《医用高等数学》矩阵的概念和运算

?医用高等数学?〔第二版〕8-2矩阵的概念和运算一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法高等数学08-02-02四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、逆矩阵甲、乙、丙三种复合维生素片中维生素B1、B2、B6和维生素C的含量可排列成3行4列的一个数表。高等数学08-02-05例线性方程组高等数学08-02-06的系数也可排列成m行n列数表。高等数学08-02-07高等数学08-02-08矩阵(matrix)由mn个数排成m行n列的数表称为mn矩阵，通常用大写英文字母表示，记作Amn。其中aij表示位于矩阵中第i行第j列的数，称为矩阵的元素。在不需要将矩阵元素一一写出时，还可以将矩阵简单表示为A=(aij)mn高等数学08-02-09行矩阵

只有一行的矩阵，称为行矩阵或行向量。列矩阵

只有一列的矩阵，称为列矩阵或列向量。注不同型的零矩阵是不同的。高等数学08-02-10零矩阵所有元素都是零的矩阵，称为零矩阵，记作O。方阵行列数相等，即m=n的矩阵，称为n阶方阵。高等数学08-02-11对角矩阵方阵左上角a11到右下角ann的直线段，称为方阵的主对角线。除了主对角线上的元素，其它元素均为零的方阵称为对角矩阵。即高等数学08-02-12单位矩阵假设主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵，记作E。即高等数学08-02-13上三角矩阵

主对角线下方的元素全为零的方阵，称为上三角矩阵。即高等数学08-02-14下三角矩阵

主对角线上方的元素全为零的方阵，称为下三角矩阵。即高等数学08-02-15高等数学08-02-16同类矩阵两个矩阵的行数相同，列数也相同时，就称它们是同类矩阵。相等假设两矩阵A与B是同类矩阵，且它们的对应元素也相同，即aij=bij(i=1,2,,m；j=1,2,n)那么称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。高等数学08-02-17负矩阵把矩阵A中各元素变号得到的矩阵，称为A的负矩阵，记为A。即高等数学08-02-18例某家庭中儿子(S)、女儿(D)与父亲(F)、母亲(M)外貌的“相像〞的关系为模糊关系R，可用矩阵表示为高等数学08-02-19其中的数据意为儿子与父亲的相像程度为0.8，儿子与母亲的相像程度为0.2，女儿与父亲的相像程度为0.1，女儿与母亲的相像程度为0.6。

矩阵的和假设A和B为同类矩阵高等数学08-02-20那么称矩阵为矩阵A与B的和，记为A+B。矩阵加法的运算规律：(1)A+B=B+A；(2)(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A；(4)A+(A)=O。〔A,B,C为同类矩阵〕高等数学08-02-21数乘设矩阵高等数学08-02-22是一个常数，那么称矩阵为数与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记为A。数乘的运算规律：(1)(A+B)=A+B；(2)(+)A=A+A；(3)()A=(A)；(4)1·A=A。〔A,B为矩阵，,为任意常数〕高等数学08-02-23线性运算矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。高等数学08-02-24例高等数学08-02-25求A+B，2A3B。矩阵的乘积设A,B分别为ms和sn矩阵高等数学08-02-26而mn矩阵的元素高等数学08-02-27那么称矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作AB，即C=AB注矩阵A,B的乘法要求A的列数必须与B的行数相等。乘积矩阵C=AB中位于i行j列的元素cij是A的第i行元素与B的第j列元素的乘积，即高等数学08-02-28例设求AB，BA。高等数学08-02-29课堂讨论题求矩阵的乘积AB及BA。高等数学08-02-30高等数学08-02-31课堂讨论题

计算注〔1〕矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA；〔2〕AB=O不能推出A=O或B=O；〔3〕矩阵乘法不满足消去律，即在一般情况下，假设AC=BC，且CO，不能推出A=B。高等数学08-02-32矩阵乘法的运算规律：(1)(AB)C=A(BC)；(2)A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；(3)(AB)=(A)B=A(B)；(4)假设E是单位矩阵，那么AE=A，EB=B。〔A,B,C为矩阵，为任意常数〕高等数学08-02-33高等数学08-02-34例在线性方程组中高等数学08-02-35记那么方程组可表示为矩阵形式AX=B幂设A是n阶方阵，那么Ak=AAA(k个A相乘)为矩阵A的k次幂。注矩阵幂的定义只有对方阵才有意义。高等数学08-02-36幂的运算规律：(1)AkAl=Ak+l；(2)(Ak)l=Akl。〔A为矩阵，k,l为正整数〕高等数学08-02-37例高等数学08-02-38求A2，A3。矩阵的转置设mn矩阵高等数学08-02-39将A的行与列互换所得的nm矩阵称为A的转置矩阵，简称A的转置，记为AT，即例矩阵高等数学08-02-40求AT。对称矩阵如果A是n阶方阵，当AT=A时，称A

是对称矩阵。高等数学08-02-41例矩阵高等数学08-02-42是对称矩阵。矩阵转置的运算规律：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(A)T=AT；(4)(AB)T=BTAT。〔A,B为矩阵，为任意常数〕高等数学08-02-43方阵行列式设方阵高等数学08-02-44将A

的元素按照原来的位置所构成的行列式，称为方阵A

的行列式，记作detA或|A|。方阵行列式的运算规律：(1)|AB|=|A||B|=BA；(2)A=nA；(3)Ak=Ak；(4)|AT|=|A|。〔A,B为n阶方阵，为任意常数，k为正整数〕高等数学08-02-45例求|A|，|B|，|AB|，|BA|。高等数学08-02-46例A,B是三阶方阵，且detA=3，detB=2，求det(A)，det(3B)，det(A3)，det(2AB)。高等数学08-02-47逆矩阵(inversematrix)设A是方阵，假设存在方阵B，使得AB=BA=E那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A1，即B=A1高等数学08-02-48例设高等数学08-02-49试验证B是A的一个逆阵。注假设B是A的逆矩阵，那么A也是B的逆矩阵，即A=B1。伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵高等数学08-02-50称为矩阵A的伴随矩阵。定理对方阵A，成立AA*=A*A=detAE高等数学08-02-51定理方阵A可逆的充要条件是detA0，且当A可逆时其中A*为方阵A的伴随矩阵。高等数学08-02-52奇异矩阵对n阶方阵A，假设行列式detA=0，那么称矩阵A为奇异矩阵或退化矩阵。高等数学08-02-53非奇异矩阵对n阶方阵A，假设行列式detA0，那么称方阵A为非奇异矩阵或非退化矩阵。例判断以下矩阵A是否可逆？假设可逆，求出A1。高等数学08-02-54课堂讨论题判断以下矩阵A是否可逆？假设A可逆，求出逆矩阵A1。高等数学08-02-55推论设A是n阶方阵，假设存在方阵B，使得AB=E〔或BA=E〕那么A可逆，且A1=B高等数学08-02-56例方阵A满足A2+A=3E试证A和AE

均可逆。高等数学08-02-57课堂讨论题设方阵A满足A2A2E=O证明A为可逆矩阵，并求出A1。高等数学