信号与系统-离散系统的Z域分析

离散系统的z域分析

Z变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。Z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到18世纪；20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。本章主要讨论：z变换的定义、收敛域、性质、与傅氏变换和拉氏变换的关系；z逆变换；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。z变换的导出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对取拉氏变换引入复变量Z变换的定义与收敛域对z变换式的理解级数的系数是若x(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。X(z)=Z[x(k)],x(k)=Z-1[X(z)]；x(k)←→X(z)称为序列x(k)的双边z变换称为序列x(k)的单边z变换收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(k)的z变换存在的充分必要条件。收敛域的定义：对于序列x(k)，满足所有z值组成的集合称为z变换X(z)的收敛域。ROC:Regionofconvergence

不同x(k)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。

对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。两种判定法1．比值判定法若有一个正项级数，则：

<1：收敛

=1：可能收敛也可能发散

>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，则<1：收敛=1：可能收敛也可能发散

>1：发散2．根值判定法求序列Z变换的方法级数求和法例常用序列Z变换单位阶跃序列ROC：指数序列单位序列单位延时序列ROC：全平面ROC：斜变序列已知

两边同时乘以z-1

，可得（用间接方法求）两边对求导式Z变换的几个定理ROC：一般情况下，取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。线性定理(表现为叠加性和均匀性）则例零极点相消，收敛域扩大为整个z平面例解：变换右移位性质移序定理j为正整数则ROC：证明根据单边z变换的定义，可得左移位性质j为正整数证明根据单边z变换的定义，可得例:解：证明：z域尺度变换则例解:方程两边取z变换带入边界条件某离散系统差分方程为：整理为乘k定理共求导m次例：求f(k)=kε(k)的z变换F(z).

解：初值定理证明把x（z）足够大时的动态特性与x（k）的初值联系起来推理x(1)＝？终值定理注意：当收敛，才可用终值定理。例：解：例：求f(0)，f(1)，f()。解：例题无无有，1有，0终值卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。则证明时域卷积定理因为

所以逆z变换部分分式展开法幂级数展开法留数法(删去)幂级数展开法z变换式一般是z的有理函数，可直接用长除法进行反变换

。是一个z的幂级数，级数的系数就是序列x(k)。

例将F(z)以z的降幂排列,然后进行长除运算。部分分式展开法式中m<n（1）X(z)均为单极点可展开为：例已知象函数其收敛域分别为：z>2解部分分式展开为

(2)X(z)有一个重极点p1

和单极点则逆变换为例求的逆变换Z变换与拉氏变换的关系Z变换与拉氏变换相互关系示意图差分方程z变换解法描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法，烦琐z变换方法差分方程经z变换→代数方程；可以将时域卷积→频域（z域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行z变换（移位性质）(2)由z变换方程求出响应Y(z)(3)求Y(z)的反变换，得到y(k)单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。差分方程的变换解取单边z变换得例：若某系统的差分方程为

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。

解方程取z变换Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-1)z-1+y(-2)]=F(z)+2z-2F(z)离散系统的系统函数定义：H(z)

求法1、h(k)H(z)

2、零状态下差分方程H(z)3、模拟框图H(z)系统函数H(z)的应用2）求系统零状态响应yzs(k):1）求系统单位冲激响应h(k):3）求系统差分方程:4）系统零极点分析5）判断系统稳定性例：某系统，已知当输入f(k)=(–1/2)k(k)时，其零状态响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)系统函数的零、极点分析例：极点：零点：

极点决定系统的固有频率或自然频率。零极点图：例：（2）在z平面上，画出H(z)的零极点图：极点用×表示，零点用○表示。系统的稳定性分析定义:若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。稳定性准则（充要条件）其中：M为有限正数即：系统的单位序列响应绝对可和，则系统稳定。稳定性判断极点判断：（1）H(z)极点全部位于z平面单位圆内：