AR算法图像重构

图像重建概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛地应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。关于图像处理的一些基本内容，如对图像的几何处理，图像的增强，还有复原等，均是从图像到图像，即输入的原始数据是图像，处理后输出的仍是图像。而图像重建是从数据到图像。图像重建的三种常用检测模型：透射模型、发射模型、反射模型---我们从CT谈起计算机层析成像（ComputedTomography,CT）是通过对物体进行不同角度的射线投影测量来获取物体横截面信息的成像技术。CT的核心技术是由投影数据来重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的的投影数据来求出成像平面上每个点的衰减系数值。二维投影与CT值当强度为的x-ray通过吸收率为μ(x,y)的均匀吸收物体，由于均匀吸收，则I必是指数下降，则有这里s表示射线经过的体内距离长度1、我们假设切片（物体横截面，断面）无限薄。

2、我们认为,一幅图像在任意点(x,y)上的灰度值

正比于那个点的相对线性衰减系数μ(x,y)。CT任意角度扫描经坐标系旋转变换后可得：所以所谓投影是测量值，是吸收系数沿着射线经过直线的积分。实际上的问题是沿着若干条直线的积分估算值来计算μ(x,y)值。而对于任意角度扫描，需要用旋转坐标来描述问题，建立置于扫描系统之上的旋转坐标系，即让射线束与旋转坐标系的轴平行：所以θ角每旋转1度就可以取一组投影数据，可得到180组不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影数据后，利用重建算法处理得到物体的图像。是离散值，是测出值！Radon变换Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上的投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投影是其在确定方向上的线积分，如下图所示，二维函数f(x,y)在水平方向的线积分就是f(x,y)在y轴上的投影，二维函数f(x,y)在垂直方向的线性积分就是f(x,y)在x轴上的投影。Radon变换（续）由此，可以沿任意角度计算函数的投影，计算图像f(x,y)在任意角度的Radon变换。中心切片定理密度函数在某一方向上的投影函数的一维傅立叶变换函数是原密度函数的二维傅立叶变换函数在平面上沿同一方向且过原点的直线上值。滤波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足够多的投影数据(Radon变换)2、将这些投影数据做一维的Fourier变换，那么变换后的这些数据将充满整个(u,v)平面。（许多过原点成不同夹角的直线）3、也就是说，F(u,v)的全部值都为已知，那么我们将其做一次二维的Fourier逆变换就可以得到原始的衰减系数函数f(x,y)二维傅立叶反变换作坐标变换，令：可得出：表示对投影函数的Fourier变换进行滤波变换，其中是滤波函数。由傅立叶变换性质可知．频域中的滤波运算可等效地在空域中用卷积运算来完成所以要实现对投影数据实现图像重建，可以采取两步：首先将投影数据和响应脉冲滤波器进行卷积，然后由式对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)为滤波函数纠的空域形式反投影算法举举例基本原理是将将所测得的投投影值按其原原路径平均的分配到每一点点上，各个方方向上投影值值反投影后，在影像处处进行叠加，，从而推体出出原图像。而滤波却是要要投影函数的的一维Fourier加加上权重因子子。算法举例123456算法举例根据反投影算算法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化处理，，除以投影线线数目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后后原像素值再除以投影线线数，平均化化断层平面中某某一点的密度度值可看作这这一平面内所所有经过该点点的射线投影影之和的平均均值123456伪迹反投影重建后后，原来为0的点不再为为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线线数，平均化化星状伪迹我们考虑孤立立点源反投影影重建，中心心点A经n条条投影线投影影后，投影值值均为1：p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他点均为为1/n这类伪迹称为为星状伪迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹产生星状伪迹迹的原因在于于：反投影重建建的本质是把把取自有限物体空间的射射线投影均匀匀地回抹(反反投影)到射射线所及的无限空间的各点之之上，包括原原先像素值为为零的点（其实就是投影影数据少产生生的！！！）(a)孤立点点源(b)反投影影重建图像及及星状伪迹滤波反投影算算法滤波反投影法法采用先修正、后反反投影的做法，其基基本方法是：：在某一投影影角下取得了了投影函数（（一维函数））后，对此一一维投影函数数作滤波处理理，得到一个个经过修正的的投影函数；；然后再将此此修正后的投投影函数作反反投影运算，，得到所需的的密度函数。。滤波反投影法法重建图像有有以下几个步步骤：（1）对某一一角度下的投投影函数作一一维傅立叶变变换；（2）对（1）的变换结结果乘上一维维权重因子；；（3）对（2）的加权结结果作一维逆逆傅立叶变换换；（4）用（3）中得出的的修正过的投投影函数做直直接反投影；；（5）改变投投影角度，重重复（1）~（4）的过过程，直到完完成全部180度的反投投影。滤波函数滤波函数的选取是滤波波反投影法的的关键问题（1）R-L滤波函函数由于在频域中中用矩形函数数截断了滤波波函数，在相相应的空域中中造成振荡响响应，重建建的图像质量量也不够满意意对应的频域形形式为：理想的滤波函函数它它是是在高频的权权重很大，低低频的权重很很小，所以高高频噪声就会会很大，所以以我们才要对对其进行修正正（2）S-L滤波函函数与R-L滤波波函数不同的的是，S-L滤波函数它它的关键是把把频域的陡峭截止改成成缓慢截止。。用S-L滤波波函数重建的的图像中振荡荡相应较小，，对含噪声的的数据重建出出来的图像质质量也较R-L滤波函数数重建的图像像质量要好。。但是，S-L滤波函数数重建的图像像在高频响应应方面不如R-L滤波函函数好，这是是因为S-L滤波函数在在高频段偏离离了理想的滤滤波函数对应的频域形形式为：一、滤波反投投影matlab实现%P=imread('lena.jpg');P=phantom(256);%P=rgb2gray(O);R=radon(P,0:179);I0=iradon(R,0:179,'linear','Ram-Lak');I1=iradon(R,0:179,'linear','Shepp-Logan');I2=iradon(R,0:179,'linear','cosine');I3=iradon(R,0:179,'linear','none');subplot(2,3,1),imshow(P),title('Original')subplot(2,3,2),imshow(I0,[]),title('FBPR-L')subplot(2,3,3),imshow(I1,[]),title('FBPS-L')subplot(2,3,4),imshow(I2,[]),title('FBPcosine')subplot(2,3,5),imshow(I3,[]),title('UnfilteredBP')图像的细节对对应的是高频频部分，轮廓廓对应的是图图像的低频部部分，所以因因为没有滤波波，细节部分分恢复的不好好，呈现很““模糊”的情情况二、投影数据据的多少对图图像重建效果果的影响一个典型实例例：在matlab图像处理理工具箱中，，有一个phantom函数，可以以用来创建头头部的剖视图图，首先创建建一个头部的的256×256剖视图图，然后分别别计算3组不不同的Radon变换，，第一组采用用30个投影影，第二组采采用90个投投影，第三组组采用180个投影，用用以比较采用用不同组数的的投影参数重重建的图像与与原始图像的的差别。Radon逆逆变换由测试结果可可以看出：第第一组采用30个投影，，效果较差；；第二组采用用90个投影影，效果较好好；第三组采采用180个个投影，效果果很好，与原原始的图像非非常接近。这说明可以通通过增加投影影的数目，来来提高重建图图像的质量。。ART算法滤波反投影算算法要求投影影数据必须完完全，分布必必须均匀。具具体地说就是是，平移采集集投影数据时时，应覆盖全全部物体区域域；相邻射线线间均为d。。然而实际应用用中，有时无无法测到大量量的投影数据据。例如做CT时，为了了避免心脏器器官受辐射过过久，为了减减少剂量，投投影数据采集集不足；迭代重建算法法就能解决上上述滤波反投投影算法无能能为力的场合合啦！ART算法ART（代数数重建法）是是一个迭代的的过程，它是是一开始就在在离散域中进进行的,首先先把图像离散散化，即将欲欲重建的未知知图像离散成成一个J=n*n重建图图像网格。根据成像的物物理过程和相相应的数学模模型建立待重建图像和投影数据之间的代数方方程组，那么么图像重建问问题就可以转转化为解线性性方程组问题题。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号2号3号4号迭代重建的模模型一重建模型一迭代重建的模模型二迭代重建的模模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号5号4号8号以模型三为例例，不失一般般性如图为一3*3像素的图图像的x1,x2,…,x9为相应应的像素值，，则各射线和和为：迭代重建算法法的思路求图像矢量x的方法一求图像矢量x的方法二此方法会产生生严重的伪迹迹。不是我们们所期望的。。但此方法的思思想有助于我我们理解迭代代重建算法。。。。反投影算法举举例基本原理是将将所测得的投投影值按其原原路径平均的分配到每一点点上，各个方方向上投影值值反投影后，在影像处处进行叠加，，从而推体出出原图像。算法举例123456算法举例根据反投影算算法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化处理，，除以投影线线数目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后后原像素值再除以投影线线数，平均化化断层平面中某某一点的密度度值可看作这这一平面内所所有经过该点点的射线投影影之和的平均均值123456伪迹反投影重建后后，原来为0的点不再为为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线线数，平均化化星状伪迹我们考虑孤立立点源反投影影重建，中心心点A经n条条投影线投影影后，投影值值均为1：p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他点均为为1/n这类伪迹称为为星状伪迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹产生星状伪迹迹的原因在于于：反投影重建建的本质是把把取自有限物体空间的射射线投影均匀匀地回抹(反反投影)到射射线所及的无限空间的各