一阶动态电路分析

第4章一阶动态电路分析4.1电容元件与电感元件4.2一阶电路的零输入响应4.3一阶电路的零状态响应4.4一阶电路的全响应4.5一阶电路的三要素分析法4.6一阶电路的阶跃响应和冲激响应4-1电容元件与电感元件

4-1-1电容元件

一、电容的定义和符号一个二端元件，如果在任一时刻t，它所存储的电荷q

(t)与其端电压u(t)之间的关系可以用u(t)-q

(t)平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件线性电容时变电容非线性电容非时变电容电容的分类：电容符号线性电容u-q

特性线性电容存储的电荷q(t)和端电压u(t)有如下关系C为与电荷、电压无关的常量，表示元件存储电荷的能力，称为电容。二、电容的单位电容C的单位为法拉（F），但因法拉这个单位太大，所以通常采用微法（μF）或皮法（pF）

三、电容的伏安关系设电容上流过的电流与其两端的电压为关联参考方向则根据电流的定义有对线性电容又有线性电容的伏安关系为四、电容的特点1．电容能隔直流通交流；电容的阻抗与频率有关。由电容的伏安关系可知电容有如下基本性质：2．在有限电容电流的前提下，电容上的电压只能连续变化，不能发生跳变。电容电压的连续性可表示为在动态电路分析中常用这一结论，并称之为“换路定则”。3．电容是一种有记忆的元件。根据电容的伏安关系可得：任一时刻电容上的电压不仅取决于该时刻的电流值，而是取决于从到所有时刻的电流值，即与电流的全部历史有关，所以电容是一种“有记忆”元件。称为电容的初始电压，反映时刻之前电流的全部作用。五、电容的储能在电容的电压和电流为关联参考方向下，其吸收的瞬时功率为由功率的定义，可得在t时刻电容吸收的电能为因为，故有上式表明，任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关[例4-1]图（a）所示电容中电流i的波形如图（b）所示，已知，试分别求时电容上的电压。解：由的波形可写出其数学表达式为因为

所以

[例4-2]电路如图(a)所示，开关打开前电路已处于稳态，在时刻将开关K打开，求电容的初始值。解：因为在时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路。这时其等效电路如图（b）所示。又根据换路定则，可得根据图（b）可算出

4-1-2电感元件

一、电感的定义一个二端元件，如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链与其流过的电流的关系可以用平面上的一条曲线来确定，则称此二端元件为电感。

电感的符号

非时变线性电感二、电感的符号和单位电感的单位：亨利（H）三、电感的伏安关系对非时变线性电感有非时变线性电感L是与无关的常量，表示元件产生磁链的能力，称为该元件的电感量。在电感上电压、电流为关联参考方向时，由电磁感应定律可得四、电感的特点1.电感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也随信号的频率而变化.2．在有限电感电压的前提下，电感上的电流只能连续变化，不能发生跳变。电感电流的连续性可表示为上式也称为换路定则，在动态电路初始值确定时，该式也是非常重要的依据3．电感也是一种有记忆的元件。根据电感的伏安关系有任一时刻电感上的电留不仅取决于该时刻的电压值，而是取决于从到所有时刻的电压值，即与电压的全部历史有关，所以电感是一种“有记忆”元件。称为电感的初始电流，反映时刻之前电压的全部作用。五、电感的储能由功率的定义，可得在t时刻电干吸收的电能为上式表明，任一时刻电感的储能只与该时刻电感的电流有关[例4-3]图(a)所示电路，电感上的电流波形如图(b)所示，求电压，电感吸收的功率，电感上的储能，并绘出它们的波形。解：根据图(b)，写出的数学表达式：由电感的伏安关系可得

电感上吸收的功率为

电感上的储能为[例4-4]图(a)所示电路,时开关K闭合，电路已达到稳态。在时刻，打开开关K，求初始值。解：时K闭合，电路已达到稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路，故可求得t=0时,K打开,根据换路定则有t=0+时的等效电路见图(b)4-2一阶电路的零输入响应一阶电路就是包含一个动态元件的电路。分为一阶RC电路和一阶RL电路。所谓零输入响应即是由动态元件的初始态在电路中产生的响应。4-2-1一阶RC电路的零输入响应

因为在换路前，电路已达到稳态，所以换路后，根据KVL可得因为所以可得初始条件为其特征方程为特征根为故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定电容电压的零输入响应为称为电路的时间常数,单位为秒（S）由电容的伏安关系可求得电路中流过的电流为的波形图从以上的分析,可以得到如下结论：1．一阶RC电路的和均是随时间呈指数衰减的。2．与随时间衰减的快慢由决定与的关系t

0τ2τ3τ4τ5τ0.006US从上表中可以看出，时,已下降为初始值的1.8%，在工程中一般认为此时零输入响应已基本结束。4-2-2一阶RL电路的零输入响应

在换路前电路已达到稳态，根据换路定则知:换路后，根据KVL可得将电阻、电感的伏安关系代入上式，得初始条件为其特征方程为特征根为故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定所以是一阶RL电路的时间常数由电感伏安关系可以得到电感上的电压为一阶电路零输入响应的一般公式对RC电路有对RL电路有对任何一阶电路，求其零输入响应，关健就是求解其时间常数和初始值，这两个参数一旦被确定，其响应就确定了。[例4-5]如图所示电路，开关K在位置“1”时，电路已达到稳态。当t=0时K由位置“1”切换到位置“2”，试求i(t)和u（t）。解：因为K在位置“1”时，电路已达到稳态，所以电感相当于短路，由此可求得电感电流的初始值为时间常数为4-3一阶电路的零状态响应电路的初始状态为零，仅由外加激励产生响应称为零状态响应。由KVL可得将电阻、电容的伏安关系代入上式，得上式为非齐次微分方程，根据高等数学知识知，其通解由齐次解和特解两部分组成，即由前面的分析可知，该微分方程对应的齐次解为其对应的特解是由外激励强制建立的，应与外激励具有相同的函数形式，当激励为直流时,其特解为一常量。设该特解为，代入微分方程中可得故得代入初始值，确定系数K由上式知,电容两端的电压随时间按始指数的规律增长,增长的快慢由时间常数决定所以的波形图电容上的电流可根据电容的伏安关系求得其波形如图(b)所示是随时间逐渐衰减的。对于如图所示的RL电路，同样可求得其零状态响应根据KCL可得电感两端的电压为一阶RL电路与一阶RC电路的零状态响应具有相同的形式，iL(t)与uC(t)

的一般式为[例4-6]在图(a)所示电路中,设开关闭合前电容无初始储能。t=0时，开关K闭合，求时的。解：因为电容无初始储能，所求为零状态响应，有（1）求稳态值由换路后的稳态电路(电容相当于开路)知（2）求时间常数，R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻

于是所求响应为4-4一阶电路的全响应当电路的初始状态与外加激励均不为零时，电路产生的响应称为全响应根据叠加定理，可将初始状态和外加激励作为两个独立源，则全响应为零输入响应和零状态响应之和，即全响应=零输入响应+零状态响应对一阶电路，全响应的一般公式可表示为[例4-7]如图所示一阶电路，t=0时开关闭合，已知,试求t>0时的解：设零输入响应为uC1，零状态响应为uC2

，则4-5一阶电路的三要素分析法如前所述，在恒定激励下，一阶电路中的电压和电流都是按指数规律变化的。图（a）按指数规律增加图（b）按指数规律减小并且在同一电路中，各支路电压、电流具有相同的时间常数。由图（a）可写出f(t)的表达式为图（a）按指数规律增加将后一项相乘展开并整理得由图（b）可写出f(t)的表达式为图（b）按指数规律减小所以无论f(t)是按指数规律增加还是减小均可统一用上式表示。，称为一阶电路的三要素。在分析电路时，只要求出这三个要素，就能直接写出响应的表达式，将这种求解一阶电路响应的方法称为三要素法。三要素法将一阶RC电路、RL电路、零输入响应、零状态响应，全响应的表达式统一起来，这样就使得一阶电路的分析大为简化

[例4-9]电路如图(a)所示，当时开关K是断开的，电路已处于稳态。当时开关K闭合,求时的电流解：此电路因包含两个动态元件,并非一阶电路，但当开关K闭合后，电路可分解为两个一阶电路，如图(b)、（c）所示。先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流，然后用KCL可得。2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2在t<0时，K是断开的，电路已达到稳态，所以电容相当于开路，电感相当于短路。由换路定则有换路后的(0+)等效电路如图(d)所示。由图可求得(2)求时间常数由图（b）可知由图（c）可知2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2利用三要素公式可得[例4-10]电路如图(a)所示，N为线性电阻网络，其零状态响应为,如果用L=2H的电感代替电容，如图(b)所示。试求该情况下的零状态响应。解：图(a)为一阶RC电路，由其响应可求出电路的三要素为因为除L、C外，两电路的结构参数完全相同，所以对RC电路，uC(0+)=0在求u0(0+)时，电容相当于短路；在求u0(∞)时，电容视为开路。对RL电路，iL(0+)=0在求u1(0+)时，电感相当于开路；在求u1(∞)时，电感视为短路。求u1(0+)时求u0(∞)等同于求u1(∞)时求u0(0+)等同于故有：对RC电路，可得对RL电路根据三要素法可得RL电路的响应为：4-6一阶电路的阶跃与冲激响应4-6-1单位阶跃信号

一、单位阶跃信号的定义二、单位阶跃信号的电路实现三、单位延迟阶跃信号四、用单位阶跃信号表示各种脉冲信号单位阶跃信号(电压或电流)在零状态电路中产生的响应，称为单位阶跃响应。4-6-2阶跃响应

阶跃响应实际上是恒定激励下的零状态响应，一般常采用三要素法求解。[例4-11]电路如图(a)所示，已知,求阶跃响应。解：（1）求初始值因为阶跃响应是零状态响应，所以当电路达到稳态时，L可视为短路,等效电路如图(b)所以（2）求稳态值

（3）求时间常数等效电阻R为时间常数为故阶跃响应为或表示为

[例4-12]电路如图(a)所示，激励如图(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t＞0时，电路的响应u(t)。

解：该电路的响应为全响应,可将其分为零输入响应和零状态响应,分别进行求解。1．求解零输入响应uZi

因为时间常数零输入响应2．求零状态响应uZS（1）求单位阶跃响应对应的单位阶跃响应为u0(t)根据三要素法可得（2）将给定uS

(t)的用阶跃函数表示（3）根据线性定常电路的性质和叠加定理求uZS

线性定常电路有如下性质：

若激励为，电路的响应为S（t），则当激励为时，其响应为。对应的响应对应的响应对应的响应所以根据叠加定理可得:3．求电路的全响应u(t)4-6-3单位冲激信号

一、单位冲激信号的定义

且

单位冲激信号可理解为一个宽度为τ，高度为1/τ的矩形脉冲函数在τ0时的极限所以冲激强度实际表示的是δ(t)的图形面积为1。冲激信号还可以推广为对于任意一个在处连续的函数，将有因此有有把一个函数在某一瞬间的值抽取出来的特性，这一特性称为单位冲激函数的采样。

单位阶跃函数和单位冲激函数有如下关系：的上述关系可证明如下：实际上波形是不能跃变的，所以是上升速率很高的一种波形抽象化的结果。同样也是矩形脉冲在时的近似对求导，结果恰好为是即当时，上式即可表示为4-6-4冲激响应

将单位冲激信号在零状态电