高中数学参数方程大题

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．解析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的一般方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式获得P到直线l的距离，除以sin30°进一步获得|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）关于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．关于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，此中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|获得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|获得最小值，最小值为．评论：此题观察一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表现了数学转变思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

x轴的正半轴重合，直线

l的极坐标方程为：，曲线

C的参数考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．解析：（1）第一，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；2）第一，化简曲线C的参数方程，而后，依据直线与圆的地点关系进行转变求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．2）依据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得2x﹣2）+y=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．评论：此题要点观察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C：（t为参数），C：（θ为参数）．121）化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转变思想．解析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数获得两曲线的一般方程，即可获得曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，而后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可获得距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为一般方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为一般方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为一般方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（此中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d获得最小值．评论：

此题观察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学识题，灵巧运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不一样于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

l的参数方程考点：参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．解析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．22222∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的一般方程：，∴圆心到直线l的距离，

d，再利用弦长公式|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．评论：此题观察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．解析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，而后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为一般方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）评论：此题观察参数方程、极坐标方程与一般方程的差别和联系，二者要会相互转变，依据实质状况选择不一样的方程进行求解，这也是每年高考必考的热门问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．1）求直线I被曲线C所截得的弦长；2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．解析：（1）将曲线C化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可获得最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；因为ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），因为θ∈R，则x+y的最大值为1．评论：此题观察参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，观察参数的几何意义及运用，观察学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的一般方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．解析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P点的极坐标为，∴=3，=．∴点P的直角坐标222把ρ=x+y，y=ρsinθ代入可得，即（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的一般方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．评论：此题观察了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技术方法，观察了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆（Ⅱ）直线

C的极坐标方程；l的极坐标方程是

ρ（sinθ+）

=3，射线

OM：θ=与圆

C的交点为

O，P，与直线

l的交点为

Q，求线段

PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．解析：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可获得此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得一般方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：22解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）以下列图，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得一般方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．|PQ|==2．评论：

此题观察了极坐标化为一般方程、

曲线交点与方程联立获得的方程组的解的关系、

两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．解析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：

解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的一般方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．

x+y﹣8=0的距离为，评论：此题主要观察把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．解析：（I）先利用三角函数的和角公式睁开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222C的直角坐标．ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而获得圆心（II）欲求切线长的最小值，转变成求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的一般方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）评论：此题观察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，务实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．解析：（1）第一，将曲线C化为直角坐标方程，而后，依据中点坐标公式，建立关系，从而确立点Q的轨迹C的直12角坐标方程；2）第一，将直线方程化为一般方程，而后，依据距离关系，确立取值范围．解答：解：（1）依据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），依据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，2）直线l的一般方程为：y=ax，依据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．评论：此题要点观察了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的地点关系等知识，观察比较综合，属于中档题，解题要点是正确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为C与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（112考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的地点关系；参数方程化成一般方程．专题：压轴题；直线与圆．

C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，t∈R为参数），求a，b的值．解析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．评论：此题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点非负半轴为极轴，取同样单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线订交于不一样的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

O为极点，以

x轴解答：

解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．22222∵曲线C与直线订交于不一样的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．|PM|+|PN|的取值范围是．评论：此题观察了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆订交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy中，直线的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当

l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．2（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．II）设P，又C．∴|PC|==≥2，所以当t=0时，|PC|获得最小值2．此时P（3，0）．评论：此题观察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2订交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转变成直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．解析：解答：评论：

（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222C2及ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得曲线曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后联合点到直线的距离公式弦AB的长度．解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．本小题主要观察圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为什么值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：计算题．解析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的一般方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的