南大冬令营-运动定理

运动定理功与能

有心力问题

动量运动定理角动量定理

动量守恒

动量定理

变质量问题光滑的水平地面上有小车质量为2000kg。车上站有20人,每人质量50kg。小车初始静止，后来车上站的人从车上以水平速度v’相对车向后跳出。问若20个人一齐跳和每人依次跳，跳后车速各为多少?哪一种跳法车速较大？解：（1）动量守恒

Mv+20m(v+v’)=0v=-20mv’/(M+20m)=-v’/3

（2）动量守恒,第一跳（M+19m)v1+m(v1+v’)=0v1=-mv’/(M+20m)第二跳（M+18m)v2+m(v2+v’)=（M+19m)v1v2=v1-mv’/(M+19m)v20=-[m/(M+20m)+m/(M+19m)+…+m/(M+m)]v’=-0.404v’一原質量為m的火箭以速度v沿水平方向運動,在運動過程中它不斷地向后噴射出燃燒后的廢氣,巳知在Δt時間內噴出廢氣Δm,廢氣相對地面的速度為u,在這過程中火箭獲得多大的推力?mv=(m-Δm)(v+Δv)+uΔmmΔv=(v-u)Δm=v’Δmv’相对速度推力=mΔv/Δt=v’Δm/Δt变质量系统

火箭问题利用动量守恒原理对火箭的运动作一些定量分析

在时刻t，物体质量为m，速度为v，在很短时间内俘获相对速度为u的微小质量dm，由动量守恒关系：俘获质量时dm>0；释放质量时dm<0.m+dmmvv+dvv-u-dmd(mv)火箭动量的增量燃料的动量（dm<0）火箭的加速度：火箭的推力：火箭的速度：对比：mΔv=(v-u)Δm=v’Δm

齐奥科夫斯基公式结构系数火箭运动的速度决定于：结构系数，排气速度。对比：v20=-[m/(M+20m)+m/(M+19m)+…+m/(M+m)]v’=-0.404v’动量定理由牛顿第二定律：动量定理的微分形式动量定理的积分形式例：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。Zolzl-z具体分析（质点组问题）运动方程（质心运动定理）

!?Zolzl-z例．在水平桌面上有一卷质量为m、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，(1)求手的提力为多少？做功多少？(2)链条获得的机械能为多少？(3)比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？vx解:取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即

链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为

该力做功为（2）链条获得的机械能为动能和势能之和（3）功与机械能变化的差是用功能原理来求力得不到正确结果!

曲线的功合力所做的功等于分力所做功的代数和。内积(标量积)功TmgF求F做的功TmgF求F做的功功的性质(1)功是过程量，一般与路径有关。(2)功是标量，但有正负。

(3)

合力的功为各分力的功的代数和。引力的功

两个质点之间在万有引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,

M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a

点运动到b点，万有引力的功:

与路径无关弹力的功

kOabkOacbOakkOabkOa<0Potentialenergy(势能)与相互作用物体的位置有关的能量。势能的增量等于保守力所做功的负值.

(1)保守力做功势能GravitationalpotentialenergyElasticpotentialenergy关于势能：势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。(3)势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。(4)与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。势能是谁的？你的，我的，我们的？守恒还是不守恒？与参考系有关吗？kOV功能原理作用于质点的力FFc所作的功Wc可用势能的减少来表示.Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示.系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械能.(不计空气阻力)（1）势能（2）动能RO

相图

（分析运动状态的图解）例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势x曲线，（2）v速度x曲线，并讨论其运动情况。mxxoxV3E2EE0xovIPhO14-1一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。

在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，（2）画出质点在力场F中的势能图，（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以

fS=E0+|F|x0S=20m.(2)Ep=|F|x+c

向上时加速度为11，下落时加速度为9

（半个收缩的螺线）

动能定理（1）动能定理（2）质点组的动能与质心的动能（3）机械能守恒原理与功能原理

质心运动定理——动量定理质点组的动量守恒质心的动量守恒质点组的动量质心的动量。内力不可能改变质点组的动量。（注意：各分量的守恒问题！）

质点的动能定理

质点组的动能定理FikFkidridrk质点i质点k内力可以改变质点组的动能

（1）动能定理柯尼希定理质点组的动能=质心的动能+质点组相对于质心的动能两体问题的动能碰撞前的相对运动动能：碰撞后的相对运动动能：碰撞前后的动能改变：e=1,T=0;e<1,T<0碰撞后的相对速度（3）机械能守恒原理与功能原理

保守力下的质点组机械能守恒原理在保守力作用下，质点组的机械能保持不变。（机械能包括内力的势能）质点组的功能原理Casestudy:

WorkdonebygravitationButifM~m,whatisthework?

势能：属于质点组（整个系统）

Example:质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。abSolutionI:

InFrameMMmabCr1r2SolutionII:

Re.centerofmassM:m:M:m:各个力的功与参考系有关，但一对力的功与参考系的选择无关。质心系里，内力的功与质量成反比。对小质量物体作功占主要地位。引力的功只与物体系统的初始和最终相对位置有关，与路径无关。

碰撞Collisions（1-D）对心碰撞（正碰）（两球的相对速度沿球心联线）

m1u1m2u2(u1>u2)

动量守恒原理碰撞前碰撞后碰撞过程恢复系数

0<=e<=1动量守恒原理+恢复系数的定义研究对心碰撞问题的两个基本方程式质心的速度m1=m2的完全弹性碰撞交换速度练习：试在质心系中求解对心碰撞两体问题的动能AboutkineticenergyBeforecollision：Aftercollision：Relativevelocity,aftercollisionTherefore：e=1,T=0;e<1,T<0资用能：availableenergy,

对撞机Example:

Thegravitationalslingshoteffect.Theplanet

Saturnmovinginthenegativex-directionatitsorbitsspeed(withrespecttothesun)of9.6km/s.ThemassoftheSaturnis5.69×1026kg.Aspacecraftwithmass825kgapproachesSaturn,movinginitiallyinthe+xdirectionat10.4km/s.ThegravitationalattractionofSaturncausesthespacecrafttoswingarounditandheadoffintheoppositedirection.FindthespeedofthespacecraftafteritisfarenoughawaytobenearlyfreeofSaturn’sgravitationalpull.非对心碰撞（斜碰）

碰撞Collisions（2-D）m1u1m2u2v1v2X12Y

在垂直于联心线的方向两球各自运动（Y轴方向）在联心线方向两球相互压缩后恢复（X轴方向）角动量

与角动量守恒

匀速直线运动的

一个守恒量掠面速度:Arealvelocity掠面速度：位矢r在单位时间内扫过的面积。推广到有心力！掠面速度Cc//SB，所以三角形SBC与SBc等高有心力作用下掠面速度相等。牛顿的推理：???有心力作用下什么守恒？

守恒量m定义：动量矩角动量mmMomentofinertia转动惯量结论：有心力作用下掠面速度相等，故角动量守恒。动量矩(角动量）定理

质点对轴的动量矩等于对轴上任意一点的动量矩在该轴上的投影。

关于轴线的动量矩（角动量的分量）zApypxBpCSyyxxzAFyFxBFCSyyxx

直角坐标系

力对线的力矩

极坐标系FFBAFCS

力对参考点o的力矩M：受力质点相对于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。AFMroSM=Frsin

力对于参考点的力矩力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。

动量矩(角动量）定理—平面运动极坐标：

可以变化

直角坐标：请自己证明：动量矩(角动量）守恒

若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。演示：直升飞机开普勒第二定律对任一个行星说，它的径矢在相等的时内扫过相等的面积。=0动量矩定理:质点对参考点o的动量矩的时间变化率就等于质点所受力对于o点的力矩。

关于点的动量矩定理

Theoremof

angularmomentumaboutapoint

运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。

作用力——有心力，定点——力心在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。有心力有心力问题的基本方程以力心为极点的极坐标系两个基本方程动量矩守恒原理机械能守恒原理有心力为保守力TheLawsofPlanetaryMotion

Kepler‘sFirstLaw:

Theorbitsoftheplanetsareellipses,withtheSunatonefocusoftheellipse.

行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

Kepler'sSecondLaw:ThelinejoiningtheplanettotheSunsweepsoutequalareasinequaltimesastheplanettravelsaroundtheellipse.对任一个行星说，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。动量矩守恒Kepler'sThirdLaw:Theratioofthesquaresoftherevolutionaryperiodsfortwoplanetsis