第3章测试信号的时域分析与处理

本章学习要求：1.掌握信号时域特征的获取方法2.掌握信号与数据的插值方法3.了解信号与数据的拟合方法4.掌握数值微分和数值积分5.了解时域信号的平滑和建模数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理，以便把信号变换成符合某种需要的形式。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。

数字信号处理基础数字信号处理中常用的运算有差分方程计算、相关系数计算、离散傅里叶变换计算、功率谱密度计算、矩阵运算、对数和指数运算、复频率变换及模数和数值转换等。数字信号处理的优势1)用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械结构2)计算机软硬件技术发展的有力推动a)多种多样的工业用计算机。

b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统物理信号对象传感器电信号放大调制电信号A/D转换数字信号计算机显示D/A转换电信号控制物理信号测试信号数字化处理的基本步骤预处理数字处理a、信号调理（预处理）：是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。对输入信号的幅值进行处理，使信号幅值与A／D转换器的动态范围相适应；衰减信号中不感兴趣的高频成分，减小频混的影响；隔离被分析信号中的直流分量，消除趋势项及直流分量的干扰解调b、A／D转换：是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方。信号经过上述变换以后，即变成了时间上离散、幅值上量化的数字信号。采样――利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号的过程．编码――将经过量化的值变为二进制数字的过程。

量化(quantization)――把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化．4位A/D:XXXXX(1)0101

X(2)0011

X(3)0000

C、数字信号分析：可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。

数字信号处理的主要内容包括频谱分析、功率谱分析、相关分析、数字滤波与信号的识别等。目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。

d、结果显示：一般采用数据和图形显示结果

信号的时域处理是处理观测结果的首要任务。如最大值，最小值、过零点等。对于随机信号，其统计特性的获取是其时域处理的主要内容。本章以讨论时间序列x(n)的处理方法为主。3.1信号时域特征的获取方法假如采集的信号为模拟电压信号x(t),经过ADC后变为按一定时间间隔Ts采样的时间序列x[n]。如果ADC容许的工作范围（满量程值）记为Q，在这个范围内模拟信号将被划分为差值相等的（2N-1）个数，因此采样信号的分辨率可定为如图3-1所示，在任一采样间隔内，x(t)是连续变化的，而x(n)为常数，由A/D转换所造成的量化误差（量化噪声）为e=x(t)-x(n)。e的值在±q/2范围内作均匀分布。3.1.1采样信号的主要特点e的均值为

e的方差为

e的标准差为由量化噪声形成的信噪比SNR定义为信号x(t)的均方值与量化噪声的方差之比。3.1.1采样信号的主要特点1.零线的获取方法测试信号的零线通常并不与数据采集系统的零点重合。记录数据后需要找出并恢复零线。在测试时须先记录一段零信号（见图3-2），在该水平段范围内取足够数量的采样值求其算术平均值作为曲线的零点，其他各点的幅值由采样值减去零线的值即可。3.1.2时域信号的特征值获取方法2.峰值的获取方法对采样所得的时间序列，逐点进行判读，记下出现最大或最小值的点，减去零线值就得到峰（或谷）值。在多峰时，可以人工将序列分段，每段只含一个峰，然后进行搜索。3.1.2时域信号的特征值获取方法但这种搜索方法往往难以保证精度。原因:峰值正好在两次采样间隔之间峰值附近有一较大毛刺（1）采样率与峰值判读的误差关系因为很难保证采样点刚好与峰值点重合，采样点的信号值必然小于峰值。误差与峰值附近曲线的变化率和采样频率有关。例子，p303.1.2时域信号的特征值获取方法由上例可知要通过简单搜索方法获取一定精度的峰值数据，采样频率应远大于采样定理要求的两倍关系。但采样频率过大有其不合理之处。可以采取建立插值多项式的方法。（2）干扰噪声对峰值判读的影响干扰噪声过大时，不能用插值多项式来获取峰值，需采用曲线拟合的方法。或采取其他数据平滑措施（例如滑动平均法）后再判读峰值。3.1.2时域信号的特征值获取方法3.信号周期、上升时间和脉冲宽度的获取方法上述几个值的获取以过零点的判读为基础。方法：设零线值为x0，选定一个零点判读容许误差限±δ，然后对序列x[n]进行搜索，凡是满足条件x0-δ<x[n]<x0+δ的点就判定为过零点。与峰值类似，当采样频率不足时，零点判读也会出现严重误差。可用插值法或拟合法进行修正。例如：p30

3.1.2时域信号的特征值获取方法确定性信号、随机信号纯随机信号（例如发动机噪声）、随机信号包含确定性信号（例如纸张厚度、自由落体的速度）3.1.3随机信号统计特性的获取测试信号尽管是随机的，但包含着许多重要信息。从随机信号中提取有用信息，首先是提取其统计特征值。本书只讨论各态历经随机信号。本章只讨论随机的时间序列。

(教材P21图1.11)

随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，但其值的变化服从统计规律。

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。

在同一试验条件下，全部样本函数的集合就是随机过程。补充知识：各态历经随机信号随机过程的样本函数00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt补充知识：各态历经随机信号

时间平均是按单个样本的时间历程进行平均的计算。

总体平均是某时刻对所有样本函数的观测值求平均的计算。

平稳随机过程是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。否则就是非平稳随机过程。

各态历经随机过程是平稳随机过程中任取一个样本函数，其时间平均参数与所有样本函数在某时刻的总体平均参数一致。一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。补充知识：各态历经随机信号

时间均值：适用于纸张厚度

样本均值：适用于自由落体速度

1.均值设共进行了K此测试，每次测试得到的序列为然后对每个时间点的K个数据进行平均

均值不能反映随机序列幅度变化的大小，方差和标准差可以给出这方面的信息。

时间序列x[n]的（均）方差记为δx

2或var（x[n]),定义为：２.方差(variance)及标准差(standarddeviation)

如果将均值看作是x[n]的直流分量的幅度，那么方差描述了交流分量的强度。标准差定义为方差的平方根。补充知识：白噪声

白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，

由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。补充知识：白噪声理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。白噪声信号波形特征

（是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程，此信号在各个频段上的功率是一样的。）

方差不能反映交变分量变化的快慢及信号幅值的分布状况。

时间序列x[n]的自协方差定义为：３.自协方差与自相关系数

当ｋ＝０时，当ｘ［ｎ］为白噪声序列时，则有

这也是白噪声最重要的特征之一，说明白噪声序列的每一个值都是独立的，序列完全没有记忆，其变化极快，具有无限的信号带宽。是一种理想信号。

序列在ｋ较小时取正值，随着ｋ值的增加而趋近与零。趋近与零的速度越慢，表明信号的记忆性越强，变化也较慢。３.自协方差与自相关系数

自相关系数的定义为：

自相关系数可以看做是归一化的自协方差。关于相关将在第５章详细讨论。p(x)的计算方法：

信号的幅值域分析包括信号的幅值概率密度函数分析和幅值概率分布函数分析，它反映了信号落在不同幅值强度区域的概率密度和概率分布情况。4.概率分布直方图

以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。直方图概率密度函数归一化概率分布函数

概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。

不同的随机信号有不同的概率密度函数和概率分布函数图形，由此可判别信号的性质。

已有的概率分布函数有很多，常见的有正态分布（高斯分布）和均匀分布。白噪声符合正态分布，量化噪声符合均匀分布。4.概率分布

设ｙ＝ｆ（ｘ）为区间［ａ，ｂ］上的连续函数，已知离散数据（ｘｉ，ｙｉ）满足ｙｉ＝ｆ（ｘｉ）。代数插值就是要寻找一个代数式ｐ（ｘ）满足条件3.２信号与数据的插值方法3.２.1代数插值方法概述

工程上一般选用多项式作为ｐ（ｘ）的函数形式。原因有二。可以证明（见Ｐ３５）只要基点ｘｉ没有相同的，就有唯一的多项式满足插值条件（上式）。用通常方法求取多项式系数计算过于复杂。因此提出拉格朗日和牛顿插值。

为便于求得插值多项式，将式（３.２－３）中的多项式改为Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式：3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值

式中，ｌｉ（ｘ）称为朗格朗日基本多项式，可以取

注意，上式分子中没有（ｘ－ｘｉ）项，分母中没有（ｘｉ－ｘｉ）项。

于是Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式可写为：3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值１.拉格朗日线性插值：设已得未知函数的两点（ｘ０，ｙ０），（ｘ１，ｙ１）。求通过这两点的插值多项式。代入上式得：

这是经过两点的直线方程，所以这种插值方法称为线性插值。3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值２.二次（抛物线）插值：设已得未知函数的三点（ｘ０，ｙ０），（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）。求通过这三点的插值多项式。取ｎ＝２得：

这是一个ｘ的二次多项式，如三点不在一条直线上，则是一个抛物线。因此，这种插值方法叫二次插值或抛物线插值。见图３－３3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值２.二次（抛物线）插值：例３－１

插值基点已知时，插值多项式p(x)是唯一的；然而通过这些插值点的f(x)却有无数种可能。对差值余项的估计可采取后验估计法：

首先选定插值点ｘ属于(a,b),比较和

是否近似相等。若相等，则取作为插值多项式，否则增加基点计算，并与比较，一直到精度满意为止。3.２.3牛顿（Newton）插值法

拉格朗日插值法在增加基点时必须重新计算，为克服这个缺点，引入牛顿插值法等。牛顿插值多项式的形式为：

不难看出Nn(x)可由Nn-1(x)通过增加一个新项而得。当已经求得Nn-1(x)时，只要求得an即可通过上述递推关系求得Nn(x)

；而a0，a1．．．an-1并不需要重新计算。这就是牛顿插值法的主要优点。

3.２.3牛顿（Newton）插值法

当已知n+1个数据求插值多项式Nn(x)时，只需将数据代入上式中得到线性方程组：

可用线性代数求解上述方程组。另外，这是一个下三角方程，所以可用递推法求解。（略）

3.２.4多项式插值的误差

多项式插值在基点（数据点）处误差为零，但在其他地方存在误差。例3-3、例3-4

由例子可知，插值区间中间部分误差较小并随多项式阶次增加而减小。而两端误差较大并可能随多项式阶次增加更大（图3-6）。称为Runge现象。

为克服Runge现象所形成的误差，7阶以上的多项式实际很少采用。在数据点很多的情况下，通常采用两种方法克服Runge现象。第一，采用低阶（3阶以下）多项式插值（下节讨论）。

3.２.4多项式插值的误差其根为：

当插值区间不是（-1,1）而是（a,b)时，要做区间变换。

例3-5

第二，可以采用在插值区间的中间减少数据点且在边上适当加密的方法。目前常用的为切比雪夫点。

3.２.5分段插值和样条函数分段插值：将插值区间划分为一系列的子区间，每个子区间只包含少量的基点，在子区间内用低阶多项式插值，这就叫分段插值。

当插值区间较大，数据点很多时，低阶多项式插值，误差大。高阶插值，计算量大。分段插值可以改善插值精度。

缺陷：插值结果所得的分多项式在区间交界点上其导数是不连续的。样条函数正是根据这种要求而研究出来的。（略）

3.3信号与数据的拟合方法插值要求插值函数通过所有数据点，当插值点误差很小时，是合理的。但随机误差过大时，这种要求会使得插值曲线变得复杂而不合理。

更合理的方法是设法找到一条曲线，它并不通过所有数据点，但所有的点与曲线都相当贴近。这样的曲线称为拟合曲线，求取曲线的过程称为曲线拟合。

3.3.1最小二乘拟合曲线有了数据（xi,yi)之后，首先选定g(x)的函数形式。方法1：依靠对被测对象的已有知识，找到描述被测过程的数学模型（函数形式比较简明），就可以作为g(x)的具体形式，然后根据已有数据确定待定系数。方法2：根据已有数据作出曲线或在显示器上显示，根据图形选定一个与其轨迹近似的函数。

多项式阶数、系数改变时曲线形式丰富，被大量选用。

3.3.1最小二乘拟合曲线将各个数据点代入f(x)将得到N个如下形式的方程：

ei称为残差，残差越小，拟合效果越好，定量判定拟合效果的判据有以下几种：

最大误差：

平均误差：

均方根误差：

3.3.1最小二乘拟合曲线最大误差只以一个点的残差判断数据优劣，显得不够全面。平均误差则比较全面。均方根误差从统计学角度有其重要含义，因此通常把E2(f)最小的曲线认为是最佳的曲线。要使E2(f)最小，只要最小，这叫最小二乘原理。下面讨论最小二乘拟合直线的求法。

1.最小二乘直线拟合已知一组数据（xi,yi),欲求最小二乘直线即要求系数A，B能保证下式为最小值。

为此应令E（A，B）对A和B的偏导数均为零可得：该方程组称为最小二乘直线的正规方程（法方程），解之可得A，B。2.最小二乘多项式拟合选定拟合函数的形式为K阶多项式曲线与数据点的残差为

残差平方和为为使E(c)最小化，可令E关于ci的偏导数为零，得到一组K+1个方程称为正规方程，解之可得待定系数ci,也就是得到了最小二乘多项式。补充知识：差分方程与Z变换

差分的概念：一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用dy/dt来刻画的；对离散型的变量y[n],常取在规定的时间区间上的差商Δy[n]/Δt来刻画变量y[n]的变化率。如果选择Δt=1，则可以近似表示变量y[n]的变化率。这就是一阶差分。二阶差分：补充知识：差分方程与Z变换很多系统本身就是在离散时间内运算的。例如股票市场、人口统计等分析中，关注的是某数据x[n]的慢变化趋势，为了滤除少量数据的过大起伏，往往计算某一段时间间隔内数据的平均值y[n]。设共取2M+1个数据，则有方程某人从银行贷款，月息为β，设第n个月还款x[n]元，月底剩余欠款y[n]元，则y[n]为上月的欠款及利息减去当月还款后的值。补充知识：差分方程与Z变换例如，用计算机求解微分方程选取合适的时间间隔Ts对连续时间信号采样，y[n]=y(nTs),x[n]=x(nTs),y(t)在t=nTs处的导数可用y[n]邻近的样点近似求解。由以上两式得：整理的：补充知识：差分方程与Z变换无论何种离散系统，其输入输出均为数据序列，系统按特定规律对输入输出数据进行运算。系统一般可用差分方程描述，其形式为：其中N为差分方程的阶数。差分方程是微分方程的离散形式。补充知识：差分方程与Z变换与拉普拉斯变换在连续信号与系统中起的作用类似，z变换是分析离散时间信号与系统的重要工具。离散时间信号x[n]的z变换X(z)为复变量z的函数，变换域函数x[z]与时间域函数x[n]具有相同的信息。序列x[n]的z变换为：例如：单位样值序列和单位阶跃序列的Z变换分别为，补充知识：差分方程与Z变换

z变换的性质：1.线性

2.移位

3.z域微分补充知识：差分方程与Z变换

z变换的性质：4.Z域尺度变换

5.初值定理

6.卷积定理补充知识：差分方程与Z变换

系统的传递函数：Z域零状态响应与激励的比值。当系统的差分方程给出时，设为在零状态条件下，对上式两边取z变换，传递函数为3.4数值微分和数值积分数据采集系统记录的变化曲线，实际上都是按一定采样周期Ts采样所得的时间序列。数据处理时要求对这些“曲线”进行微分或者积分。但其没有具体的函数形式，因此只能采用数值积分或数值微分。3.4.1差分近似微分常用的有以下三种差分近似方法：向前差分近似向后差分近似

中心差分近似二阶导数可用二阶差分近似，以向前差分为例：3.4.2插值多项式的导数对已知数据点（xi,yi)可以通过插值或拟合而得到能反映y=f(x)关系的多项式：

在x=0处，p(x)的k阶导数如果要求x=a处的各阶导数，可以做一次坐标变换，令然后对数据点（zi,yi)建立插值多项式或拟合多项式求出上式在z=0处的导数即在x=a处的导数。3.4.3数值积分法求积分就是求曲线下面的面积，但现在只有数据点而没有曲线，因此计算结果与如何在数据点之间插值关系密切。数据点之间用直线连接（线性插值），称为梯形法。用3个或4个数据点作二阶或三阶多项式插值，然后计算面积，称为辛普森法。用四阶多项式插值，称为科特斯法。N阶拉格朗日插值，牛顿-科特斯法。1.牛顿-柯特斯公式用n阶拉格朗日多项式pn(x)去逼近f(x),由（3.2-6)得故

式中1.牛顿-柯特斯公式ωi称为权系数，而牛顿-柯特斯积分公式为由式3.2-7可知，li(x)只与自变量x及多项式阶数n有关，而与函数值y=f(x)无关，因此Ai是与被积函数无关的一组数据。经推导（过程略）得：表3-3给出了各阶多项式的权系数值，将系数代入上式得2.组合积分方法高于四阶的效果不好，计算繁杂，误差较大。因此可用低阶的公式进行组合积分。当b-a较大时，可将区间(a,b)等分成几个子区间，然后分段进行梯形积分并相加。上式称为组合梯形积分公式2.组合积分方法如果分段进行辛普森积分并相加，则将积分区间分为m(m=2n)个子区间，并取两个子区间（含三个数据点）为一个积分子区间，进行二阶多项式插值后求积分。由3.4-14可得上式称为组合辛普森积分公式3.5时域信号的平滑与建模有用信号（确定性信号或随机信号）一般都是与干扰信号（与有用信号无关的随机信号）混合在一起的。本节讨论的就是如何将有用信号提取出并探明有用随机信号和干扰噪声的统计特性。

测试信号x(t)可看做趋势项y(t)和随机噪声u(t)相加的结果。

y(t)是有用信号，通常比x光滑，反映了x走向趋势。u(t)是信号x的随机部分，对u建模就是确定其统计学特性（均值、方差、概率密度函数、概率分布函数）。对信号的建模包含对其趋势项和随机项的建模。3.5.1滑动平均（MA）模型与曲线拟合类似，可以在一个较长的时域信号中摘取一小段，然后用多项式或直线去逼近其趋势项，从而达到信号平滑的目的。

信号建模就是确定上述多项式的阶数和系数。虽然最小二乘法也适用，但由于时域信号量大，因此计算量太大，需考虑其他方法。在时间序列x[n]中某一点x[n]前后各取k个数据点，并通过这2K+1个数据拟合一个最小二乘直线，则这条直线一定通过平均数据点。3.5.1滑动平均（MA）模型令x[n]的平均值作为趋势项y[n]的估计值，就等于在该点上应用了最小二乘直线的估计值，却没有进行繁复的系数估算。对时间序列x[n]逐点进行上述平均处理，称为滑动平均MA（MovingAverage)。也可以采用递推算法：3.5.1滑动平均（MA）模型考虑时间间隔越久远的数据对某时刻信号的影响越小，因此引入加权平均的概念。将3.5-5改写为式3.5-5相当于等权平均。ai应满足否则将引进不应有的增益或衰减。一般在所考虑的2k+1个数据点中间取最大权值，然后向前后对称递减，递减规律可以是线性也可是非线性。(以三角形分布为例，p59)3.5.1滑动平均（MA）模型如果对所选数据点进行非线性拟合并按拟合结果进行平滑，其结果就相当于加权平均平滑。下面以二阶多项式拟合为例说明，例如取五个点x[n-2],x[n-1],x[n],x[n+1],x[n+2],并将时间坐标原点移到x[n]处，这样得到5对数据。对此用最小二乘法求二次拟合曲线得3.5.1滑动平均（MA）模型要求a0,a1,a2来保证E最小，可对E求偏导数，令其为零并解方程组（过程略），取t=0时的作为y[n]的估计值，即显然这相当于取滑动平均的权系数为至于取更多点数据做多项式拟合平滑，相应的模型可用以下差分方程表示，系数可查表3-5第1、3章作业1.测试信号的物理特性千差万别，但按其变化特点来看可以分为三类，试问分别为哪三类并简述各自特点。2.测试信号处理及分析的主要目的（内容）有哪些？3.某12位AD转换器工作范围为0-5V，试求该AD转换器的分辨率q及其量化噪声的标准差δe.4.时域信号中峰值是如何获取的，造成峰值误差的原因有哪些？5.假如测量获取的时间序列x[n]为[1.1,1.2,1.3,1.2,1.2,1.1],试求其均值和方差。第1、3章作业6.求通过数据点（1,1)(1.2,1.5)(2,4)的拉格朗日二次（抛物线）插值。7.什么是Runge现象，克服Runge现象的两种方法是什么。8.在数据拟合时，选定拟合函数形式的方法有哪些？最常用的函数形式是什么，为什么？9.常用的差分近似求法有哪些？写出计算公式并绘图说明。10.常见的数值积分方法有哪些，简要说明之。3.5.2自回归模型测试数据大都存在一定的“惯性”或“记忆”现象。采样间隔Ts足够小时，y[n]与y[n-1]甚至更早的值y[n-i]是相关的。可将y[n]表示为其以前数据的线性组合，即上式称为y的p阶自回归AR（Au