宁夏回族自治区银川一中2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE宁夏回族自治区银川一中2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，B＝45°，C＝75°，则b＝（）A． B． C． D．2．不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，则a8•a12等于（）A．8 B．10 C．16 4．在△ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，则A＝（）A．135° B．120° C．60° D．45°5．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列正确的是（）A．ac＞bc B． C．≥0 D．6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．9 B．10 C．27 7．据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．5盏8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D．（a＞0，b＞0）9．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（）A．2 B． C． D．10．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱11．已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（）A．2﹣1 B． C． D．12．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，△ABC的面积S＝2，且满足acosB＝b（1+cosA），则（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范围是（）A．（8﹣8，8） B．（0，8） C．（，8） D．（，8）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．14．若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值是．15．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC＝m16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：①数列{Sn}是等比数列；②数列{Sn}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＞2018；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018．其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求p+q；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的取值范围．18．在△ABC中，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，____，求a．从①b＝7，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．19．已知等差数列{an}满足a6＝6+a3，且a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．20．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．22．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an﹣n．（1）求证数列{an+1}是等比数列，并求an；（2）若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项Tn．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，B＝45°，C＝75°，则b＝（）A． B． C． D．【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理求得b．解：由题意可知，A＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可知，所以b＝＝＝．故选：B．2．不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，则a8•a12等于（）A．8 B．10 C．16 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a1a19＝16，从而根据a8a12＝a1解：由a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，得a1a19又{an}是等比数列，得a8a12＝a1a故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，则A＝（）A．135° B．120° C．60° D．45°【分析】由已知可得b2+c2﹣a2＝bc，利用余弦定理可求cosA＝，结合A的范围可求A的值．解：∵a2＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∵A∈（0°，180°），∴A＝45°．故选：D．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列正确的是（）A．ac＞bc B． C．≥0 D．【分析】根据条件，取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除错误选项．解：由a，b，c∈R，且a＞b，取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除ABD．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．9 B．10 C．27 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可得，第1次循环，k＝0，s＝0，满足循环条件，继续循环，第2次循环，k＝1，s＝1，满足循环条件，继续循环，第3次循环，k＝2，s＝9，满足循环条件，继续循环，第4次循环，k＝3，不满足循环条件，输出s＝9，退出循环．故选：A．7．据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．5盏【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解．解：设顶层有x盏灯，则最下面有（x+8d）盏，则x+8d＝13x，即＝x，由题意得x+（x+d）+（x+2d）+…+（x+8d）＝126，整理得9x+36d＝126，所以9×+36d＝126，解得d＝3，x＝2，所以顶层有2盏灯．故选：A．8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D．（a＞0，b＞0）【分析】由图形可知OF＝＝，OC＝＝，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出．解：由图形可知：OF＝＝，OC＝＝，在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF＝＝，∵CF≥OF，∴≥，（a，b＞0）．故选：D．9．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（）A．2 B． C． D．【分析】由a+4b＝4ab可得+＝1，所以a+b＝（+）（a+b）＝++，从而结合a＞0，b＞0即可利用基本不等式进行求解．解：由a+4b＝4ab，得+＝1，又a＞0，b＞0，所以a+b＝（+）（a+b）＝++≥+2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以a+b的最小值为．故选：C．10．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z＝280x+200y结合图象可得：当x＝15，y＝55时z最大．故选：B．11．已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（）A．2﹣1 B． C． D．【分析】先由题设⇒an+1﹣an＝2n，然后利用叠加法求得an，进而求得，再利用单调性求得其最小值．解：∵a1＝10，，∴an+1﹣an＝2n，∴a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，a4﹣a3＝6，…an﹣an﹣1＝2n﹣2，n≥2，将以上式子相加，可得：an﹣a1＝2+4+6+…+2n﹣2＝，n≥2，即an＝n（n﹣1）+10，n≥2，又当n＝1时，有a1＝10也适合上式，∴an＝n（n﹣1）+10，∴＝n+﹣1，易知：当n≤3时，单调递减；当n≥4时，单调递增，又＝，＝，∴的最小值为．故选：C．12．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，△ABC的面积S＝2，且满足acosB＝b（1+cosA），则（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范围是（）A．（8﹣8，8） B．（0，8） C．（，8） D．（，8）【分析】由题意利用正弦定理求得sin（A﹣B）＝sinB，可得A＝2B＜，B∈（0，），再根据A+B＝3B∈（，），可得C的范围，进而得到的范围，把要求的式子利用余弦定理、二倍角公式化为8tan，从而求得它的范围．解：∵在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB＝b（1+cosA），∴sinAcosB＝sinB+sinBcosA，sin（A﹣B）＝sinB，∴A﹣B＝B，即A＝2B＜，可得：B∈（0，），可得：A+B＝3B∈（，），故C∈（，），∴∈（，），∴tanC＝＞1，可得：1＞tan＞﹣1+．∵△ABC的面积S＝ab•sinC＝2，∴ab＝，则（c+a﹣b）（c+b﹣a）＝c2﹣（a﹣b）2＝c2﹣a2﹣b2+2ab＝﹣2ab•cosC+2ab＝2ab（1﹣cosC）＝（1﹣cosC）＝8＝8tan∈（8﹣8，8）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为1．【分析】根据基本不等式可知，xy≤（）2，进而根据x+y的值求得xy的最大值．解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝2，所以由基本不等式可得，xy≤（）2＝1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故xy最大值为1．故答案为：1．14．若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值是5．【分析】分别求出三条直线对应的三个交点坐标，代入z＝x+y中，比较大小即可得到答案．解：联立，解得，代入z＝x+y，可得z＝﹣1；联立，解得，代入z＝x+y，可得z＝﹣5；联立，解得，代入z＝x+y，可得z＝5，比较可知，z的最大值为5．故答案为：5．15．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC＝600m【分析】利用等腰直角三角形AMD求出|AM|，在三角形AMC中，求出∠MAC＝75°，∠AMC＝60°，然后利用正弦定理求出|AC|，再求解直角三角形得|BC|．解：如图在Rt△AMD中，由|MD|＝400，∠DAM＝45°，得|AM|＝|MD|＝400，在△AMC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∴∠ACM＝180°﹣60°﹣75°＝45°．由正弦定理得，解得|AC|＝400．在Rt△ABC中，|BC|＝|AC|•sin60°＝400×＝600（m）．故山的高度|BC|＝600m故答案为：600．16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：①数列{Sn}是等比数列；②数列{Sn}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＞2018；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018．其中真命题的序号是②④（请写出所有真命题的序号）．【分析】通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质．解：由题意，得图1中的线段为a，S1＝a，图2中的正六边形边长为，S2＝S1+×4＝S1+2a；图3中的最小正六边形的边长为，S3＝S2+×4＝S2+a图4中的最小正六边形的边长为，S4＝S3+×4＝S3+由此类推，Sn﹣Sn﹣1＝，∴{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，因为Sn＝S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（Sn﹣Sn﹣1）＝a+2a+a++…+＝a+＝a+4a（1﹣）＜5a即存在最大的正数a＝使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018即④正确，③错误，故填②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求p+q；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次不等式x2+px+q＜0的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出p、q的值；（2）根据不等式在实数集R上恒成立知△＜0，由此列不等式求出m的取值范围．解：（1）因为一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，所以﹣和是方程x2+px+q＝0的实数根，由，解得p＝﹣，q＝﹣，所以p+q＝﹣；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，所以△＝（﹣m）2﹣4（m+7）＜0，即m2﹣4m﹣解得2﹣4＜m＜2+4，所以m的取值范围是（2﹣4，2+4）．18．在△ABC中，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，____，求a．从①b＝7，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA＝asinB，与bsinA＝acos（B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）若选①b＝7，由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，即可解得a的值；若选②，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，由正弦定理即可解得a的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos（B﹣）．∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+sinB，∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）若选①b＝7，则在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2﹣5a﹣24＝0，解得a＝8，或a＝﹣3（舍去），可得a若选②，则sinA＝sin（B+C）＝sincos+cossin＝，由正弦定理，可得＝，解得a＝．19．已知等差数列{an}满足a6＝6+a3，且a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．【分析】（1）先根据题意设等差数列{an}的公差为d，再根据已知条件及等差数列的定义计算出d＝2，进一步根据等比中项的性质列出关于首项a1的方程，解出a1的值，即可计算出数列{an}的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn．解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a6﹣a3＝3d＝6，即d＝2，故a3﹣1＝a1+2d﹣1＝a1+3，a2﹣1＝a1+d﹣1＝a1+1，a4＝a1+3d＝a1+6，∵a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中项，∴（a3﹣1）2＝（a2﹣1）•a4，即（a1+3）2＝（a1+1）（a1+6），解得a1＝3，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得bn＝＝＝•（﹣），则Tn＝b1+b2+•••+bn＝•（﹣）+•（﹣）+•••+•（﹣）＝•（﹣+﹣+•••+﹣）＝•（﹣）＝．20．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．【分析】（1）可连接AC，在△ABC中，根据余弦定理即可求出AC2＝27，然后可得出∠ACD＝90°，从而根据勾股定理可求出；（2）在△ADE中，根据余弦定理和不等式可得出63≥3AE•DE，从而得出AE•DE≤21，然后根据三角形的面积公式即可求出△ADE面积的最大值．解：（1）如图，连接AC，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝BC＝3km∴根据余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝，∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km∴（km）；（2）在△ADE中，，∠E＝120°，∴根据余弦定理，63＝AE2+DE2+AE•DE≥3AE•DE，当且仅当AE＝DE＝时取等号，∴AE•DE≤21，∴，∴所种植草坪的最大面积为km2．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的