硬木浓度与纸张强度的关系

範例一硬木濃度與紙張強度的關係?

Hardwood Observations Concentration123456TotalsAve. 5%7815119106010101217131819159415.6715141819171618102172019252223182012721.17 Overall 38315.961ANOVA變異數分析

(AnalysisofVariance，ANOVA)適用問題預測(獨立)變數為名目尺度，準則(相依)變數為區間或比例尺度。假設檢定H0：μ1=μ2=μ3=…=μmH1：notallμiequivalence2ANOVAANOVA之假設獨立性：所有的樣本都是隨機抽選而得，而且彼此獨立。常態性：各母體呈常態分配。相等性：各母體的變異數都相等。3ANOVA問題之圖示—箱型圖Alwaysagoodpracticetocomparethelevelsofthefactorusinggraphicalmethodssuchasboxplots.Comparativeboxplotsshowthevariabilityoftheobservationswithinafactorlevelandthevariabilitybetweenfactorlevels.4ANOVA5ANOVAANOVA之模式1TheobservationsYijcanbemodeledbyτi=實驗變數的第i個水準對Y的差異效果。εij=誤差項。假設其為獨立、常態分配，平均數為0，變異數為σ2。6ANOVAANOVA之模式2n=numberoftotalobservationsm=numberoffactorlevelsni=numberofobservationspertreatment(factor)level7ANOVA資料之變異來源1實驗變數的變異(treatmentvariation)(組間變異)(組間離均差平方和)

SSTreatment=∑ni(Yi-Y)2誤差(error)的變異(組內變異)(組內離均差平方和)SSE=∑∑(Yij-Yi)2總變異(totalvariability)8ANOVA資料之變異來源2ThesumofsquaresidentityisNotationally,thisisoftenwrittenasSST=SSTreatments+SSE9ANOVAANOVA之原理1TheexpectedvalueofthetreatmentsumofsquaresisIfthenullhypothesisistrue(i=0),then10ANOVAANOVA之原理2TheerrormeansquareIfthenullhypothesisistrue,theratio

hasanF-distributionwith(m–1)anda(n–m)degreesoffreedom.11ANOVA變異數分析表12ANOVA範例一之變異數分析表13ANOVAResidualAnalysisAssumptions:modelerrorsarenormallyandindependentlydistributedwithequalvariance.Checktheassumptionsbylookingatresidualplots.14ANOVAResidualAnalysis—equalvariancePlotofresidualsversusfactorlevels15ANOVAResidualAnalysis—normallyNormalprobabilityplotofresiduals16ANOVA範例二1小華想瞭解三種教學工具(黑板、PowerPoint、線上)的教學效果。將其12位學生隨機分成三組，對每組採用不同的教工具做實驗，經過一段期間後舉行測驗果下表。試對此問題進行分析。17ANOVA範例二2學生分數黑板組PowerPoint組線上組456567678789平均=5.5平均=6.5平均=7.518ANOVA範例二3—ANOVAtable變異來源SS自由度MSF組間8242.4組內1591.67合計231119ANOVA多重比較檢定—概念變異數分析的結果如拒絶接受虛無假設，並不表示所有的μi都不相等，此時尚可進一步檢定各μi中，那幾個相等與那幾個不相等，或是將各μi作大小次序排列，此即所謂多重比較(multiplecomparisons)問題。20ANOVA多重比較檢定—原理1以信賴區間的數值來比較每一對母體平均數μg和μh(g≠h)的大小，然後再綜合比較各μi的大小。在1-α的信賴水準下(μg-μh)的信賴區間為21ANOVA多重比較檢定—原理2若(L,U)包括0在內，表示(μg-μh)在(1-α)的信賴水準下，可能等於0，亦即接受H0：μg=μh如果L>0，表示在(1-α)的信賴水準下，μg>μh如果U<0，表示在(1-α)的信賴水準下，μg<μh為同時比較所μi(i=1~m)的大小，則必須求[(μg-μh)|1≦g<h≦m]的100(1-α)%的聯立信賴區間。22ANOVA常用之多重比較檢定法Bonferronimethod適用於比對個數較少時(例如，2~3)Scheffemethod適用於比對個數較多時Tukeymethod只能應用於各組樣本大小相等的場合不同方法之主要差異，在於求聯立信賴區間時，使用不同的機率理論。23ANOVASPSS―單因子變異數分析Analyze→CompareMeans→One-WayANOVAAnalyze→GeneralLinearModel→Univariate24ANOVA二因子變異數分析假設兩因子間無互動關係存在隨機區集設計區集因子無法控制兩因子完全隨機設計可根據實驗單位的地點特性或某些固定因素而將之歸入不同的區集(區集因子可控制)兩因子間考慮互動關係互動之二因素變異數分析(重覆二因子變異數分析)25ANOVA隨機區集設計與

兩因子完全隨機設計區集1…j…n處理水準1Y11Y12…T1…Y21…i…YijTi…mTmB1…Bj…BnY26ANOVA隨機區集設計與

兩因子完全隨機設計模型1Yij=μ+αi+j+εij處理變數之假設H0(Treatment)：α1=α2=…=αm=0H1(Treatment)：αi不全為0區集因子之假設H0(Block)：1=2=…=n=0H1(Block)：j不全為0SST=SSTreatment+SSBlock+SSESSTreatment=n∑(Ti-Y)2SSBlock=m∑(Bj-Y)2SSE=SST-SSTreatment-SSBlock27ANOVA隨機區集設計與

兩因子完全隨機設計模型2αi：第i種處理的效果(影響)j：第j個區間的效果(影響)Ti：第i個實驗變數水準的平均數(i=1~m)Bj：第j個區集變數水準的平均數(j=1~n)m：實驗變數水準的數目n：區集的數目28ANOVA隨機區集設計與

兩因子完全隨機設計模型3FTreatment=MSTreatmentMSE=SSTreatment/(m-1)SSE/(m-1)(n-1)IfFTreatment≦Fα，無法拒絶H0(Treatment)

FTreatment>Fα，拒絶H0(Treatment)29ANOVA隨機區集設計與

兩因子完全隨機設計模型4FBlock=MSBlockMSE=SSBlock/(n-1)SSE/(m-1)(n-1)IfFBlock≦Fα，無法拒絶H0(Block)

FBlock>Fα，拒絶H0(Block)30ANOVA範例三1某食品公司為測定在四種包裝設計中，那一種包裝最受消費者歡迎，進行一項實驗。為考慮不同的商店類型可能有不同的反應，因此選擇五種不同類型的商店各4家，每家只銷售一種包裝設計的食品，試銷一星期後各商店之銷售量如下表，試以α=0.05檢定包裝設計方式是否影響產品銷售量?31ANOVA範例三2商店類型實驗變數平均數超市雜貨店麵包店冷飲店其他包裝設計11228176220141712171631371381411411510367區集平均數147126111032ANOVA範例三3變異來源SS自由度MSF區集18444623實驗變數3103103.3351.67誤差24122合計5181933ANOVA範例三4因為實驗變數F值(51.67)遠大於5%顯著水準下F的臨界值(F0.05,3,12)=3.49，故可推知：不同包裝設計的銷量有顯著差異。34ANOVASPSS―兩因子變異數分析(無互動關係)Analyze→GeneralLinearModel→UnivariateModel→Custom→Maineffects35ANOVA範例四1某位電腦程式教師想了解他所教的電腦語言(因素A)和他所使用的電腦類型(因素B)對學生成績的影響。其進行一項實驗：在四個學期當中，他教了16班，每班在學期終了都舉行一次標準測驗，各班的平均成績如下表，試以α=0.01檢定(1)電腦語言、(2)電腦類型是否影響學習成效?36ANOVA範例四2電腦類型平均1234電腦語言16486888480.5027483909284.7536885846976.5046984878982.25平均68.7584.5087.2583.508137ANOVA範例四3變異來源SS自由度MSF電腦語言144.5348.171.78電腦類型830.53276.8310.25誤差243927合計12181538ANOVA範例四4因為FA=1.78<F0.01,3,9=6.99，接受H0(A)，亦即在1%顯著水準下，電腦語言對學生的電腦分數沒有影響。FB=10.25>F0.01,3,9，拒絶H0(B)，亦即在1%顯著水準下，所用之電腦類型對學生的電腦分數有影響。39ANOVA互動之二因子變異數分析

(重覆二因子變異數分析)區集1…j…n處理水準1Y111,Y112…Y11k…Y11r…Y1..……iYij1…Yijr

Yi..…mYm..Y.1.…Y.j.…Y.n.Y40ANOVA互動之二因子變異數分析

(重覆二因子變異數分析)模型1Yijk=μ+αi+j+(α)ij+εijk處理變數之假設H0(Treatment)：α1=α2=…=αm=0H1(Treatment)：αi不全為0區集因子之假設H0(Block)：1=2=…=n=0H1(Block)：j不全為0交互作用之假設H0(Intersection)：(α)11=(α)12=…(α)mn=0H1(Intersection)：(α)ij不全為041ANOVA互動之二因子變異數分析

(重覆二因子變異數分析)模型2SST=SSTreatment+SSBlock+SSIntersection+SSESSTreatment=nr∑(Yi..-Y)2—自由度為m-1SSBlock=mr∑(Y.j.-Y)2—自由度為n-1SSIntersection=r∑∑(Yij.-Yi..-Y.j.+Y)2—自由度為(n-1)(m-1)SSE=SST-SSTreatment-SSBlock-SSIntersectionSSE=∑∑∑(Yijk-Yij.)2—自由度為mn(r-1)42ANOVA互動之二因子變異數分析

(重覆二因子變異數分析)模型343ANOVA互動之二因子變異數分析

(重覆二因子變異數分析)模型4變異來源平方和自由度均方和F決策處理變數SSTreatmentm-1MSTreatmentMSTreatment/MSEF>Fα,m-1,mn(r-1)，拒絶H0區集因子SSBlockn-1MSBlockMSBlock/MSEF>Fα,n-1,mn(r-1)，拒絶H0交互作用SSIntersection(m-1)(n-1)MSIntersectionMSIntersection/MSEF>Fα,(m-1)(n-1),mn(r-1)，拒絶H0誤差SSEmn(r-1)MSE總和SSTmnr-144ANOVA範例五1一公司為了試驗不同的包裝方式A1、A2、A3對產品銷售量的影響，分別在B1、B2、B3、B4四個試銷點試銷三次，得銷售量如下表。試以α=0.05檢定(1)包裝方式、(2)試銷點、(3)交互作用是否影響產品銷售量?45ANOVA範例五2B1B2B3B4A1151912171013912614811A2202418241822121510211614A32217142619211058191512銷點包裝46ANOVA範例五3B1B2B3B4Yi..A115.3313.339.0011.0012.17A220.6721.3312.3317.0017.83A317.6722.007.6715.3315.67Y.j.17.8918.899.6714.44Y=15.22銷點包裝47ANOVA範例五4變異來源SSdfMSF包裝方式196.222298.1119.150試銷點468.2223156.07414.556交互作用78.445613.0741.219誤差257.3332410.722總和1000.2223548ANOVA範例五5因為F0.05,2,24=3.4028<9.150，故拒絶H0。表示包裝方式不同可能會影響銷售量。因為F0.05,3,24=3.0088<14.556，故拒絶H0。表示試銷點不同可能會影響銷售量。因為F0.05,6,24=2.5082>1.219，故無法拒絶H0。表示包裝方式與試銷點間可能沒有交互作用。49ANOVASPSS―兩因子變異數分析(考慮互動關係)Analyze→GeneralLinearModel→Univariate50ANOVA共變量分析1

(AnalysisofCovaria