大一下微积分课件-9 -习题课

1.理解二重积分、三重积分的概念,一、教学要求2.掌握二重积分的计算法(直角坐标、极

3.会用重积分求一些几何量与物理量.了解重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标)，柱面坐标、球面坐标).二、重积分计算题型1.计算二、三重积分2.利用对称性简化计算.3.被积函数带绝对值符号.4.交换积分顺序的方法.5.重积分的应用.上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区域(一)、利用直角坐标系计算三重积分

“先一后二”1.先投影，再确定上、下面

x0z

yc1c2.“先二后一”zDz

2.截面法[c1,c2]:向z轴的投影区间

Dz:

过z[c1,c2]且垂于z轴的平面截得到的截面

0xz

yM(x,y,z)M(r,,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐标M(x,y,

z)

M(r,,

z)

z=z..(二)、利用柱面坐标计算三重积分xz

y0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;

半径为r及

r+dr的圆柱面；

平面z及

z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素.dV0xz

yM(x,y,z)M(r,,)rPyxz.

..球面坐标(三)、利用球面坐标计算三重积分rdrdxz

y0

drd元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr2sin

drdddVdV=(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积

设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域的立体的体积为:重积分在几何上的应用曲面S的面积元素曲面S的面积公式(三)曲面的面积(1)平面薄片的质心三、重积分在物理上的应用(一)质(重)心(2)空间物体的重心

设物体占有空间域,有连续密度函数重心(1)平面薄片的转动惯量(二)转动惯量(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域,有连续密度函数设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m的质点A(a,b,c),求物体V对质点A的引力.(三)引力其中G为万有引力系数，dF的三个坐标分量分别为于是引力F在三个坐标方向上的分量为三、典型例题例解X-型解例

计算积分交换积分次序.

原式=

交换积分次序

例解由于被积函数含有抽象函数,因此要采用法一故无法直接积出.一些技巧.òò++-12211x3d)(dyyxyfxx奇函数奇函数òò++-122113d)(dxyyxyfxx)(d)(d2121222113yxyxfxxx+++òò-ò-+-++11622d)]()1([21xxxFxFx法二（画第二象限部分）（如图）则有对称性作曲线计算解积分域是圆故关于x、y轴、故将被积函数分项积分:而极坐标又所以原式=对称,例直线利用对称性例解计算二重积分D2极坐标例将D分成D1与D2两部分.D1其中解由于直角坐标被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分其中因此若函数f(x,y)在矩形区域D:解上连续,且求f(x,y).设两边积分,得例

计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标

例解0y

x1.找出上顶、下底及投影区域2.画出投影区域图不画立体图做三重积分Dxy:z=0。。Dxy例例

解利用球面坐标例

解例求由下列曲面围成的立体的体积解:(1)由于区域为球顶锥底，选用球坐标较为简便(2)故选用柱坐标积分:由于投影区域为oyz例

解解球例例

证思路：从改变积分次序入手．x0z

y11Dyz...例：x+y+z=1I=

解

直接积分困难，考虑改变积分次序解先算前面部分的面积A1由求交线

求柱面所截下部分的面积.被锥面

外面部分zx2±=例解由对称性所围立体的质心坐标.所以,质心坐标为例例.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:

建立