2003北京高考数学真题与

.2003年一般高等学校招生全国一致考试（北京卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的.（1）设会合A{x|x210},B{x|log2x0|},则AB等于（A）{x|x1}（B）{x|x0}（C）{x|x1}（D）{x|x1或x1}（2）设y140.9,y280.44,y3(1)1.5，则2（A）y3>y1>y2（B）y2>y1>y3（C）y1>y2>y3（D）y1>y3>y2（3）“cos23”是“k5,kZ”的212（A）必需非充分条件（B）充分非必需条件（C）充分必需条件（D）既非充分又非必需条件（4）已知α，β是平面，m，n是直线.以下命题中不．正确的选项是（A）若m∥n，m⊥α，则n⊥α（B）若m∥α，α∩β=n，则m∥n（C）若m⊥α，m⊥β，则α∥β（D）若m⊥α，m，则α⊥β（5）极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（6）若zC且|z22i|1,则|z22i|的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）5（7）假如圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）2（B）3（C）23（D）1232（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不一样土质的三块土地上，此中黄瓜一定栽种，不一样的栽种方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种（9）若数列an的通项公式是an3n2n(1)n(3n2n),n1,2,，则2...lim(a1a2an)等于n（A）11（B）17（C）19（D）2524242424（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：赞同按“1”，不一样意（含弃权）按“0”，令1,第i号同学赞同第j号同学入选.,此中i=1，2，，k，且j=1，2，，k，aij0,第i号同学不一样意第j号同学入选.则同时赞同第1，2号同学入选的人数为（A）a11a12a1ka21a22a2k（B）a11a21a1ka12a22ak2（C）a11a12a21a22ak1ak2（D）a11a21a12a22a1ka2k第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.x2,x1.（11）函数f(x)lg(1x2),g(x)0|x|1.h(x)tg2x中，是偶x2,x1.函数.212）以双曲线xy1右极点为极点，左焦点为焦点的抛物线的169方程是13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.（14）将长度为1的铁丝分红两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）...已知函数f()cos4x2sinxcosxsin4x.x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若x[0,]，求f(x)的最大值、最小值.2（16）（本小题满分13分）已知数列an是等差数列，且a12,a1a2a312.（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）令bnanxn(xR).求数列bn前n项和的公式.（17）（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=33,D是CB延伸线上一点，且2BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（br0).（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线yk1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y20);直线yk2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4k1x1x2k2x3x4；0).求证：x2x3x4x1（Ⅲ）关于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情况）（19）（本小题满分14分）...有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一此中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直均分线上的P点处，（成立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于哪处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于哪处？20）（本小题满分14分）设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数，且知足条件：（i）f(1)f(1)0;（ii）对随意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|.（Ⅰ）证明：对随意的x[1,1],都有x1f(x)1x;（Ⅱ）证明：对随意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1;（Ⅲ）在区间[－1，1]上能否存在知足题设条件的奇函数yf(x)，且使得|f(u)f(v)||uv|.当u,v1[0,].2|f(u)f(v)||uv|,当u,v[1,1].2若存在，请举一例：若不存在，请说明原因....2003年一般高等学校招生全国一致考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：此题考察基本知识和基本运算.每题5分，满分50分.1）A2）D3）A4）B5）D6）B7）C8）B9）C10）C二、填空题：此题考察基本知识和基本运算.每题4分,满分16分.11）f(x);g(x)（12）y236(x4)（13）12()2（14）44三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15）满分13（Ⅰ）分析：由于f(x)cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2cos(2x)4所以f(x)的最小正周期2.T2...（Ⅱ）分析：由于0x,所以2x5.2444当2x时，cos(2x)获得最大值2；当2x时，cos(2x)取444244得最小值－1.所以f(x)在[0,]上的最大值为1，最小值为－2.2（16）满分13分.（Ⅰ）分析：设数列{an}公差为d，则a1a2a33a13d12,又a12,d2.所以an2n.（Ⅱ）解：令Snb1b2bn,则由bnanxn2nxn,得Sn2x4x2(2n2)xn12n,①nxxSn2x24x3(22)xn2nxn1,②n当x1时，①式减去②式，得(1x)Sn2(x2xnn12x(1xn)n1x)2nx1x2nx,所以Sn2x(1xn)2nxn1.(1x)21x当x1时,Sn242nn(n1)综上可适当x1时,Snn(n1)当x1时，Sn2x(1xn)2nxn1.(1x)21x17）满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.（Ⅱ）分析：过B作BE⊥AD于E，连接EB1，B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，13BEAC.22在Rt△B1BE中，...B1B332∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°3.tgB1BEBE32（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵BB⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BBCC，111∴AF⊥平面BBCC，且AF=3333,VCABBVABBC1SBBCAF11221111131111(1333)3327.即三棱锥C1—ABB1的体积为27.322288解法二：在三棱柱ABC—ABC中，111SABB1SAABVC1ABB1VC1AA1B1VAA1B1C1111SABCAA11323327即三棱锥11的体积为271(43).C—ABB.3113428818）满分15分.（Ⅰ）分析：椭圆方程为x2(yr)2焦点坐标为F(a22,r),F(a22,r),1,bba2b212离心率ea2b2.a（Ⅱ）证明：将直线CD的方程yk1x代入椭圆方程，得b2x2a2(k1xr)2a2b2,整理得(b2a2k12)x22k1a2rx(a2r2a2b2)0.依据韦达定理，得2k1a2ra2r2a2b2所以x1x2r2b2①x1x2b2a2k12,x1x2b2a2k12x1x22k1r将直线GH的方程yk2x代入椭圆方程，同理可得x3x4r2b2，x3x42k2r由①，②得k1x1x2r2b2k2x1x2所以结论成立.x1x22rx1x2（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，得x1pk1x1,解得p(k1k2)x1x2，x2pk2x2k1x1k2x2由D、Q、G共线，同理可得q(k1k2)x2x3由k1x1x2k2x3x4,k1x2k2x3x1x2x3x4...变形得x2x3x1x4k1x2k2x3k1x1k2x4即(k1k2)x2x3(k1k2)x1x4k1x2k2x3k1x1k2x4所以|p||q|,即|OP||OQ|.19）.满分14分.（Ⅰ）分析：由题设可知，ab0,记ha2b2,设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为222h22222.所f(y)2(by)(hy)3(y)h33以，当yh时，函数f(y)获得最小值.答:点P的坐标是(0,1a2b2).33（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g(x)b2y2,当b2y2|hy|,|hy|,当b2y2|hy|.由b2y2|hy|解得yh2b2,记y*h2b2,于是2h2hb2y2,当y*,nh2b2*,)上是g(y)y当y0,即hb时，b2y2在[y|h当yy*.2hy|,增函数，而|hy|在(-,y*]上是减函数.由此可知,当yyn时,函数g(y)获得最小值.当y*h2b20,即hb时,函数b2y2在[y*,)上,当y0时,取2h得最小值b,而|hy|在(-,y*]上为减函数,且|hy|b.可见,当y0时,函数g(y)获得最小值.答当hb时,点P的坐标为(0,a22b2);当hb时,点P2a2b2的坐标为(0,0),此中ha2b2,解法二:P至三镇的最远距离为g(y)b2y2,当b2y2|hy|,由|hy|,当b2y2|hy|.b2y2|hy|解得yh2b2,记y*h2b2,于是g(y)b2y2,当yy*,2h2h当*|hy.y|,y当y*0,即hb时,zg(y)的图象如图(a)，所以，当yy*时，函数g(y)获得最小值....当yy*,即hb时,zg(y)的图象如图(b)，所以，当y0时，函数g(y)获得最小值.答：当hb时，点P的坐标为a22b2);当hb，点P的坐标为（0，0），此中(0,b22a2ha2b2.解法三：由于在△a,所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为ABC中，AB=AC=22(0,a2b)，且AM=BM=CM当.P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延伸线上，记P为P2，若ha2b2b（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.若ha2b2b(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为b.答：当ha2b2b时，点P的地点在△ABC的外心(0,a22b2)；当ha2b2b时，点P的地点在原点O.2a2b220）满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x[1,1]时，有|f(x)|f(x)f(1)|x1|1x,即x1f(x)1x....（Ⅱ）证法一：对随意的u,v[1,1],当|uv|1时,有|f(u)-f(v)||u-v|1.当|u-v|1时,uv0,不如设u0,则v0且v-u1,所以，|f(u)f(v)||f(u)f(1)||f(v)f(1)||u1||v1|1u1v2(vu)1.综上可知，对随意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1.证法二：由（Ⅰ）可得，当x[0,1]时,f(x)1-x,当x[1,0]时,|f(x)||f(x)f(1)1x1|x|.所以，当x[1,1]时,|f(x)1|x|.所以，对随意的u,v[1,1],当|uv|1时，|f(u)f(v)||uv|1.当|uv|1时，有uv0且1|uv||u||v|2