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文档简介
xx1x2…xi…xnpp1p2…pi…pn第4讲离散型随机变量的期望与方差1.离散型随机变量的均值和方差一般地,若离散型随机变量x的分布列为
则称e(x)=__________________________为随机变量x的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn第一页,编辑于星期六:七点三十分。设a、b是常数,随机变量x、y满足y=ax+b,则e(y)=e(ax+b)=________,d(y)=d(ax+b)=_______.3.两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若x服从两点分布,则e(x)=___,d(x)=_________.(2)若x~b(n,p),则e(x)=___,d(x)=__________.称d(x)=[xi-e(x)]2pi=__________________________________________为随机变量x的方差.它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小.…+[xn-e(x)]2pn2.均值和方差的性质ae(x)+ba2d(x)[x1-e(x)]2p1+[x2-e(x)]2p2+npnp(1-p)pp(1-p)第二页,编辑于星期六:七点三十分。ξ123p0.40.20.41.已知随机变量ξ的分布列是:则d(ξ)=()ba.0.6c.1b.0.8 d.1.22.已知随机变量ξ~b(n,p),且e(ξ)=2.4,d(ξ)=1.44,则n、p的值为()ba.n=4,p=0.6c.n=8,p=0.3b.n=6,p=0.4d.n=24,p=0.1第三页,编辑于星期六:七点三十分。x-1012pabc
112x-101p1216a3.已知x的分布列如下表,设y=2x+1,则y的数学期望是()b4.已知离散型随机变量x的分布列如下表.若e(x)=0,第四页,编辑于星期六:七点三十分。ξ0123p0.40.30.20.1η012p0.30.50.2
5.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η,其分布列分别为: 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是___.乙第五页,编辑于星期六:七点三十分。考点1离散型随机变量的均值和方差
例1:厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;第六页,编辑于星期六:七点三十分。
(2)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望e(ξ),并求该商家拒收这批产品的概率.第七页,编辑于星期六:七点三十分。ξ012p136190
51190
3190
其分布列为:第八页,编辑于星期六:七点三十分。所以商家拒收这批产品的概率为27 .95第九页,编辑于星期六:七点三十分。第十页,编辑于星期六:七点三十分。第十一页,编辑于星期六:七点三十分。考点2均值和方差的应用
例2:(2010年深圳一模)某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概第十二页,编辑于星期六:七点三十分。(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;
(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解题思路:(1)通过比较两个项的获利的均值和方差.(2)每年年底的总资产依次构成一等比数列,通过列方程求得.第十三页,编辑于星期六:七点三十分。ξ2500-3000p3513115ξ1300-150p7929解析:(1)若按“项目一”投资,设获利ξ1
万元,则ξ1
的分布列为若按“项目二”投资,设获利ξ2万元,则ξ2
的分布列为:第十四页,编辑于星期六:七点三十分。第十五页,编辑于星期六:七点三十分。第十六页,编辑于星期六:七点三十分。【互动探究】
2.某俱乐部举行迎圣诞活动,每位会员交50元活动费,可享受20元的消费,并参加一次游戏:掷两颗正方体骰子,点数之和为12点获一等奖,奖价值为a元的奖品;点数之和为11或10点获二等奖,奖价值为100元的奖品;点数之和为9或8点获三等奖,奖价值为30元的奖品;点数之和小于8点的不得奖.求:(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率;(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利,求a的值.第十七页,编辑于星期六:七点三十分。第十八页,编辑于星期六:七点三十分。ξ30-a-70030p
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(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元,则ξ的可能取值为30-a,-70,0,30,其分布列为:第十九页,编辑于星期六:七点三十分。错源:考虑问题不全面
例3:某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰,已第二十页,编辑于星期六:七点三十分。(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.第二十一页,编辑于星期六:七点三十分。第二十二页,编辑于星期六:七点三十分。ξ345p131027827因此有分布列:第二十三页,编辑于星期六:七点三十分。第二十四页,编辑于星期六:七点三十分。第二十五页,编辑于星期六:七点三十分。ξ2345p194274271627第二十六页,编辑于星期六:七点三十分。
例4:如图
15-4-1是两个独立的转盘(a)、(b),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°,120°,180°.用这两个转盘进行玩游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(a)指针所对的区域数为x,转盘(b)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ζ,每一次游戏得到奖励分为ζ.第二十七页,编辑于星期六:七点三十分。
图15-4-1(1)求x<2且y>1的概率;(2)某人进行了12次游戏,求他平均可以得到的奖励分.第二十八页,编辑于星期六:七点三十分。第二十九页,编辑于星期六:七点三十分。ξ23456p
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112(2)由条件可知ξ的取值为:2,3,4,5,6,则ξ的分布列为:他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值:本题与几何概型相结合,考查了离散型随机变量的分布列和期望.第三十页,编辑于星期六:七点三十分。【互动探究】4.一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈n)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率p;(2)若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取多少时,p最大?
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