点电荷之间的相互作用能

一、点电荷之间的相互作用能以三点电荷为例，相距无穷远，则无相互作用q1

不动q2在q1作用下由无穷远移至r12

处，做功q3在q1和q2作用下由无穷远移至r23

处，做功§3－7电荷间相互作用能静电场的能量q1

在q2处的电位1/12/20231Ui

为除qi

外，其他电荷在qi

处所产生的电势推广：外力做总功：做功的过程对称性1/12/20232二、连续带电体的静电能连续带电体称为静电能，U为所有电荷在dq

处的电势三、电容器的能量例如半径为R带电量为Q的电体球，可看成无穷远dq聚在一起1/12/20233t=0开始，每次自下极板把微量电荷dq

移至上板，电容器间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动，外力都要克服静电力做功，t

时刻带电q

，再移dq

，外力做功最后带电Q，则1/12/20234电容器储能或四、电场的能量平行板电容器：1/12/20235储能：定义：为单位体积能量，称电场能量密度或一般情形：1/12/20236例题9-8如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e1/12/20237解一相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有12对，即；面对角线长度为,6个面上12对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；1/12/20238立方体对角线长度为，4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；立方体中心到每一个顶点的距离是，故中心正电荷与8个负电荷间的相互作用能量是1/12/20239所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为解二任一顶点处的电势为1/12/202310

在体心处的电势为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为结果与解一相同1/12/202311例题9求半径为R

带电量为Q

的均匀带电球的静电能解一：计算定域在电场中的能量球内r处电场1/12/202312解二：计算带电体系的静电能再聚集这层电荷dq，需做功：而所以球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷1/12/202313例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为±Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。板极上带电±Q时所储的电能为解（1）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为1/12/202314（2）设两极板之间的相互吸引力为F，拉开两极板时所加外力应等于F，外力所作的功A=Fd

，所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为1/12/202315

例题9-10*平行板电容器带电Q，间距d

，缓慢拉动至2d

。求：1)电容器能量变化；2)外力做功；3)面板间吸引力。解：1)2)3)1/12/202316例9-11平行板空气电容器每极板的面积S=3×10-2m2

，板极间的距离d=3×10-3m。今以厚度为d’=1×10-3m的铜板平行地插入电容器内。（1）计算此时电容器的电容；（2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？解（1）铜板未插入前的电容为d1d2dd+-C1C2AB1/12/202317设平行板电容器两板极上带有电荷±q,面密度为±σ=q/S，即σ。在铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为±σ，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板A、B的电势差为所以铜板插入后的电容C’

为2）由上式可见，C’

的值与d1和d2无关（d1增大时，d2减小。d1+d2=d-d'不变），所以铜板离极板的距离不影响C’的值1/12/202318（3）铜板未抽出时，电容器被充电到U=300V，此时所带电荷量Q=C’U，电容器中所储静电能为能量的增量W-W’

应等于外力所需作的功，即当电容器与电源切断后再抽出铜板，极板上电量不变，电容器所储的静电能增为1/12/202319代入已知数据，可算得1/12/202320例9-12如图所示,球形电容器的内外半径分别R1和R2,所带电荷为+-Q,在两球壳间充以电容率为的电介质,问此电容器存储的电场能量为多少?故球壳内的电场能量密度为解:若球形电容器上的电荷是均匀分布的,则球壳间电场也是对称分布的,由高斯定理可得球壳间的电场强度为:R2R1rdr1/12/202321取半径为r,厚为dr的球壳,其体积元为dV=4r2dr.所以,在此体积元内电场的能量为:电场的能量为:1/12/202322如果R2趋于正无穷,此带电系统即为一半径为R1带电为Q的孤立球形导体,它激发的电场所储存的能量为球形电容器的电容为C=4[R1R2/(R1+R2),所以由电容器储存的电能We=Q2/2C,也能得到同样的答案.电容器的能量是储存于电容器的电场之中的1/12/202323例9-13如图所示的圆柱型电容器,中间是空气,空气的击穿场强是Eb=3×106V.m-1.电容器外半径R2=10-2m.在空气不被击穿的情况下,内半径R1取多大值可使电容器储存的能量最多?R1R2rBAl1/12/202324从上式可以看出E1/r成正比.故在内表面附近,即r=R1处的电场最强.因此,我们设想此处的电场强度为击穿场强Eb时圆柱型电容器即可带电荷最多,又不会使空气介质击穿,于是有解:由高斯定理可知,两圆柱面间的电场强度为1/12/202325由电容器的能量公式We=QU/2可知,单位长度圆柱型电容器所储存的能量为

We=U/2(3)

U为两极间的电势差,由电势差的定义式有由上式可得max=20R1Eb,显然,max是由R1和Eb,决定的.1/12/202326式(5)表明,在Eb已知时,We仅随R1而异.显然,想要圆柱型电容器储存的能量最多,且空气介质又不被击穿,内半径为R1的值需满足dWe/dR1=0的条件.有式(5)得把上式代入(3)式,得把(1)式代入上式,得1/12/202327此时,圆柱型电容器所储存能量最大,且空气又不被击穿.由已知数据内半径为R1=10-2/e-2m=6.07×10-3m.我们还可以计算出空气不被击穿时,圆柱型电容器两极间最大电势差,将式(6)(2)代入(4),得1/12/202328上述计算结果表明,对以空气为介质的电容器,当外半径为0.01m时其内半径需为6.07×10－3m,才能使所贮存的能量最多。此时，两极间的最大电压为9.10×103V。1/12/202329例9-14球形电