高等代数课件 第1章 行列式 1.1 排列

用消元法解二元线性方程组一行列式问题的引入

1、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.例1解2、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标(2)对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组

2.

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.若记或记即得得则三元线性方程组的解为:例２

解按对角线法则，有例3解方程左端例4

解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算3、小结二数码排列

1、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有2、全排列及其逆序数问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.

个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理

在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1

求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.3、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如4、对换与排列的奇偶性的关系定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理2

阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.证明按行列式定义有记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而例2

在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边应带正号.行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.例3

用行列式的定义计算解

1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.思考题解答证

设在全部阶