第二章 时域离散信号和系统的频域分析

第二章

时域离散信号和系统的频域分析本章内容：

2.1引言

2.2时域离散信号的傅里叶变换

2.3时域离散信号的Z变换

2.4利用Z变换对信号和系统进行分析2.1引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性和运算：直观，物理概念会比较的清楚。分析信号在频率分布上的特性和运算：这给了我们换个视角观察信号的机会，我们会发现许多在时间域上得不到的特性和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2时域离散信号的傅里叶变换返回2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义2.2.2周期信号的离散傅里叶级数2.2.3周期信号的傅里叶变换2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义定义为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(FourierTransform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足下面的公式：对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够用傅里叶变换表示出来。(2.2.1)回到本节返回离散信号FT和模拟信号FT的比较：离散信号FT

模拟信号FT可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域频域的转换，不同处：时间变量：n取整数，求和运算；t取连续变量，积分运算。频域变量：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期；Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。回到本节返回2.2.2周期信号的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，具有周期性，能够展成傅里叶级数，即：式中，ak是离散傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本节返回将上式右边的两个求和号交换位置，得到：式中回到本节返回因此得到上式中,k和n均取整数，当k变化时，是周期为N的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即

ak=ak+ln令将式(2.2.7)代入上式，得到这里是以N为周期的周期序列。一般简称为的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete

FrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本节返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶级数对。这里和均是周期为N的序列。(2.2.11)返回回到本节2.2.3周期信号的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换表达式在模拟系统中，的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，即对于时域离散系统中的复指数序列，仍假设它的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此的傅里叶变换应写为：回到本节返回例2.1：令，为有理数，求其傅里叶变换。解:

将用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为返回回到本节上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在处的冲激函数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列，为有理数，它的傅里叶变换为回到本节返回2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表2.2.2。本小节重点介绍：傅里叶变换的周期性频域卷积定理傅里叶变换的对称性回到本节返回傅里叶变换的周期性：频域卷积定理：假设，，则交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理亦称为调制定理回到本节返回傅里叶变换的对称性：一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部：复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下标e和o表示共轭对称序列满足复反共轭对称序列满足回到本节返回一般序列傅里叶变换的对称性质一般序列可以表示为其实部的傅里叶变换可以用下式来表示将上式右面的ω加负号，在将右边取共轭，右边表达式不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，可以用表示。很容易证明，将j乘以实数序列

的傅里叶变换具有共轭反对称性质，用表示。返回回到本节这样式中这样我们能够得到结论：一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。返回回到本节如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即由我们得到对上面两式分别求傅里叶变换，得到返回回到本节这样我们能够得到结论:傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包括j)对应序列的共轭反对称部分。值得注意：在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列相当于一般的序列中只有实部，没有虚部，因此实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称的，且是纯虚函数。返回回到本节2.3时域离散信号的Z变换在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。本节主要讲述:返回

2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系

2.3.2Z变换的收敛域与序列特性之间的关系

2.3.3逆Z变换

2.3.4Z变换的性质和定理2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系Z变换的定义定义序列X(n)的Z变换为式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求和极限为-∞～+∞，故亦称为双边Z变换，当求和极限为0～+∞时，为单边Z变换，本书不做说明时均为双边Z变换。Z变换存在的充分条件为

返回回到本节Z变换的收敛域为使Z变换存在的的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛域一般用环状域表示，即Rx-<|z|<Rx+，Rx-和Rx+分别称为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大半径可以达到+∞。收敛域是Z变换非常重要不可缺少的一部分回到本节返回Z变换和傅里叶变换之间的关系Z变换令上式中的，得到式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是数字频率。这样，就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶变换。回到本节返回如果r==1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就是Z平面单位圆上的Z变换。单位圆必须包含在收敛域中，否则单位圆上的Z变换不存在，傅里叶变换也就不存在。回到本节返回2.4利用Z变换对信号和系统进行分析傅里叶变换和Z变换都是对信号和系统进行分析的重要数学工具。信号的频域分析指的是信号的傅里叶变换，Z变换则是分析域更为扩大的一种变换，Z变换比傅里叶变换的应用更广泛。本节主要讲述

2.4.1系统的传输函数和系统函数

2.4.2根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

2.4.3用Z变换求解系统的输出相应

2.4.4

根据系统的零、极点分布分析系统的频率特性返回2.4.1系统的传输函数和系统函数系统的时域特性用单位脉冲响应表示，对进行傅里叶变换，得到称为系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性，所以又称为系统的频率响应函数。将进行Z变换，得到一般称为系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。回到本节返回如果的收敛域包含单位圆=1，则和之间的关系为因此系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换。它们之间有区别，但有时为了简单，也可以都称为传输函数。设系统的输入x(n)=，对于因果稳定系统，其稳态输出为式中上式中称为幅频特性，称为相频特性。回到本节返回2.4.2根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性如果系统用N阶差分方程表示，即将上式进行Z变换，得到系统的系统函数回到本节返回将上式进行因式分解，得到式中，是的零点，是它的极点，A是常数。A仅决定幅度大小，不影响频率特性的实质。系统函数的零、极点分布都会影响系统的频率特性，而影响系统的因果性和稳定性的只是极点分布。回到本节返回系统的因果性指的是系统的可实现性，如果系统可实现，它的单位脉冲响应一定是因果序列。而因果序列Z变换的极点均集中在以为半经的圆内。因此得到结论，因果系统的系统函数的极点均在某个圆内，收敛域包含∞点。

回到本节返回如果系统稳定，则要求，按照Z变换的定义

因此得到结论:系统稳定时，系统函数的收敛域一定包含单位圆，或者说系统函数的极点不能位于单位圆上。综上所述，得出系统因果稳定的条件:的极点应集中在单位圆内。回到本节返回2.4.4根据系统的零、极点分布分析系统的频率特性系统用N阶差分方程描述，系统函数如下式所示式中，和分别是系统函数的零点和极点，共有M个点和N个极点。系统的频响特性主要取决于系统函数的零极点分布，系数A只影响幅度大小。回到本节返回下面介绍用几何方法分析研究零极点分布对系统频率响应特性的影响。将系统函数分子、分母同乘以，得到上式中如果，表示延时(N-M)个单位，，则表示超前(N-M)个单位。回到本节返回设系统稳定，将代入上式，得到

对于，在Z平面上可以用坐标原点O到单位圆上B点的失量OB来表示，该矢量的长度是1，相角ω就是和水平坐标之间的夹角。(2.4.20)回到本节返回当频率ω由0连续增大，经过再到2时，矢量OB便围绕坐标原点逆时针旋转一圈，如下图(a)所示。对于极点z=，在Z平面上则用坐标原点O到的矢量表示。相应的零点用表示。回到本节返回对于，则用从极点到单位圆上一点B的矢量表示，该矢量称为极点矢量。极点矢量的长度用表示，矢量的相位，就是矢量和水平坐标之间的夹角，用表示。对于零点，有零点矢量，用表示，零点矢量的长度用表示，相位用表示。零极点矢量如下图(b)所示。回到本节返回将零极点矢量用下式表示，用上面两式表示，得到回到本节返回式(2.4.22)说明，系统的幅频特性等于系统零点矢量长度之积除以极点矢量长度之积。式(2.4.23)说明，相频特性等于与零点矢量的相角之和减去极点矢量的相角之和（设A>0）。(2.4.22)(2.4.23)幅频特性：相频特性：回到本节返回当频率ω由0变化到2时，这些零、极点矢量的终点B沿单