第七章无穷级数习题课(二)

第七章无穷级数习题课(二)函数项级数一、幂级数

1．幂级数的基本概念(1)

幂级数的定义：(2)收敛半径：

(3)幂级数的和函数：

或收敛区间：

存在正数

当幂级数收敛，当幂级数发散，称为幂级数的收敛半径。

收敛域：收敛点的全体

2．幂级数和函数的性质

（1）连续性：

（2）可导性：

（3）可积性：

3．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即型、

型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。

对于型，通过求，得半径，

然后讨论处的敛散性，从而得收敛域；对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。对于型，令,化为型,可得收敛域；解题方法流程图

求幂级数收敛域

判别幂级数类型收敛域收敛域

令

讨论处的敛散性，，其它讨论处的敛散性

当时收敛当时发散

用比值法令

1234．幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先积分后求导”等技巧，并利用与形如（或等）幂级数的和函数，求出其和函数。解题方法流程图如下图所示。

求的和函数令NoYesYesNo能直接求出和函数恒等变换直接求和逐项积分逐项求导逐项求导逐项积分Yes能直接求出和函数NoYesNo能直接求出和函数解题方法流程图5．典型例题

【例1】求幂级数的收敛半径及收敛域。解：

当时，级数为，该级数收敛。当时，级数为，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为。

【例2】求幂级数的收敛域。解：令，原级数变为

所以，即时，幂级数收敛。当时，级数为，为交错级数收敛，

当时，级数为，为P-级数发散，故此幂级数的收敛域为。【例3】求幂级数的收敛域。解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法当，即时，级数收敛。当，即时，级数发散。当时，级数为，为交错级数收敛。当时，级数为，为交错级数收敛。故此幂级数的收敛域为。

【例4】求幂级数的和函数，并求的和。

解：记

求导得

积分得

令，则

【例5】*求幂级数在收敛区间内的和函数。分析：由于幂级数，通过比较级数和

的一般项，不难发现，，而

，所以应用给定的幂级数先积分，后求导，

就可以利用进行计算。

解：令

对幂级数在区间内逐项积分，得：其中，。

再应用逐项积分的方法得：对求导得

所以

对求导得

即

注：本题利用“先导后积”的方法求和函数，数项级数求和可通过幂级数和函数求得。二、函数的泰勒级数1．泰勒级数定义：称为在点的泰勒级数。

2．麦克劳林级数定义：称为的麦克劳林级数。3．将函数展开成泰勒级数(幂级数)直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶导数，写出泰勒展开式。

间接展开法：间接展开法通常要先对函数进行恒等变形，然后利用已知展式（如函数，的展开式等）或利用和函数的性质（求导数或积分），将函数展开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。

求的幂级数展开式关于的幂级数对求导对积分令将展成的幂级数求直接展开法间接展开式对进行恒等变形能利用已知展开式令令写出的展开式Yes关于的幂级数NoNo解题方法流程图4．典型例题

【例6】将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。

分析：由于，如果能把

分解为的形式，那么就可以利用解：对进行恒等变形：已知函数

，把和分别展开成的幂级数。

而

故

满足，即，成立区间为：

注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。【例7】将函数展开成的幂级数。分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的间接方法是很难把展开成的幂级数，所以，只能用解：因为而对先求导再积分的间接方法展开成的幂级数。

又因为，从而积分得因为幂级数在处收敛，所以所以，收敛域为。

【例8】*将函数展开成的幂级数。分析：与上题的解题思路相同。对函数可采用先求

导后积分的方法展开为的幂级数。

解：

三、傅里叶级数1．傅里叶级数的类型：且在（1）傅里叶级数：设是以为周期的函数，

上可积，称

为傅里叶级数，其中称为傅里叶系数。（2）正弦级数：

（3）余弦级数：

2．收敛定理（狄利克雷充分条件）：设是以为周期的函数，如果它满足条件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，并且：

①当是的连续点时，级数收敛于；

②当是的间断点时，收敛于。

3．如何把函数展开成傅里叶级数把给定的函数展开成傅立叶级数，首先要判断是否为周期函数；如果以为周期，那么在定义域

内，可把展开成为周期的傅立叶级数；的特点（或），对进行周期延拓、奇延拓展开成为周期的傅立叶级数、或偶延拓，再把

正弦级数或余弦级数，最后限制在定义域上。如果不是以为周期的函数，则要判别定义域解题方法流程图如下图所示。

将展开成付氏级数确定在上的解析式展成余弦级数展成正弦级数对进行偶延拓

利用收敛定理标明成立范围对进行奇延拓

利用收敛定理标明成立范围确定在上的解析式确定在上的解析式利用收敛定理标明成立范围对进行周期延拓

利用收敛定理标明成立范围YesNoNo以2l为周期解题方法流程图

4．典型例题

【例9】设周期为的周期函数在上的表达式为

,试将其展开成傅里叶级数。

处不连续，所以函数收敛于

傅里叶系数为解：所给函数满足收敛定理，在

且【例10】将展开成傅里叶级数.

解：所给函数在上满足收敛定理，将函数

进行周期延拓，函数在每一点均连续.

为偶数,所以傅立叶系数为：并求常数项级数

的和.【例11】在