-第十五章-第4讲-离散型随机变量的期望与方差-配套课件

xx1x2…xi…xnpp1p2…pi…pn第4讲离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量x的分布列为

则称e(x)＝__________________________为随机变量x的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn第一页，编辑于星期六：七点三十分。设a、b是常数，随机变量x、y满足y＝ax＋b，则e(y)＝e(ax＋b)＝________，d(y)＝d(ax＋b)＝_______．3．两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若x服从两点分布，则e(x)＝___，d(x)＝_________．(2)若x～b(n，p)，则e(x)＝___，d(x)＝__________．称d(x)＝[xi－e(x)]2pi＝__________________________________________为随机变量x的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小．…＋[xn－e(x)]2pn2．均值和方差的性质ae(x)＋ba2d(x)[x1－e(x)]2p1＋[x2－e(x)]2p2＋npnp(1－p)pp(1－p)第二页，编辑于星期六：七点三十分。ξ123p0.40.20.41．已知随机变量ξ的分布列是：则d(ξ)＝()ba．0.6c．1b．0.8 d．1.22．已知随机变量ξ～b(n，p)，且e(ξ)＝2.4，d(ξ)＝1.44，则n、p的值为()ba．n＝4，p＝0.6c．n＝8，p＝0.3b．n＝6，p＝0.4d．n＝24，p＝0.1第三页，编辑于星期六：七点三十分。x－1012pabc

112x－101p1216a3．已知x的分布列如下表，设y＝2x＋1，则y的数学期望是()b4．已知离散型随机变量x的分布列如下表．若e(x)＝0，第四页，编辑于星期六：七点三十分。ξ0123p0.40.30.20.1η012p0.30.50.2

5.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为： 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是___．乙第五页，编辑于星期六：七点三十分。考点1离散型随机变量的均值和方差

例1：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．

(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；第六页，编辑于星期六：七点三十分。

(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望e(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．第七页，编辑于星期六：七点三十分。ξ012p136190

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3190

其分布列为：第八页，编辑于星期六：七点三十分。所以商家拒收这批产品的概率为27 .95第九页，编辑于星期六：七点三十分。第十页，编辑于星期六：七点三十分。第十一页，编辑于星期六：七点三十分。考点2均值和方差的应用

例2：(2010年深圳一模)某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概第十二页，编辑于星期六：七点三十分。(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解题思路：(1)通过比较两个项的获利的均值和方差．(2)每年年底的总资产依次构成一等比数列，通过列方程求得．第十三页，编辑于星期六：七点三十分。ξ2500－3000p3513115ξ1300－150p7929解析：(1)若按“项目一”投资，设获利ξ1

万元，则ξ1

的分布列为若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2

的分布列为：第十四页，编辑于星期六：七点三十分。第十五页，编辑于星期六：七点三十分。第十六页，编辑于星期六：七点三十分。【互动探究】

2．某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值．第十七页，编辑于星期六：七点三十分。第十八页，编辑于星期六：七点三十分。ξ30－a－70030p

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(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30－a，-70,0,30，其分布列为：第十九页，编辑于星期六：七点三十分。错源：考虑问题不全面

例3：某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已第二十页，编辑于星期六：七点三十分。(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．第二十一页，编辑于星期六：七点三十分。第二十二页，编辑于星期六：七点三十分。ξ345p131027827因此有分布列：第二十三页，编辑于星期六：七点三十分。第二十四页，编辑于星期六：七点三十分。第二十五页，编辑于星期六：七点三十分。ξ2345p194274271627第二十六页，编辑于星期六：七点三十分。

例4：如图

15－4－1是两个独立的转盘(a)、(b)，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°,120°,180°.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始)，记转盘(a)指针所对的区域数为x，转盘(b)指针所对的区域为y，x、y∈{1,2,3}，设x＋y的值为ζ，每一次游戏得到奖励分为ζ.第二十七页，编辑于星期六：七点三十分。

图15－4－1(1)求x<2且y>1的概率；(2)某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分．第二十八页，编辑于星期六：七点三十分。第二十九页，编辑于星期六：七点三十分。ξ23456p

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112(2)由条件可知ξ的取值为：2,3,4,5,6，则ξ的分布列为：他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值：本题与几何概型相结合，考查了离散型随机变量的分布列和期望．第三十页，编辑于星期六：七点三十分。【互动探究】4．一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈n)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率p；(2)若n＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取多少时，p最大？