维修保障等方面因素的影响。一般使用可靠性总低于固有可靠性。按照产品的寿命周期，可靠性可分为基本可靠性和任务可靠性。基本可靠性：产品在规定的条件下，无故障的持续时间或概率。在没有后勤保障情况下系统工作能力的度量考虑所有需要维修保障的故障采用冗余，会降低基本可靠性通常等于或低于任务可靠性任务可靠性：产品在规定的任务执行期内完成规定功能的能力。系统完成任务能力的度量只考虑引起任务失败的故障通过冗余提高任务可靠性通常高于基本可靠性1-3可靠性工程的范畴与理论基础一、可靠性的基本概念二、可靠性工程的内涵及外延1-3可靠性工程的范畴与理论基础系统失效（不可靠）三、可靠性工程的范畴1-3可靠性工程的范畴与理论基础系统/产品的可靠性要求或目标可靠性的设计分析建模、预计、FMEA、FTA风险分析等可靠性试验与评价环境应力筛选（ESS）可靠性增长试验等可靠性验证试验等可靠性信息（管理）可靠性管理四、可靠性工程理论基础1-3可靠性工程的范畴与理论基础交叉型学科可靠性的理论基础宏观：系统学、概率论、统计学微观：其他学科：材料学、力学等等应用理论系统工程可靠性设计分析技术可靠性试验技术可靠性评估技术可靠性信息管理可靠性管理1-4可靠性工程的特点全寿命综合性需求分析、设计、管理、试验、制造与使用围绕“故障”并行工程交叉型学科导致故障的原因：系统设计和结构、元件的可靠性；使用环境；制造缺陷；预防维修和计划维修等。可靠性工程涉及面积广，需要从科研、设计、试验、制造、运输、贮存直到使用和维护等方面进行研究，并完成实施的工作。可靠性基本理论

可靠性数学与故障物理学；

集合论与逻辑代数；概率论与数理统计；图论与随机过程；系统工程与人因工程学；环境工程学与环境应力分析；试验及分析基础理论。1-5可靠性工程工作内容1

可靠性设计

贮备设计和裕度设计；降额设计和构件概率设计；热设计、抗机械力设计；防潮、腐蚀、盐雾、尘设计；电磁兼容设计和抗辐射设计；电磁兼容设计和抗辐射设计；维修性设计和使用性设计；质量、体积、重量和经济指标综合设计。1-5可靠性工程工作内容2质量控制手段和方法

使用和维护规程制定；操作和维修人员培训；安全性设计；人--机匹配设计和环境设计。制造1-5可靠性工程工作内容可靠性试验

环境试验；寿命试验；筛选试验。34使用的可靠性保证5制定元件的可靠性；元件失效分析与可靠性评价；元器件及原材料的合理选择；元器件的老化筛选；元器件现场使用情况调查和反馈。1-5可靠性工程工作内容现场数据收集、分析、整理和反馈；试验数据处理和反馈；元器件失效率汇集和交换；各种可靠性信息搜集和交流；用户调查和反馈。可靠性信息6元件可靠性7可靠性预计与分配；失效模式效应与危害度分析；事件树分析法（ETA）；故障树分析法（FTA）；可靠性综合评估。1-5可靠性工程工作内容

举办各种可靠性学习班与讲座；内外培训和内外考察；专业技术会议；出版可靠性刊物、可靠性教材。系统可靠性8可靠性教育91-5可靠性工程工作内容建立可靠性管理机构和研究机构；制定可靠性管理纲要；制定产品可靠性管理规范；建立质量反馈制度；开展产品可靠性评审。基础标准；试验方法标准；认证标准；管理标准；设计标准；产品标准可靠性管理10可靠性标准11第二章可靠性数学基础2-1产品可靠性与随机事件概述2-2事件关系、集合与集合代数2-3可靠性计算的概率基础2-4随机变量的概率分布一、可靠性与随机试验2-1产品可靠性与随机事件概述可靠性：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。产品的失效或故障均具有偶然性，对能力的定量需用概率和数理统计的方法。产品是否可靠，取决于这样一个试验结果，即产品在规定的条件下和规定的时间内是否完成了规定的功能。这种试验为随机试验。随机试验是为了揭示随机现象的内在规律。客观世界中存在着两类现象：一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象。另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。一、可靠性与随机试验随机现象——事物结果的不确定性的表现，有三个特征：每次试验前不能预言出现什么结果；各次试验后出现的结果不止一个（不相同）；在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性——称之为统计规律性。对某事物特征进行观察，统称试验。若一个试验有如下三个特点，则称为随机试验，用E表示：可重复性：可在相同的条件下重复进行；可观察性：试验结果不止一个，但能预先明确所有的结果；随机性：进行一次试验前不能预知出现哪种结果。2-1产品可靠性与随机事件概述一、可靠性与随机试验由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。2-1产品可靠性与随机事件概述表1.1抛掷硬币试验一、可靠性与随机试验试验者抛硬币次数出现正面次数出现正面频率Lomanovskii8064039699BuffonDeMorganFellerPearsonPearson404040921000012000240002048204849796019120120.50690.50050.49790.50160.50050.49232-1产品可靠性与随机事件概述一、可靠性与随机试验2-1产品可靠性与随机事件概述上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。随机实验的例子E1：

将一枚硬币连抛三次，正反面出现的情况；E2：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；E3：记录一台电子仪器在1h内受到冲击的次数；E4：在一批开关中任取一只，测试其寿命；E5：测试调压阀在管道工作条件下的使用寿命。2-1产品可靠性与随机事件概述二、随机事件随机事件的定义：随机试验中任何可能出现的一种结果叫“随机事件”，简称“事件”。常用大写字母A、B、C等表示一个随机事件。举例：A=将一枚硬币连抛三次，全部为正面出现B=一台电子仪器在1h内受到冲击的次数不多于3次基本事件——随机试验的一个基本结果，或者说是随机试验的直接结果。每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件。2-1产品可靠性与随机事件概述二、随机事件复合事件——随机事件的若干基本事件所组成的事件。例如：A为基本事件

B为复合事件必然事件

——每次试验必然会发生的事件，记为。是由全体基本事件组成的复合事件。不可能事件

——每次试验必定不会发生的事件，记为。是不包含有任何基本事件的事件。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但是为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。2-1产品可靠性与随机事件概述二、随机事件随机事件的集合描述：样本空间——随机试验E所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为S

。样本点——样本空间的元素，即E

的直接结果，就是基本事件，常记为e，S={e}。集合描述便于对随机事件进行分析计算。样本空间的定义取决于所关心的特定问题E。2-1产品可靠性与随机事件概述二、随机事件因此有：随机事件——S的子集，记为A，B，…它是满足某些条件的样本点所组成的集合。基本事件——由一个样本点组成的单点集，也记为e。必然事件——在一项试验中，由样本空间所组成的事件。样本空间的概念是建立概率理论的基础，在应用概率理论时要仔细定义一个事件的样本空间，即仔细辨识所有可能事件的输出集合。2-1产品可靠性与随机事件概述（1）试验E1中（将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况），给出的随机事件有：A=“至少出现一个正面”B=“三次出现同一面”C=“恰好出现一次正面”试给出样本空间及其三个子集。解答：设硬币正面为H，反面为T。S

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；故:A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}；

B={HHH,TTT}

C={HTT,THT,TTH}二、随机事件例2-1：将下列事件表示为样本空间的子集。2-1产品可靠性与随机事件概述（2）试验

E4

中（在一批开关中任取一只，测试其寿命），随机事件D=“开关寿命超过1000小时”。设开关寿命为x，给出样本空间的子集。解答：D={x|1000<x<T（小时）}可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。注意：同样的随机现象，不同的随机试验，其样本空间一般不同，如与E1类似的随机试验：投一枚硬币3次，观察正面出现的次数该试验的样本空间为S={0,1,2,3}。例2-1二、随机事件2-1产品可靠性与随机事件概述还应注意：同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系。如试验E1，当试验的结果是HHH时，可以说事件A（至少出现一个正面）和B（三次出现同一面）同时发生了；但事件B和C（恰好出现一次正面）在任何情况下均不可能同时发生。事件之间的关系是由它们所包含的样本点所决定的，这种关系可用集合之间的关系来描述。二、随机事件例2-12-2事件关系、集合与集合代数一、事件集合一个随机现象可以用所有可能的结果来描述，则所有可能结果构成了样本空间S

。用S构造一个幂集ρ(S)，则ρ(S)是该随机现象的全部随机事件的集合。空集是ρ(S)的元，是不可能事件。S本身也是ρ(S)的元，是必然事件。若集合S是可列无限集合，一般来说，单元子集和相邻若干个可能结果构成的子集，是有实用价值的事件。若集合S是不可列无限集合，那么单元子集不能算做事件，而一个连续区段构成的子集可以作为一个事件。2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算集合运算的直观表示采用：文氏图(Venndiagram)A

随机事件的关系和运算可按集合的关系和运算进行。2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算1.事件的包含A包含于B，记为A

B，或B包含A，记为B⊃A。事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一个样本点一定也属于B。A的每一个成员都是B的成员，A是B的子集。

A

B

2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算2.事件的相等A等于B，记为A

=B

A

B且B

A事件的相等关系是包含关系的一种，A和B具有完全相同的成员。2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算3.事件的和（并）A

与B

的和事件，记作A∪B，或A+B。A∪B

发生事件A

与B

至少有一个发生。A∪BABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作：niAi1=∑2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算4.事件的积（交）A

与B

的积事件，记作A∩B，或A·B，AB。A∩B

发生事件A

与B

同时发生。A∩BABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An或∏niAi1=2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算5.事件的差A与B的差事件，记为A－B。A－B发生事件A发生而B不发生A-BABABA-B提问：何时A－B=Φ？何时A－B=A

？2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算6.事件的互斥（互不相容）A与B互斥，即AB＝φA，B不可能同时发生。WABn个事件A1,A2,…,An，两两互斥，有：Ai

Aj

=φ，其中i≠j，i,j=1,2,…,n2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算7.事件的互逆（互相对立）A与B互逆，有A∪B=S，且AB=φ。事件A与B互逆表示每次试验A、

B中有且只有一个发生。称B为A的对立事件（或逆事件），记为：AB=显然，有A－B=AB注意：“A

与B

互逆”与“A

与B互斥”是不同的概念。2-2事件关系、集合与集合代数二、事件关系的集合运算8.完备事件组若A1,A2,…,An两两互斥，且，则称A1,A2,…,An为完备事件组，或称A1,A2,…,An为Ω的一个划分。1AAn2A3A…………An-1W∑niA=Wi1=2-2事件关系、集合与集合代数三、集合的代数运算

可推广：4.对偶律：（DeMorgan律，反演律）：3.分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，

(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)2.结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，

(AB)C＝A(BC)1.交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2-2事件关系、集合与集合代数三、集合的代数运算5.互补律：A∪A＝Ω，AA＝φ6.对合律（重余律）：7.等幂律：A∪A＝A，AA＝A8.吸收律：A(A∪B)

＝A9.重叠律：A∪AB＝A∪B＝

B∪BA，

A∪AB＝A∪B＝

B∪BA运算顺序：逆交并差，括号优先AA=2-2事件关系、集合与集合代数三、集合的代数运算随机事件样本空间随机试验事件的关系、∪、∩、互斥、互逆等2-2事件关系、集合与集合代数三、集合的代数运算例2-2：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A,B,C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A,B,C的运算关系表示下列事件：E6：“三人均未命中目标”：E5：“三人均命中目标”：E4：“最多有一人命中目标”：E3：“恰有两人命中目标”：E2：“恰有一人命中目标”：E1：“至少有一人命中目标”：2-2事件关系、集合与集合代数1.设事件A={甲种产品畅销·乙种产品滞销}，则A的逆事件为（）。①甲种产品滞销·乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销+乙种产品畅销。三、集合的代数运算课堂练习2-2事件关系、集合与集合代数2.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系。

①A={|x-a|＜σ},B={x-a＜σ}(σ>0）

②A={x＞20}，B={x≤20}③A={x＞22}，B={x＜19}三、集合的代数运算课堂练习2-2事件关系、集合与集合代数3.设A、B、C为任意三个事件，试用集合运算关系表示下列事件:①A、B出现，C不出现；

②A、B、C中恰有一个出现；

③A、B、C中至多有一个出现；

④A、B、C中至少有一个出现。三、集合的代数运算课堂练习2-3可靠性计算的概率基础一、随机事件的概率随机事件可用集合来描述，而某一随机事件在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但其发生的可能性大小是可以确定的。事件的概率就是对事件发生的可能性大小的数量描述。概率的统计定义（也称频率解释）如下：假定在相同的条件下进行n次重复试验，事件A发生了k次，则事件A发生的频率为：fA=k/n（2-1）当试验次数n

趋向无穷时，则事件A

的频率就成为了发生的概率，记为P(A)，即P(A)=limfA=

lim(

k/n)（2-2）n→∞n→∞2-3可靠性计算的概率基础一、随机事件的概率事件A的概率满足：0≤P(A)≤1。还有：P(Ω)=1；P(φ)=0一般来说，当n

充分大时，有近似公式：

P(A)≈(

k/n)（2-3）强调：概率的频率解释有三个基本假设：1）每次试验基本事件是等似然的；2）每次试验是独立的；3）大样本空间。一般情况下，基本事件的等似然性不成立，这时用“大数定理”作为依据。2-3可靠性计算的概率基础二、概率论的公理与事件的独立性

[公理1]0≤P{X}≤1（2-4）

[公理2]P{X}=1－P{X}（2-5）X为非X事件。~~P{X∩Y}=P{Y}P{X|Y}（2-6）即X和Y

均发生的概率等于Y发生的概率乘以给定Y发生时X发生的概率。公理3假定事件X

的发生依赖于事件Y

的发生。对于独立事件或互斥事件，有：当X和Y为独立事件时：P{X|Y}=P{X}，P{X∩Y}=P{X}P{Y}（2-7）当X和Y为互斥事件时：P{X|Y}=0，P{Y|X}=0，P{X∩Y}=0（2-8）3个概率论公理和事件独立性公式是概率运算的基础。

[公理3]2-3可靠性计算的概率基础二、概率论的公理与事件的独立性2-3可靠性计算的概率基础解:设船1到达码头的瞬时为x

，0≤x＜24船2到达码头的瞬时为y，0≤y＜24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头。二、概率论的公理与事件的独立性例2-3：两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率。2-3可靠性计算的概率基础xy2424y=xy=x+1y=x-

2二、概率论的公理与事件的独立性例2-3：2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式1.概率加法公式设A

与B

是任意两个事件，则P(A+B)=P(A)

+P(B)-P(AB)（2-9）当A

与B

互斥时，则P(A+B)

=P(A)

+P(B)（2-10）对于A的逆事件，有P(A)

=1-P(A)（2-11）对互斥的事件组A1,A2,…,An，则

P(A1+A2+…+An)=∑P(Ak)（2-12）2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式2.条件概率公式条件概率是研究可靠性问题的重要工具。例如，一台设备在工作1000小时之后1小时失效的概率，显然不同于一台设备在1001小时失效的概率。前一概率是有条件的，而后一概率是无条件的。条件概率的定义：在事件B发生的条件下发生事件A的概率。根据公理3，设A与B是任意两个事件，如果P(B)＞0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：

P(A|B)=P(AB)/P(B)（2-13）从集合的角度看，P(A|B)的意思是指在发生事件B的事物集合内，导致发生事件A的事物所占比例。（下面看例题。）2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式2.条件概率公式例2-4：有6个球，情况如下：编号123456尺寸小小中大小中颜色蓝红白白红红试求下述的条件概率（1）P(蓝球|小球)（2）P(2号球|小球·红球)2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式2.条件概率公式例2-4：解（1）从直观的角度看，三个小球中只有一个是蓝色，因此P(蓝球

|小球

)=1/3利用条件概率公式计算：P(蓝球

|小球

)

=P(蓝球·小球

)

/P(小球

)

=（1/6）/（3/6）

=1/32-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式2.条件概率公式例2-4：解（2）P(2号球

|小球·红球)=—————————=（1/6）/（2/6）

=1/2P(2号球·小球·红球)P(小球·红球)2-3可靠性计算的概率基础例2-5：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞。求：2张都是假钞的概率。解:

令A

表示“抽到2张都是假钞”B

表示“2张中至少有1张假钞”则所求概率是P(A|B)所以三、概率运算的基本公式A⊂B2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式右表给出乌龟的寿命及其概率，求下面一些事件的条件概率。乌龟的寿命表年龄(岁)存活概率年龄（岁）存活概率01.001400.70200.921600.61400.901800.51600.892000.39800.872200.081000.832400.0041200.782600.0003（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？（2）20岁的乌龟能活到90岁的概率是多少?课堂练习2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式某人外出旅游两天，需知道两天的天气情况。据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。求：第一天下雨时，第二天不下雨的概率。解:设A1与A2

分别表示第一天与第二天下雨。课堂练习2-3可靠性计算的概率基础条件概率的性质三、概率运算的基本公式

非负性

规范性

可列可加性

2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式3.概率乘法公式同样根据概率公理3，设A

与B

是任意两个事件，则P(AB)

=P(B)P(A|B)（P(B)＞0）（2-14）更普遍的形式：P(A1

A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…

P(An|A1

A2…An-1

)（2-15）例如P(ABC

)=P(A)P(B|A)P(C|AB)当A

与B

相互独立时，则

P(AB)

=P(A)P(B)（2-15）类似地：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)（2-16）扩展公式：

P(A·B|W)

=P(B|W)P(A|B·W)（2-17）2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式3.概率乘法公式2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式3.概率乘法公式例2-6：根据例2-4，证明下式成立：P(2号球·小球|红球)=

P(小球|红球)P(2号球|小球·红球)证明：（同学自己完成）2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式例2-7

某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解:设A表示事件“产品是甲厂生产的”，

B表示事件“产品是次品”由题意知根据乘法公式，有2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式课堂练习盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1、2次取得白球，第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式4.全概率公式对于完备事件组（A1,A2,

…,An），且P(Ａi)＞0，及任一事件B

，有A1A2A3An……B(2-18)2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式4.全概率公式全概率公式的最常用形式为：P(B)=

P(A)P(B|

A)+P(A)P(B|

A)

(2-19)根据全概率公式，如果一个事件的发生是由几个原因引起的，并且这几种原因构成了一个完备组，则只要知道了各种原因Ai

发生条件下事件B

的发生概率，就可求得事件B

的概率。人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互斥的部分的并，分别计算概率，然后求和。全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式例2-8如图，1、2、3、4、5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。解：设B

为L至R为通路，

Ai为第i个继电器通，i=1,2,…,52-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式例2-8由全概率公式：2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）对于完备事件组（A1,A2,

…,An），及任一事件B

，且P(B)＞0，则

(2-20)2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）证明：事实上，由条件概率的定义及全概率公式于是2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）A1AnA1BA2BAnBBWA22-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）Bayes公式的含义是：假设事件组A1,A2,

…,An

为基本空间Ω的一个分割，并假设已知它们的概率P(Ai)，i=1,2,…,n，事件A1,A2,

…,An在随机试验中不能或没有直接观察到，只能观察到与这些事件相联系的某事件B，事件B必与事件A1,A2,

…,An之一相伴随而出现，并已知条件概率P(Aj|B)。假设在试验中出现了事件B

，要求在此条件下对事件A1,A2,

…,An

出现的可能性做出判断，即求出它们关于B

的条件概率P(Ai|B)，i=1,2,…,n。通常称P(Ai)为Ai

的前验概率，而称P(Ai|B)为Ai的后验概率。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）Bayes公式可应用于：(1)如果试验E由两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果（构成完备事件组），E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关的某事件发生了，求和试验E1的结果有关的事件概率，可以用该公式。(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Aj|B)可以用该公式。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）小资料：贝叶斯（Thomas

Bayes）英国人，1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式5.Bayes公式（逆概率公式）贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。贝叶斯公式是他在1763年提出来的。经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式例2-9一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2。若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式解记A1

={该学生第1

次考试及格}，A2

={该学生第2

次考试及格}

。显然A1,A1

为样本空间的一个划分，且已知于是，由全概率公式得由贝叶斯公式得例2-92-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式例2-10

由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号“•”，收到信号“•”、“不清”和“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”，收到“•”、“不清”和“—”的概率分别为0.0,0.1,0.9。已知在发出的信号中，“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4。试分析，当收到信号“不清”时，原发信号为“•”和“—”的概率哪个大？解:

设A1为原发信号为“•”的事件

A2原发信号为“—”的事件

B为收到信号“不清”的事件例2-10已知：2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式可见，当收到信号“不清”时，原发信号为“•”的可能性大。2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式课堂练习对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器调整不好时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整良好的概率。解设A1=机器调整良好，A2=机器调整不好，B=产品合格已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；

P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.3需要求的概率为P(A1

|B)。由贝叶斯公式2-3可靠性计算的概率基础三、概率运算的基本公式课堂练习2-4随机变量的概率分布产品的可靠性是一种随机现象，在可靠性研究中，必须对产品的某些随机性质（如寿命、强度等）进行分散度研究。这些分散形态可以用常见的几种随机变量分布模型来描述。已知失效分布函数→求各可靠性函数已知分布函数类型→参数估计事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布。先引入随机变量的概念。一、随机变量的概念2-4随机变量的概率分布随机变量的定义：如果对于试验的样本空间S中的每一个样本点e

，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点e的实函数，记作X=X(e)。我们称这样的变量X为随机变量。一、随机变量的概念2-4随机变量的概率分布例2-11在一批产品中任抽K件，观察其废品数“废品数”是一个数，用X1表示。X1是随机变量，其取值范围是0，1，2，…，k用{X1=0}，{X1=1}，{X1=2}，…，{X1=k}表示一、随机变量的概念2-4随机变量的概率分布例2-12电话交换台在某时间间隔内接到的“呼唤次数”是一个数，用X2

表示，取值范围是：

X2=0,1,2,…“恰好接到i

次呼唤”和“接到不少于i

次呼唤”可分别表示为:{X2=i}和{X2≥i}一、随机变量的概念2-4随机变量的概率分布例2-13测验灯泡寿命的试验，“灯泡寿命”可用数量表示，是一随机变量，用X3

表示。它的所有可能取值可为区间[0，+∞）“灯泡寿命3小时”可表示为{X3}注意：有些试验，尽管其结果不以数量形式出现，但可使其数量化，只要引进变量X

，X

取不同的值表示不同的试验结果即可。例2-14掷一枚硬币，记“正面”为1，“反面”为0，则变量X4

可为：{X4=1}，{X4=0}一、随机变量的概念2-4随机变量的概率分布可以把随机试验的每个可能结果与随机变量的取值对应起来。

研