计量统计方法1

2010-3-25课程公共邮箱：Username:Password:jxnugis2009主要用以存放本课程相关课件、文档资料等课程作业提交：特殊情况提交打印稿或手写稿亦可课程简介《计量统计方法》是为地理科学专业硕士研究生开设的专业选修课，主要介绍基础的数学统计方法与前沿的数学模型在地理科学领域中的应用，课程内容包括数学方法和数学模型的理论知识和实践使用。本课程每周3节课，总计12周次，共计36课时，知识介绍与技能实践相结合，注重理论知识的理解和计算机技能的掌握。本课程的成绩以考查为主，课程后期每位同学完成两个以计算机操作为主的大作业（10选2）。课程总体目标1.掌握发现和解决地理科学问题的能力；2.掌握经典数理统计方法的理论基础；3.掌握一些前沿数学模型的理论基础；4.掌握matlab/SPSS等数学软件的基础使用；5.掌握一些特殊数学模型专业软件的基础使用；6.终极目标——让同学们在硕士期间掌握些真才实学！课程主要内容1.计量地理学概述+经典数理统计方法（一）(3课时)2.经典数理统计方法（二）(3课时)3.经典数理统计方法（三）(3课时)4.空间统计分析（一）(3课时)5.空间统计分析（二）(3课时)6.空间统计分析（三）(3课时)7.网络分析(3课时)8.系统动力学(3课时)9.多智能体系统(3课时)10.元胞自动机(3课时)11.SOM分类机(3课时)12.支持向量机(3课时)问题？当你发现一个地理科学问题时，你想如何解决？当你需要解释一个地理科学现象时，你想怎么处理？当你拿到一大堆地理数据时，你想怎么分析才能迅速得到想要的结果？发现问题->分析问题->解决问题解释现象->定性解释->定量分析科学研究->分析数据->得出结论方法+工具<。)#)))≦和“渔”每一种方法或模型都只是一条“鱼”，每一个实际问题只是一种特定的“鱼食”。有些“鱼”会吃好几种“鱼食”，即有些方法或模型可以解决好几种特定的实际问题，但是，没有任何一条“鱼”可以食遍天下各色之“鱼食”。因此，不如掌握“渔”，当遇见各色美味“鱼食”时，钓出那条适合该“鱼食”的“鱼”即可。至此，“鱼食”即便摆脱了“鱼”，终究无法逃出“渔”的手掌心。第一章计量地理学概述胡碧松博士/讲师2010-3-25主要内容1.计量地理学的形成和发展2.计量地理学中的数学方法3.对计量地理学的评价4.计量地理学的应用1.计量地理学的形成和发展地理学的发展阶段地理学在中国战国前后的古希腊、古罗马时代开始萌芽，至今已有2000多年的发展历史。地理学的发展可划分为三个基本阶段：

古代地理学，以记载地理知识为主体；

近代地理学，对各种地理现象进行条理化归纳，并对它们之间的关系进行解释性描述；

现代地理学，采用定性与定量相结合的方法，规范研究与实证研究并举，解释各种地理现象的内在机制并预测其未来演变。1计量地理学的形成和发展地理VS数学古代地理学和近代地理学中的数学方法限于定量地描述、记载和解释。现代地理学中运用数学方法，是为了深入地进行定量化研究，揭示地理现象发生、发展的内在机制及运动规律，从而为地理系统的预测及优化调控提供科学依据。1计量地理学的形成和发展地理——文科？理科？当地理在描述地理现象、解释地理问题时，定性占主导地位，则倾向于偏文科。当地理在分析地理过程、研究地理规律时，定量方法占主导地位，则倾向于偏理科。地理信息系统是地理科学与信息科学的完美结合，侧重中实际工程中的应用，此时的地理似乎又倾向于偏工科。计量地理学的发展阶段第一阶段（20世纪50年代末期到60年代末期）把统计学方法引入地理学研究领域，构造一系列统计量来定量地描述地理要素的分布特征，应用各种概率分布函数、方差等简单的统计特征回归分析方法。分布中心、区域形状、地理要素分布的集中和离散程度等都有了定量指标，许多地理要素间的相关关系，也可以进行定量地表示。计量地理学的发展阶段第二阶段（20世纪60年代末期到70年代末期）多元统计分析方法和电子计算机技术在地理学研究中广泛应用。以电子计算机技术为手段，许多地理学家熟练地掌握了多元统计方法，具备了分析多因素、复杂结构和动态特征等复杂地理问题的能力。计量地理学的发展阶段第三阶段（20世纪70年代末期开始到80年代末期）系统理论、系统分析方法、系统优化方法、系统调控方法等被引进地理学研究领域，促进了运筹学中的规划方法、决策方法、网络分析方法，以及数学物理方法、模糊数学方法、分形几何学方法、非线性分析方法等一系列现代数学方法的形成。同时GIS技术的发展为其提供了先进的技术手段支持。计量地理学的发展阶段第四阶段（20世纪90年代初至今）

按照英国著名地理学家、里兹大学S.奥彭肖(S.Openshaw)教授的提法，90年代初进入计算地理学时代。得益于计算机技术与计算理论和方法的巨大发展和3S技术在获取大容量、整体性地理数据信息中的成功应用，以向量或并行处理器为基础的超级计算机为工具，对“整体”、“大容量”资料所表征的地理问题实施高性能计算，探索构筑新的地理学理论和应用模型。计量地理学的发展阶段除继续应用20世纪80年代中叶以来在地理学模型研究中成功引入的突变、自组织、混沌、分支、分形等模型外，地理计算学又成功地引入了神经网络（neuralnetwork)、遗传算法模型（geneticprogramming）、元胞自动机（cellarautomata）、模式参数随机取样模型（randomsamplingofmodelparameter）、模糊逻辑模型(fuzzylogic)、改进了的地理加权回归（geographicallyweightedregression）等先进方法。2计量地理学中的数学方法经过40多年的发展，计量地理学不断完善、不断成熟。目前，计量地理学中的数学方法，已经涉及到数学及其相关学科的各个领域。它不但继承了现代地理学中计量运动的成果，而且还吸收了40多年以来数学、系统理论、系统分析方法、计算机科学、现代计算理论及计算方法等领域内的有关成果，其内容十分丰富而广泛。2计量地理学中的数学方法数学方法用途概率论

用于地理现象、地理要素的随机分布研究。

抽样调查

用于地理数据的采集和整理。

相关分析

分析地理要素之间的相关关系。

回归分析

拟合地理要素之间的数量关系、预测发展趋势。方差分析研究地理数据分布的离散程度。时间序列分析用于地理过程时间序列的预测与控制研究。主成分分析用于地理数据的降维处理及地理要素的因素分析与综合评价。鱼鱼食Whereis“渔”?2计量地理学中的数学方法聚类分析

用于各种地理要素分类、各种地理区域划分。

判别分析

用于判别地理要素、地理单元的类型归属。

趋势面分析用于拟合地理要素的空间分布形态。协方差与变异函数用于研究地理要素的空间相关性及空间分布的数量规律。克立格法

用于地理要素分布的空间局部估计与局部插值。

马尔可夫过程

用于研究随机地理过程、预测随机地理事件。

线性规划

用于研究有关规划与决策问题。

投入产出分析

用于产业部门联系分析、劳动地域构成分析、区域相互作用分析。2计量地理学中的数学方法多目标规划

用于研究有关规划与决策问题。非线性规划

用于研究有关规划与决策问题。动态规划用于有关多阶段地理决策问题的求解。网络分析

用于交通网络、通讯网络、河流水系等地理网络的研究。层次分析法

用于有关多层次、多要素战略决策问题的分析。风险型决策分析法用于各种风险型地理决策问题的分析。非确定型决策分析法用于各种非确定型地理决策问题的分析。模糊数学方法用于各种模糊地理现象、地理过程、地理决策和系统评价研究。控制论用于地理过程、地理系统的调控研究。

信息论用于各种地理信息的分析、处理。突变论用于有关突发性地理现象、地理事件的研究。2计量地理学中的数学方法耗散结构理论用于有关地理系统、地理过程的组织与演化问题研究。协同学用于有关地理系统、地理过程的自组织问题研究。灰色系统方法用于灰色地理系统的分析、建模、控制与决策研究。系统动力学方法用于对地理系统的仿真、模拟和预测。分形理论用于有关地理实体的形态及要素分布形态的自相似机理研究。小波分析用于多层次、多尺度、多分辨率的地理时空过程的时频分析。人工神经网络用于有关地理模式的识别、地理过程机制的自学习及预测等。遗传算法用于复杂的非线性地理问题的计算。元胞自动机用于有关地理过程的计算机模拟。3对计量地理学的评价对于计量地理学，产生了三种观点：①“反定量化”——反对地理学定量化研究，认为地理现象十分复杂，不能用简单的数学方法来解释，对数学方法采取拒绝和否定态度。代表人物：史密斯（D.Smith）、奥格登(P.Ogden)等。3对计量地理学的评价②“定量化”——推崇地理学定量化，认为数学方法不仅是一种分析技术，而且能够导出普遍性规律，能够解决地理学传统研究方法所不能解决的理论问题。代表人物如克里斯塔勒（W.Christaller）、帮吉(W.Bunge)乔莱(R.Chorley)、哈格特(P.Haggett)等。3对计量地理学的评价③“非定量化”——认为数学方法只是地理学研究方法之一，只能用来研究地理要素之间的数量关系和地理事物的空间格局，不能用来描述和解释地理规律，不能导出地理学理论，但其观点摇摆不定。3对计量地理学的评价华东师大徐建华教授的观点：世界上的任何事物都可以用数值来度量。在现代地理学中，传统方法是数学方法的基础，数学方法是传统方法的重要补充。数学方法是人们进行数学运算和求解的工具，能以严密的逻辑和简洁的形式描述复杂的问题、表述丰富的实质性思想。地理学研究中，数学方法有其局限性。现代地理学中数学方法的形成和发展与计算机应用技术密切相关。我顶4计量地理学的应用分布型分析——对地理要素的分布特征及规律进行定量分析。相互关系分析——对地理要素、地理事物之间的相互关系进行定量分析。分类研究——对地理事物的类型和各种地理区域进行定量划分。网络分析——对水系、交通网络、行政区划、经济区域等的空间结构进行定量分析。4计量地理学的应用趋势面分析——做出地理要素的趋势等值线图，展示所要分析的地理要素的空间分布规律。空间相互作用分析——定量分析各种“地理流”在不同区域之间流动的方向和强度。系统仿真研究——对复杂地理系统的各种系统要素之间的相互关系与反馈机制进行分析，对真实系统进行模拟仿真，从而揭示其运行机制与规律。4计量地理学的应用过程模拟与预测研究：通过对地理过程的模拟与拟合，定量地揭示地理事物、地理现象随时间变化的规律，预测其未来发展趋势。空间扩散研究：定量地揭示各种地理现象，包括自然现象、经济现象、社会现象、文化现象、技术现象在地理空间的扩散规律。空间行为研究：主要是对人类活动的空间行为决策进行定量的研究。4计量地理学的应用地理系统优化调控研究：运用系统控制论的有关原理与方法，研究人地相互作用的地理系统的优化调控问题，寻找人口、资源、环境与社会经济协调发展的方法、途径与措施。地理系统的复杂性研究：地理系统是高度复杂的巨系统，其复杂系统研究已经引起了国际地理学界的高度重视。第二章经典数理统计方法（一）胡碧松博士/讲师2010-3-251相关分析相关分析(correlationanalysis)是对自然界和社会中的两种或多种现象是否相关进行分析的方法。相关分析的任务，是揭示地理要素之间相互关系的密切程度。而地理要素之间相互关系密切程度的测定，主要是通过对相关系数的计算与检验来完成的。1相关分析相关关系的类型：1.1两要素之间的相关分析相关系数的计算①定义:其中，和为两要素的平均值。②说明：-1<=<=1，大于0时正相关，小于0时负相关。的绝对值越接近于1，两要素的关系越密切；越接近于0，两要素的关系越不密切。（1.1）1.1两要素之间的相关分析相关系数的计算

③简化:相关系数的计算公式则为：（1.2）1.1两要素之间的相关分析相关分析实例表1.1伦敦的月平均气温与降水量资料来源：

1.1两要素之间的相关分析相关分析实例根据表1.1中的数据，我们可以利用公式（1.1），计算伦敦市月平均气温(t)与降水量(p)之间的相关系数为计算结果表明，伦敦市的月平均气温（t）与降水量(p)之间呈负相关，即异向相关。1.1两要素之间的相关分析利用SPSS软件做二元变量相关分析例：计算伦敦市月平均气温(t)与降水量(p)之间的相关系数1)打开SPSS软件，选择File->Open->Data导入数据。1.1两要素之间的相关分析2)选择Analyze->Correlate->Bivariate进行二元变量相关分析。3)导入月平均气温(t)与降水量(p)这两个计算的变量。1.1两要素之间的相关分析三种相关系数：两种显著性检验类型：1.1两要素之间的相关分析计算结果Pearson相关系数为-0.489，表明月平均气温（t）与降水量(p)之间呈负相关关系。1.1两要素之间的相关分析例：计算要素之间的相关系数矩阵1.1两要素之间的相关分析例：Analyze->Correlate->Bivariate1.1两要素之间的相关分析例2：1.1两要素之间的相关分析例：表1.2相关系数矩阵1.2偏相关分析偏相关系数的定义：在多要素所构成的地理系统中，先不考虑其他要素的影响，而单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度，这称为偏相关。用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。1.2偏相关分析单独分析两个变量之间的相关关系时，往往由于第三个变量的影响，导致其相关系数不能真实的反映这两个变量之间的线性相关程度。偏相关分析是考虑两个变量之间的相关关系时，考虑其它自变量的影响，把其它自变量当做常数，再计算这两个变量的相关系数。变量X、Y、Z之间有着关系，假设Z保持不变，再计算X和Y之间的相关系数，这个系数rxy.z就是一级偏相关系数。同理，当保持不变的自变量数量为两个或三个时，称之为二级或三级偏相关系数。1.2偏相关分析偏相关系数的计算公式：3个要素的偏相关系数)1)(1(2232132313123.12rrrrrr---=1.2偏相关分析偏相关系数的计算公式：4个要素的偏相关系数1.2偏相关分析例：对于某4个地理要素x1，x2，x3，x4的23个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：利用公式计算一级偏向关系数，如表1.3所示：r12·34r13·24r14·23r23·14r24·13r34·12-0.1700.8020.635-0.1870.821-0.337r12·3r13·2r14·2r14·3r23·1r24·1r24·3r24·1r34·20.8210.8080.6470.895-0.8630.9560.945-0.8750.371利用公式计算二级偏相关系数，如表1.4所示：4个要素的一级偏相关系数有12个，这里给出了9个；二级偏相关系数有6个，这里全部给出来了。表1.3一级偏相关系数

表1.4二级偏相关系数

1.2偏相关分析1.2偏相关分析利用SPSS软件做偏相关分析例：计算控制变量施肥量X的情况下，害虫危害程度Y与亩产Z的偏相关系数。1.2偏相关分析例：1)选择Analyze->Correlate->Partial进行偏相关分析。2)选择自变量害虫危害程度Y与亩产Z，选择控制变量为施肥量X。1.2偏相关分析例：计算结果1.2偏相关分析例：计算结果：——ryz.x=-0.960，P=0.181(零假设成立的概率)。虽然在控制施肥量X的情况下，害虫危害程度Y与亩产Z的偏相关系数为-0.960，但是由于其零假设成立的概率为P=0.181，说明二者不相关的概率较高。1.2偏相关分析例：计算偏相关系数矩阵控制变量为果园与林地面积之比、灌溉田占耕地面积之比。1.2偏相关分析Analyze->Correlate->Partial1.2偏相关分析表1.5偏相关系数矩阵1相关分析总结：1)二元变量相关分析和偏相关分析是最常用的两种相关分析方法，除此之外，还有自相关分析、距离分析等相关分析方法。2)相关分析的作用：揭示两个或多个要素之间的相关关系，定量描述要素之间的相关程度。1相关分析总结：3)当多个要素之间不存在典型相关关系时，仅考虑两个要素之间的相关程度，可用二元变量相关分析。4)当多个要素之间存在两两的相关关系，也即两个要素的相关关系受到其它变量影响时，应该用偏相关分析。1相关分析问题：1)举例说明二元变量相关分析可以解决哪些地理科学问题？e.g.分析地区GDP与商业用地使用状况的相关性2)举例说明偏相关分析可以解决哪些地理科学问题？e.g.分析光照时长的影响下，降雨量与空气湿度的相关性2回归分析回归分析->数理统计分析中的战斗机！回归分析(RegressionAnalysis)同样也是研究变量与变量之间的相关关系的，但与相关分析不同，回归分析注重的是在数据分析中的定量特性，能生成变量之间的数学表达式(经验公式)，还能通过回归分析对数据进行预测。包括：线性回归、曲线估计、非线性回归、逻辑回归、概率回归等。2.1一元线性回归分析定义：假设有两个地理要素(变量)x和y。其中，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：a和b为待定参数；为各组观测数据的下标；为随机变量。2.1一元线性回归分析记和分别为参数a与b的拟合值，则一元线性回归模型为上式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；是y的估计值，亦称回归值。2.1一元线性回归分析参数a、b的最小二乘估计：参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与的误差ei的平方和达到最小，即根据取极小值的必要条件，有2.1一元线性回归分析参数a、b的最小二乘估计：根据上述条件可得到参数a与b的拟合值：2.1一元线性回归分析利用SPSS软件做一元线性回归分析例：对伦敦的月平均气温X与降水量Y做一元线性回归分析。2.1一元线性回归分析利用SPSS软件做一元线性回归分析1)选择Analyze->Regression>Linear进行线性回归分析。2)选择月平均气温X为自变量(Independent)，选择降水量Y为因变量(Dependent)。2.1一元线性回归分析计算结果-1：引入或剔除的变量(VariablesEntered/Removed)回归方法为强迫引入法(Enter)；变量月平均气温X被引入；因变量是降雨量Y。2.1一元线性回归分析计算结果-2：模型摘要(ModelSummary)：相关系数R=0.489；判定系数R2=0.240；调整判定系数AdjustedR2=0.164；估计值的标准误差Std.Error=10.7095。2.1一元线性回归分析计算结果-3：方差分析(ANOVA)：回归的均值平方Regression-MeanSquares=361.405;剩余的均值平方Residual-MeanSquares=1146.932；F=3.151；P=0.106;月平均气温X与降水量Y的直线关系不显著。2.1一元线性回归分析计算结果-4：回归系数(Coefficients)：常数项Constant=74.327；回归系数B=-1.201；回归系数的标准差Std.Error=0.677；标准化回归系数Beta=-0.489；回归系数t检验的t值=10.274，P=0.106(与方差分析一致)；一元线性回归方程：Y=74.327-1.021x2.1一元线性回归分析线性回归对话框选项按钮说明：1)【Dependent框】:因变量（1个）2)【Independent框】:自变量（1个或多个）3)【Block按钮组】:用于将下面Independent框中选入的自变量分组4)【Method下拉列表】:包括Enter（强迫进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）5)【SelectionVariable框】:选入一个筛选变量，并利用右侧的Rules按钮建立一个选择条件6)【CaseLabels框】:选择一个变量，其取值将作为每条记录的标签2.1一元线性回归分析线性回归对话框选项按钮说明：7)【WLS>>钮】:可利用该按钮进行权重最小二乘法的回归分析8)【Statistics钮】:弹出Statistics对话框，用于选择所需要的描述统计量9)【Plot钮】:弹出Plot对话框，用于选择需要绘制的回归分析诊断或预测图。可绘制的有标准化残差的直方图和正态分布图，应变量、预测值和各自变量残差间两两的散点图等。10)【Save钮】:用来存储中间结果的。可以存储的有：预测值系列、残差系列、距离（Distances）系列、预测值可信区间系列、波动统计量系列。11)【Options钮】:用来设置回归分析的一些选项2.1一元线性回归分析例：依据气象台站的地理位置及多年平均降水量与蒸发量数据，进行降雨量Y和纬度X的回归分析。2.1一元线性回归分析例：降雨量Y和纬度X的散点图，呈线性相关关系。2.1一元线性回归分析例：Analyze->Regression>Linear2.1一元线性回归分析计算结果-1：由于只引入了一个自变量，所以只出现了一个模型1（在多元回归中就会依次出现多个回归模型）；该模型中纬度为进入的变量，没有移出变量；具体的进入/退出方法为Enter。2.1一元线性回归分析计算结果-2：相关系数R=0.904；判定系数R2=0.816；调整的判定系数为AdjustedR2=0.813。2.1一元线性回归分析计算结果-3：回归的均值平方Regression-MeanSquares=1960208.642;剩余的均值平方Residual-MeanSquares=440933.547；回归模型F值为226.725，p值为0.000。2.1一元线性回归分析计算结果-4：常数项Constant=3395.584；回归系数B=-82.188；回归系数的标准差Std.Error=5.458；标准化回归系数Beta=-0.904；一元线性回归方程：Y=3395.584-82.188x2.2多元线性回归分析多元线性回归模型的结构形式为式中：为待定参数；为随机变量。2.2多元线性回归分析如果分别为上式中的拟和值，则回归方程为式中，b0为常数，b1,b2,…bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其他自变量都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。2.2多元线性回归分析偏回归系数的推导过程:根据最小二乘法原理，的估计值应该满足：取极小值的必要条件：具体推导过程略。2.2多元线性回归分析利用SPSS软件做二元线性回归分析例：依据气象台站的地理位置及多年平均降水量与蒸发量数据，进行降雨量Y和经度X1、纬度X2的二元线性回归分析。2.2多元线性回归分析左图：降雨量Y和经度X1的散点图右图：降雨量Y和纬度X2的散点图2.2多元线性回归分析Analyze->Regression>Linear自变量：降雨量Y因变量：经度X1、纬度X22.2多元线性回归分析计算结果-1：进入的变量包括经度X和纬度Y两个。进入/退出的方法为Enter(强迫进入法)。计算结果-2：相关系数R=0.906；判定系数R2=0.821；调整的判定系数为AdjustedR2=0.814。2.2多元线性回归分析计算结果-3：回归的均值平方=1971526.007;剩余的均值平方=429617.182；回归模型F值为114.726，p值为0.000。2.2多元线性回归分析计算结果-4：常数项Constant=2264.321；回归系数B分别为7.828和-73.338；回归系数的标准差分别为6.821和9.438；标准化回归系数Beta分别为0.119和-0.806；二元线性回归方程：Y=2264.321+7.828x1-73.338x22.2多元线性回归分析利用SPSS软件做三元线性回归分析例：依据气象台站的地理位置及多年平均降水量与蒸发量数据，进行降雨量Y和经度X1、纬度X2、年蒸发量X3的三元线性回归分析。2.2多元线性回归分析计算结果：常数项Constant=1956.150；回归系数B分别为6.290、-56.412和-0.89；三元线性回归方程：Y=1956.150+6.290x1-56.412x2-0.89x32.3非线性回归分析通用思路：将非线性关系经过特定规则转换为线性关系。难点：如何考虑两个非线性相关的变量之间的关系，智能化判定最佳拟合曲线模型。目前主要是不断建立新的非线性模型，形成数量庞大的非线性模型库。SPSS也支持自定义非线性模型，用以用户自定义的非线性回归分析。2.3非线性回归分析非线性关系线性化的几种情况：对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；

对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；2.3非线性回归分析对于双曲线，令，转化为直线形式：；对于S型曲线，可转化为直线形式：；对于幂乘积，只要令，就可以将其转化为线性形式其中，；2.3非线性回归分析对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式

非线性关系线性化的几种情况：2.3非线性回归分析例:表中给出了某地区林地景观斑块面积（area）与周长（perimeter）的数据。建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。表：某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）2.3非线性回归分析解:（1）作变量替换，令：，，将表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如表所示。

序号y=lnAx=LnP序号y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.