2015-2016第一学期高等数学A1

武汉大学2015-2016第一学期等数学A1期末试A解答一、计算（每小7分，共63分）1、若f(x)在点x1可导，且f(1)1，计算limf(x)f(1)x1x20151解limf(x)f(1)milf(x)f(1)□17分x1x20151x1(x1)(x2014x2013x20151)或limf(x)f(1)limf(x)f1)(x1□f(1)lim11x1x20151x1(x1)x20151x12015x2014201512、计算极lim(1en)n.nn11111nen12解：原式lim(en)n(1)nlime(1)e7分1en1nnenen1ln(xex)1ex1limlimxexlim(xex12因此lim(1enn)2e或)xx0x0x0ex□eenn3、已知F(x)是f(x)的一个原函数，满足F(x)f(x)xex，F(x)0,F(0)1，求f(x)．解：对F(x)f(x)xex两边积分得F(x)f(x)dxxexdx，即F(x)dF(x)xexexc，1F(x)2xexexc，又F(0)1代入上式得c3□22xexxex注意到F(x)0，解得F(x)2ex(x3，因此f(x)1)F(x)x1)32e(x或f(x)□xex7分F(x)2ex(x1)34、设函数yyx是由方程x2y2yexy2所确定的函数,求曲线yyx在点0,2处的切线方程.解2x2yyyexyyexyyxy0将点0,2代入得y04y4x233(或4x3y60)7分5、计算定积分110081解：原式=2dx□2016ln(xx21)□2016ln(12)7分0x210x2,0x16、设f(x)x,1x2，求(x)xf(t)dt在(0,)内的表达式。0,other0,x0解(x)x1x3,0x17分f(t)dt3□01x21x22□,6111x267、设函数yyxfyCey确定，其中C是常数，f拥有二导数，且由方程xef(y)1，求dy,d2ydx。dx21,y1解yfylnx,yfyy,Cxx[1fy]yfyy2fyy1,11x2fy[1fy]2[fyy2]y1fyx2x2[1fy]37分yyxsinx8、求初值y01,y01的解。2解对应的次方程的通解为yC1cosxC2sinx次方程yyx的一个特解为y1x,次方程yysinx的一个特解为,原方程的通解为xcosx，利用初值条件可求得yC1cosxC2sinxx2C1,C1,原的解为x7分cosxsinxxcosx12y2x09、设f(x)连续，在x0处可导，且f(0)0,f(0)4，求lim0f(u)du)dt。t(ix0x3sinx解1f(x)f(0)1f'(0)17分□lim□8x0x82二、应用（每小8分，共24分）1、求在抛物线与y28x解：图略V14xdx1

4之的图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。8分8x4dx2x214x4x210

12

0122、求二曲线rsin解：当等于0和A13sin2d20

与r3cos所围公共部分的时，两曲线订交，所围公共部分的31225323cosd3244

积。积为分3、设落伞从跳伞塔下落后，所受空气力与速度成正比，并设落伞走开跳伞塔时（t0）速度为，求落伞下落速度与时的函数关系。解：落伞所受外力为Fmgkv,由牛运动第二定律得Fmamdvdt因此mdvmgkv，初始条件为v□0，分别变量得，dttdv0ktkc1dt，即1ln(mgkv)两边积分得c，mgkvem，tmgkvmkm1vmgkt(cekc1□0代入得cmg，因此cem)，把vkkkt0kmgt8分vm)k(1e（第17分，第26分，共13分）三、证明1、设函数f(x)在[0,a]上二可导，f(x)M(x[0,a])且f(x)在(0,a)内获取最大值，试证明f(0)f(a)Ma.证明：因f(x)在[0,a]上二可导,且f(x)在(0,a)内获取最大值设在x0(0,a)获取最大值,则f(x0)0从而在[0,a],x0,a上分别对f(x)用拉格朗日中值定理有最少1(0,x0)使f(0)f(x0)f(1)(0x0)而f(x0)0,f(x)则f(0)Mx0(1)M,同理有:f(a)M(ax0)(2)由(1)(2)得:f(a)f(a)Ma7分112、（6分）设fx在区1,1上连续,且1fxdx1fxtanxdx0,证明在区1,1内最少存在互异的两点1,2,使f1f20.证：记Fxxdt,则Fx1,1上可导,且F1F10，若Fx在ft在1,1111内无点,不如设Fx0,x1,10ftanxdF(x)xtanxdx1□Fxtanx111