证明平面上的格林公式

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证明平面上的格林公式：其中C

是区域D

的边界曲线，ds

是弧微分.首先证明第一格林公式格林公式一般表示为：Dxy两式相减得3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。取u

为调和函数，=0在圆周上，代入到等式：0同理称为拉普拉斯方程格林函数。

则平面上狄氏问题解的表达式为则4.平面上狄氏问题解的表达式求球域(ρ<R

)的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解.解：1)设M0为球内任一点，p

连接OM0并延长至M1,

使得

是M0关于球面Σ

的反演点，P为球面上一点。由∽PO则Green函数为由余弦定理，在极坐标下其中β

是OM0与OM的夹角。又2)计算所以球坐标下Laplace方程Dirichlet问题的解为：球的Piosson公式5

求证圆域的格林函数为其中二维平面上基本解为设M0为圆域(ρ<R)内的一点，

在M0点放一单位正电荷

在OM0的延长线上某点PO物理意义：平面上M0点处单位正线电荷在介电常数为1的介质中产生的场。M0点处电荷密度为q的线电荷产生的场的大小为处放一电量为q负电荷，则这两个线电荷在圆内点所产生的电势为

由余弦定理，在极坐标下其中

是OM，OM0与x轴的夹角的夹角。由条件上式对任意θ

都成立，故即化简可得线性无关，故得解之代入解得

又所以极坐标下圆域的Gr

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